四川省眉山中学2018届高三数学上学期期中试题理(含答案)

四川省眉山中学2018届高三上学期期中考试
数学试题 理科
一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分）
1．已知集合}0)21
ln(|{},2221|
{≤-=≤<=x x B x A x ，则⋂A B = ( ) A 、φ B 、]21,1(- C 、]1,2
1
( D 、]1,1(-
2．已知i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，若i z z -=+92，则=z （ ） A 、i +1 B 、i +3 C 、i -1 D 、i -3
3．若4
3
)tan(,0=-<<αππα，则αcos =（ ）
A 、5
4- B 、54 C 、53- D 、53
4．“10<<m ”是“关于x 的方程012
2=-++m x x 有两个异号实数根”的（ ）条件
A 、充分不必要
B 、必要不充分
C 、充要
D 、既不充分也不必要 5．如图，OABC 为矩形，其中)0,0(O ，)2,0(),0,2
(C A π
，记线段CB
OC ,以及x y sin 2=)2
0(π
≤
≤x 的图像围成的区域（图中阴影部分）为Ω，
若向矩形OABC 内任意投一点M ,则点M 落在区域Ω的概率为
（ ） A 、π
1
2-
B 、
12-π C 、π
2
1- D 、2-π 6．《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，
已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）
A 、2
B 、
3
2
C 、1
D 、264+ 7．在A B C ∆中，点P 满足O ,2=是AP 的中点，若,b ==则=（ ） A 、95181- B 、181191-
C 、3261-
D 、6
5
31-
8．函数22)(2
|
|--=x e x f x 的图像可能是（ ）
9．将函数2cos 32sin
x x y +=的图像上各点的横坐标缩短为原来的41
倍，纵坐标不变，再将图像向右平移3
π
个单位，便得到函数)(x f 的图像，则（ ）
A 、)(x f 关于直线32π=
x 对称 B 、)(x f 关于点)0,12
(π
-对称 C 、)(x f 关于直线3
π
-=x 对称 D 、)(x f 关于点)0,6
(
π
对称
10．计算
=-+0
020
cos 2220cos 3
10tan 3（ ）A 、32 B 、32- C 、4 D 、34
11．已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且当0<x 时，不等式0
)()('>⋅+x f x x f 成立，若)4
1
(ln )41(ln f a =，)2(22.02.0f b ⋅=，)2(log )2(log ππf c =，则c b a ,,的
大小关系（ ）
A 、a b c >>
B 、b a c >>
C 、a c b >>
D 、c a b >>
12．已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+>-=0,230,2ln )(2x x x x x x x x f 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1-=y 的
对称点在1-=kx y 的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）
A 、)1,21(
B 、)43,21(
C 、)1,31(
D 、)2,2
1(
二．填空题（本大题4个小题，共20分，请把答案填在答题卷上） 13．已知)1,2(),,1(-==m ，若在上投影为5
5
3-
，则____=m 14．函数⎪⎩⎪
⎨⎧<++=+>++=0,0,10,1)(22x c x bx x a x x x x f 为奇函数，则_______=++c b a
15．已知0)1011sin(2)512sin(=-++θπθπ，则_______)5
2tan(=+θπ
16．已知m m x x f (|2|)(-=为常数)，对任意R x ∈,均有)()3(x f x f -=+恒成立.下列
说法：
①)(x f 的周期为6；
②若b b x x f x g (|2|)()(-+=为常数）的图像关于直线1=x 对称，则1=b ；
③若220+<<βα且)3()(+=βαf f ，则必有;3
231212<+≤-
βα ④已知定义在R 上的函数)(x F 对任意x 均有)()(x F x F -=成立，且当]3,0[∈x 时，
);()(x f x F =又函数()(2c x x h +-=c 为常数），若存在1x ,2x ]3,1[-∈使得1|)()(|21<-x h x F 成立，则c 的取值范围是).13,1(-
其中说法正确的是_________（填写所有正确结论的编号）
三．解答题：（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题共12分）已知21,e e 是夹角为060的单位向量，且21212,2e e k b e k e a +=+=.
（1）若,//b a
求实数k 的值；
（2）求b a
⋅的最小值.
18．（本小题共12分）已知函数)2
||,0)(sin()(π
ϕωϕω<>+=x x f 的部分图像如图所示.
(1)求函数)(x f 的解析式，并写出)(x f 的单调减区间； (2)已知ABC ∆中角A 为锐角，且,2
1
)122(=-πA f 2=a ,求ABC S ∆的最大值.
19．（本小题共12分）某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解考生学习情况，
（2）为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分
层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 20．（本小题共12分）在矩形ABCD 中，22==AB BC ,E 是边AD 的中点，如图（1），将CDE ∆沿直线CE 翻折到CPE ∆的位置，使PB PC ⊥，如图（2）. （1）求证：⊥BE 平面PEC ；
（2）已知M 、Q 分别是线段PC 、AC 上的点，且CM PM =,//MQ 平面PAB ,求直
线QM 与平面PCE 所成角的正弦值.
图2()
图1()
21．（本小题共12分）已知函数R a ax x x f ∈-
=,2
1ln )(2
. (1)若)(x f 在1=x 处的切线方程为b x y +=2，求b a ,的值； （2求)(x f 的单调区间；
（3若关于x 的不等式1)1()(--≤x a x f 恒成立，求整数a 的最小值.
22．（本小题共10分）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 的参数方程为
αααα(2sin 1,
cos sin ⎩
⎨
⎧+=+=y x 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为)4
sin(π
θρ+2=，曲线2C 的极坐标为
)0)(4
3cos(22>-=a a π
θρ
（1）若直线l 与曲线2C 相切，求a 的值；
（2）求直线l 与曲线1C 的交点坐标),(θρ)20,0(πθρ<≤≥.
5
20、解:(Ⅰ)证明:连结BE,根据题意可以知道
又因为,,PB,平面PBE,
所以平面PBE.
又因为平面PBE, 所以又因为在矩形ABCD中,,
所以又因为,CE,平面PCE, 所以平面PCE.
(Ⅱ)在图(2)中,以点A为原点,分别以AB,AE所在直线为x,y轴,以经过点A且垂直于平面ABCE的直线为z轴建立空间直角坐标系,如下图所示.
根据题意可以知道,,,
取CE的中点H,连结PH.
由(Ⅰ)可以知道平面平面ABCE. 又因为,所以
又因为平面平面, 所以平面ABCE.
可得又因为,所以因为,可得设,可得
所以又因为
,,
设平面ABP的法向量为,
则令,可得, 所以
因为平面PAB,所以,可得所以
由(Ⅰ)可以知道平面PCE,所以是平面PCE的一个法向量,
可得所以直线QM与平面PCE所成角的正弦值为:(1),函数的定义域是,
,
2
）时:,在递增时令⇒；
a
(3)恒成立可得恒成立
等价为在恒成立令,只需,
,令,可得,
设,,
在递减设的根为,当,,
当时,,
在递增在递减
即有,
由,,则,
a∈
此时,即,即,Z
a
）曲线的直角坐标方程为，即
，由直线与相切，得，故。

（2）曲线的普通方程为，，直线的普通方程为，联立
，解得或（舍去）
直线与曲线的交点的直角坐标为，其极坐标为。