人教版A版高中数学必修5：等比数列_课件25

[变式 1] (2014·衡水调研)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，
a5a6＝－8，则 a1＋a10＝( )
A．7
B．5
C．－5
D．－7
(2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a2＝6,6a1＋a3＝30， 求 an 和 Sn.
解析：(1)设数列{an}的公比为 q，
由aa44·＋a7a＝7＝a52·a，6＝－8， 得aa74＝＝－4，2 或aa74＝＝4－，2，
A．数列{bn}为等差数列，公差为 qm B．数列{bn}为等比数列，公比为 q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为 qmm
解析：显然，{bn}不可能是等比数列；{cn}是等比数列；证 明如下：
cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2…am(n－1)＋m； cn＋1＝amn＋1·amn＋2…amn＋m； ccn＋n 1＝amn－a1m＋n1＋·a1·mamn－n＋12＋…2…amanm＋mn－1＋m＝qmqm…qm＝(qm)m＝qm2.
答案：A
5．(2014·唐山一模)等比数列{an}的公比 q＞1，a12＋a13＝3，
a1a4＝12，则 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8 等于(
)
A．64
B．31
C．32
D．63
解析：∵a12＋a13＝a2a＋2aa3 3＝3，a2a3＝a1a4＝12，∴a2＋a3＝32， ∴a2，a3 为 x2－32x＋12＝0 的两个根，又∵q＞1，∴a2＜a3，∴a2 ＝12，a3＝1，q＝2，∴S8＝1411－－228＝2545，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＋a8＝S8－a1－a2＝63.
答案：C
题型三 等比数列的性质及应用 【例 3】 已知等比数列前 n 项的和为 2，其后 2n 项的和为 12，求再后面 3n 项的和．
[解] 解法 1：利用等比数列的性质． 由已知 a1＋a2＋…＋an＝2， an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝12. 注意到(a1＋a2＋…＋an)，(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)，(a2n＋1＋a2n ＋2＋…＋a3n)，(a3n＋1＋a3n＋2＋…＋a4n)，…也成等比数列，其公比 为 qn，于是，问题转化为已知．
a1＝－8， 所以q3＝－12
或aq13＝ ＝－ 1，2.
所以aa11＝ 0＝－1 8， 或aa110＝＝1－，8. 所以 a1＋a10＝－7.
(2)解：设{an}的公比为 q，由题设得6aa1q1＋＝a61，q2＝30.
解得aq1＝＝23，， 或qa＝1＝32. ， 当 a1＝3，q＝2 时，an＝3×2n－1， Sn＝a111－－qqn＝311－－22n＝3(2n－1)； 当 a1＝2，q＝3 时，an＝2×3n－1， Sn＝a111－－qqn＝211－－33n＝3n－1. 答案：(1)D
答案：D
深度支招 高频考点
题型一 等比数列的基本运算
【例 1】 (2014·江西模拟)已知两个等比数列{an}，{bn}，
满足 a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若 a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求 a 的值． [解] (1)设{an}的公比为 q，则 b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2 ＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2. b1，b2，b3 成等比数列，得(2＋q)2＝2(3＋q2)， 即 q2－4q＋2＝0，解得 q1＝2＋ 2，q2＝2－ 2， 所以{an}的通项公式为 an＝(2＋ 2)n－1 或 an＝(2－ 2)n－1.
等比数列
考点
等比数列 的定义及 通项公式
等比数列 的性质 等比数列 的前n项和 公式
考纲要求
理解等比数列的概念 ；掌握等比数列的通 项公式；了解等比数 列与指数函数的关系
能熟练应用等比数列 的性质解决有关问题
掌握等比数列的前n 项和公式
考查角度
等比数列的判定与 证明；求等比数列 的通项公式、等比 中项
A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12，要求 A1q3n＋A1q4n＋A1q5n 的值． 由 A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 得 q2n＋qn－6＝0，则 qn＝2，或 qn＝－3.
故 A1q3n＋A1q4n＋A1q5n ＝A1q3n(1＋qn＋q2n)＝2·q3n·7＝14·q3n
＝1－12378
A．511
B．512
C．1 023
D．1 033
解析：an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，依题意
得 Mn＝a1＋a2＋a4＋…＋a2n－1＝(1＋1)＋(2＋1)＋…＋(2n－1＋1)
＝2n－1＋n，M10＝210＋10－1＝1 033.
答案：D
4．(2014·朝阳期末)设数列{an}是公差不为 0 的等差数列，
(2)由(1)知等比数列{bn}中 b1＝3，公比 q＝2， 所以 an＋1－2an＝3×2n－1，则a2nn＋＋11－2ann＝34， 因此数列{2ann}是首项为12， 公差为34的等差数列． a2nn＝12＋(n－1)×34＝34n－14， 所以 an＝(3n－1)·2n－2.
