一次函数的综合应用

一次函数的综合应用
一、知识梳理
1、掌握函数及一次函数的概念及图像；
2、掌握一次函数的性质，并能求解有关实际问题；
3、会用待定系数法求一次函数的解析式；
4、会灵活运用一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间的关系解题；
5、会灵活运用一次函数和二元一次方程组的关系解题。

二、典型例题：
例1.（2007成都市）如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：
4
3
y x =
与直线2:l y kx b =+相交于点A ，点A 的横坐标 为3，直线2l 交y 轴于点B ，且∣OA ∣=1
2
∣OB ∣。

（1）试求直线2l 的函数表达式；（6分）
（2）若将直线1l 沿着x 轴向左平移3个单位，交y 轴 于点C ，交直线2l 于点D 。

试求⊿BCD 的面积。

（4分）
例2、（2010青海西宁）如图12，直线y=kx-1与x 轴、y 轴分别交与B 、C 两点，tan ∠OCB=
2
1
. (1)求B 点的坐标和k 的值；
(2)若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A 运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；
(3)探索：
①当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是
4
1； ②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使 ③△POA 是等腰三角形.若存在，请写出满足条件 ④的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
例3．（2010绵阳市初二）如图，一次函数y =-2x +2的图象与与坐标轴相交于A 、B 两点， 点P (x ，y )是线段AB （不含端点）上一动点，设△AOP 的面积为S ． （1）求点B 的坐标；
（2）求S 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当S =
2
1
时，试问在x 轴上是否存在一点Q ，使得PQ +BQ 最小？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
例4．（2010桂林市）（本题满分12分）如图，过A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线x y 3=交于点C ．平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．
（1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式；
（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形
为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
A B
C
D
P
E F
y
x
8 83 3y x =
O
A B
C
y
x
8 83 3y x =
O
x
O
A
B
y
P (x ，y ) ·
x
y
O 3 2y x a =+
1y kx b =+
例5、（2010成都市）、1月底，某公司还有12000千克广柑库存，这些广柑的销售期最多还有60天，60天后库存的广柑不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.05元/千克，经测算，广柑的销售价格定为2元/千克时，每天可售出100千克，销售价格降低，销售量可增加，每降低0.1元/千克，每天可多售出50千克。

（1）、如果按2元/千克的价格销售，能否在60天内售完？这些广柑按此价格销售，
获得的总毛利润是多少?(总毛利润=销售总收入-库存处理费）
设广柑销售价格定为x ()20≤<x 元/千克时，平均每天能售出y 千克，求y 关
变式训练：（一）填空或选择题
1、.若函数b kx y +=(b k ,为常数)的图象如下图所示，
那么当0>y 时，x 的取值范围是 。

2．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图2，则下列结论
①0k <；②0a >；③0b >；④当3x <时，12y y <中，正确 的个数有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正 方向连续翻转2008次，点P 依次落在点
1232008P P P P ，，，，的位置，则点2008P 的横坐标
为 ．
4．（江苏淮安市）如图3，已知A 1 (1，0)、 A 2 (1，1)、A 3 (－1，1)、A 4 (－1，－1)、A 5 (2，－1)、…． 则点A 2007的坐标为________．
5、在直角坐标系中点A （2，3）点B (-3 , 1) ，在x 轴 上找一点P ，使ＰＡ＋ＰＢ最短，则点Ｐ的坐标是（ ） Ａ、（－２，０） Ｂ、（－47，０） Ｃ、（－3
7
，０） Ｄ、（１，０）
ｙ
ｘ
2
101
（二）解答题
6.如图，在平面直角坐标系中，直线x y 2
1
+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E . （1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长； （2）求点D 的坐标；
（3）你能否在x 轴上找一点M ，使△MDB 的周长最小? 如果能，请求出M 点的坐标；如果不能，说明理由。

7．如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别是y 1=x 和y 2=－2x+6，动点P （x ，0）在OB 上
运动（0<x<3），过点P 作直线m 与x 轴垂直． （1）求点C 的坐标，并回答当x 取何值时y 1>y 2？ （2）设△COB 中位于直线m 左侧部分的面积为s ， 求出s 与x 之间函数关系式．
（3）当x 为何值时，直线m 平分△COB 的面积？
C
A
B
D
E
x
y
O
三、综合能力提升、拓展
8、（2008河北）如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；
（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接
写出点P 的坐标
9、如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，P 是直线BC 上一点．(1) 若CP=CD ，求证：△DBP 是等腰三角形；(2) 在图①中建立以△ABC 的边BC 的中点为原点，BC 所在直线为x 轴，BC 边上的高所在直线为y 轴的平面直角坐标系，如图②，已知等边△ABC 的边长为2，AO=3，在x 轴上是否存在除点P 以外的点Q ，使△BDQ 是等腰三角形？如果存在，请求出Q
(第18题图②)
B
A
P
C
D
(第18题图①
)
10．某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y（元）与复印页数x（页）的关系如下表：
(1)若y与x满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；
(2)现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费。

则乙复印社每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系为；
(3)在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？
11、（2011•达州）我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；
（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．
望子成龙学校家庭作业
校区________ 姓名____________
1、若点)3,12(a a P -+与点)3,1(1b P -关于x 轴对称，则：=a
b ___
2、二元一次方程组2527x y k x y k
+=⎧⎨-=⎩的解满足方程5231=-y x ，那么k 的值为
3. 如图，直线y 1=kx +b 过点A (0，2)，且与直线y 2=mx 交 于点P (1，m )，则不等式组mx >kx +b >mx -2的解集是
4、若一次函数时，当62,≤≤-+=x b kx y 函数值的范围为911≤≤-y ，则此一次函 的解析式为 ；
5、.已知一次函数y ＝kx+4的图像与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k 的值___________
6、一次函数b kx y +=的图象经过点（0，2），且与直线x y 2
1
=平行，则该一次函数的表达式为 。

7、如图，已知直线PA ：1+=x y 交y 轴于Q ，直线PB ：
m x y +-=2。

若四边形PQOB 的面积为
6
5
，则m ＝ 。

8、如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A<OB) 是方程组⎩⎨⎧=+-=6
32y x y
x 的解，点C 是直线x y 2=与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，
OD=52
(1)求点C 的坐标； (2)求直线AD 的解析式；
(3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ， 使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在， 请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x A P
O y 1=kx +b
y 2=mx。