[方法·规律] 等比数列的判定方法有：
综合考查等比数列 的性质
求等比数列的前n项 和；已知等比数列 的前n项和求基本量
精度搜索 基础夯实
1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一项 的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做 等比数列的 公比 ，公比通常用字母 q (q≠0)表示． 特别提醒：等比数列与等差数列的定义从字面上看差不多， 就是“比”与“差”的区别，但等比数列中隐含着“各项均不能 为零”，“公比也不为零”等条件，这在判断某些命题时要特别 注意．
2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项公式 an ＝ a1qn－1 . 3．等比中项 如果三个数 a、G、b 组成 等比数列，则 G 叫做 a 和 b 的等 比中项，那么Ga ＝Gb ，即 G2＝ ab . 特别提醒：(1)三个数 a、G、b 成等比数列⇒G2＝ab，但 G2 ＝ab⇒/a、G、b 成等比数列． (2)等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号 也相同．
1.(2013·江西)等比数列 x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于
A．－24
B．0
()
C．12
D．24
解析：由等比数列的前三项为 x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2 ＝x(6x＋6)，解得 x＝－3 或 x＝－1(此时 3x＋3＝0，不合题意， 舍去)，故该等比数列的首项 x＝－3，公比 q＝3x＋x 3＝2，所以 第四项为(6x＋6)×q＝－24.
(2)设{an}的公比为 q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得 aq2－4aq＋3a－1＝0.(*) 由 a＞0 得 Δ＝4a2＋4a＞0， 故方程(*)有两个不同的实根． 由{an}唯一，知方程(*)必有一根为 0， 代入(*)得 a＝13. [方法·规律] 等比数列基本运算的解题技巧 求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般 步骤是：(1)由已知条件列出首项和公比的方程(组)；(2)求出首项 和公比；(3)求出项数或前 n 项和等其余量．
答案：A
2．(2014·石家庄质检)各项均为正整数的等比数列{an}的前 n
项和为 Sn，若 Sn＝2，S3n＝14，则 S4n 等于( )
A．80
B．30
C．26
D．16
解析：由已知得aa111111－－－ －qqqqn3n＝ ＝21，4，①②
② 由①得
q2n＋qn＋1＝
qn＝2， qn＝－3.
解法 2：利用求和公式． 如果公比 q＝1，则由于 a1＋a2＋…＋an＝2，可知 an＋1＋… ＋a3n＝4，与已知不符， ∴q≠1.由求和公式，得 a111－－qqn＝2，① 又a1qn1－1－qq2n＝12，②
式②除以式①得 qn(1＋qn)＝6， ∴q2n＋qn＝6.解得 qn＝2，或 qn＝－3. 又再后 3n 项的和 S＝a1q31n－1－q q3n③
4．前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k·qn－k(k 为常数且 k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
注：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种 方法常用于选择、填空中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的 连续三项不成等比即可．
[变式 2] (2013·福建)已知等比数列{an}的公比为 q，记 bn ＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n －1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是( )
式③除以式①得S2＝q3n(1＋qn＋q2n)，
∴S＝14q3n＝1－12378
qn＝2， qn＝－3.
[方法·规律] 等比数列的简单性质 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}({bn}也是等比数列)，{a2n}， {a1n}等也是等比数列． (2)数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列． (3)若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq， 特别地，若 m＋n＝2p，则 am·an＝ap2.
题型二 等比数列的判断与证明
【例 2】 (2014·安徽合肥模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，
已知 a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设 bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式． [解] (1)证明：由已知得 a1＋a2＝4a1＋2， 解得 a2＝3a1＋2＝5，故 b1＝a2－2a1＝3. 又 an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an， 则 an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)， 即 bn＋1＝2bn. 因此数列{bn}是首项为 3，公比为 2 的等比数列．
4．等比数列的前 n 项和公式
na1
q＝1
Sn＝a111－－qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn＝a11－－aqnq q≠1
.
特别提醒：在使用等比数列的前 n 项和公式时，如果不确定
q 与 1 的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比 q＝1 和 q≠1
两种情况进行求解．
归纳拓展：等比数列具有以下性质： ①在等比数列中，若 m＋n＝p＋q＝2r，则 am·an＝ap·aq＝ar2； ②数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列； ③数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an} 的公比 q≠－1)； ④当 n 是偶数时，S 偶＝S 奇·q； 当 n 是奇数时，S 奇＝a1＋S 偶·q.
7，解得 qn＝2 或 qn＝－3(舍)，把 qn＝2 代入①得1－a1q＝－2.则 S4n＝a111－－qq4n＝(－2)(1－24)＝30.
答案：B
3．(2014·莱芜检测)已知数列{an}是首项为 2，公差为 1 的等 差数列，{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则数列{abn}的 前 10 项的和等于( )
a1＝1 且 a1，a3，a6 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn 等于( )
A.n82＋78n
B.n42＋74n
C.n22＋34n
D．n2＋n
解析：a1，a3，a6 成等比数列，∴a32＝a1·a6，∴(a1＋2d)2＝
a1·(a1＋5d)，∵a1＝1，∴d＝14，∴Sn＝n＋nn2－1×14＝n82＋78n.
1．定义法：若aan＋n 1＝q(q 为非零常数)或aan－n 1＝q(q 为非零常 数且 n≥2)，则{an}是等比数列．
2．中项公式法：若数列{an}中，an≠0，且 an2＋1＝an·an＋2(n ∈N*)，则数列{an}是等比数列．
3．通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均 为不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．