四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高二下学期期末联考试题 数学(理)

蓉城名校联盟2019～2020学年度下期高中2018级期末联考
理科数学
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z ＝
1i
i
--(i 为虚数单位)，则复数z 对应点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x|3x －x 2>0}，则集合A ∩B 的子集个数为 A.2 B.3 C.4 D.8
3.已知角α顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与直线x ＝1有公共点，且sin α＝－35
，则tan α＝ A.
45 B.－45 C.－34 D.34
4.春季，某小组参加学校的植树活动，计划种植杨树x 棵，柳树y 棵，由于地理条件限制，x ，
y 需满足条件2x y 5
x y 2x 6-≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，则该小组最多能种植两种树苗共
A.12棵
B.13棵
C.14棵
D.15棵
5.数列{a n }是首项和公差都为1的等差数列，其前n 项和为S n ，若T n 是数列{n
1
2S }的前n 项和，则T 99＝ A.1 B.
1100 C.9899
D.99100
6.已知函数f(x)＝
()
a
x
log x x0
b1(x0)
⎧>
⎪
⎨
+≤
⎪⎩
，且f(9)＝2，f(－1)＝3，则f[f(－3)]＝
A.
1
2
B.－
1
2
C.2
D.－2
7.在△ABC中，三个角满足2A＝B＋C，且最长边与最短边分别是方程3x2－27x＋32＝0的两根，则BC边长为
A.6
B.7
C.9
D.12
8.运行右图所示的程序框图，如果输入的n＝2020，则输出的n＝
A.6
B.7
C.63
D.64
9.四面体O－ABC的顶点都在同一球面上，其中OA，OB，OC，两两垂直，且OA＝OB＝2，OC＝1，则该球面的表面积为
A.9π
B.4π
C.12π
D.36π
10.函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调的一个充分不必要条件是
A.a∈[0，3]
B.a∈(0，5)
C.a∈(0，3)
D.a∈(1，2)
11.已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)。

过F1(－2，0)作倾斜角为60°的直线L交上半椭圆于点A，以F1A，F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB，点B恰好也在椭圆上，则b2＝
D.12
12.已知f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f'(x)，若f(x)－f'(x)<1，f(0)＝2020，则不等式f(x)>2019e x ＋1(其中e 为自然对数的底数)的解集为
A.(－∞，0)∪(0，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(2019，＋∞)
D.(－∞，0)∪(2019，＋∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x 2cos y 3sin θ
θ
=⎧⎨=⎩(θ为参数)，则曲线C 的普通
方程为 。

14.已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8的方差为2，则2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，2x 4＋1，2x 5＋1，2x 6＋1，2x 7＋1，2x 8＋1这组数据的方差为 。

15.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，现在矩形OABC 中随机选取一点P(x ，y)，则事件：点P(x ，y)的坐标满足y ≤－x 2＋2x 的概率为 。

16.已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在第一象限的双
曲线C 上，且PF 2⊥x 轴，△PF 1F 2内一点M 满足21MF 2MF 3MP ++＝0，且点M 在直线y ＝2x 上，则双曲线C 的离心率为 。

三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分) 已知函数f(x)＝
13
x 3
＋ax 2＋bx ＋1，其导函数为f'(x)，不等式f'(x)<0的解集为(2，4)。

(1)求a ，b 的值；
(2)求函数在[0，3]上的最大值和最小值。

18.(12分)
今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花。

某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35)，得到右边收入频率分布直方图。

(1)求频率分布直方图中t的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千元)；
(2)己知从收入在[10，20)的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自[15，20)的概率。

19.(12分)
如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H是BE的中点，现将△ABE沿着BE折起构成四棱锥A－BCDE，M是四棱锥A－BCDE棱AD 的中点。

(1)证明：HM//平面ABC；
(2)当四棱锥A－BCDE体积最大时，求二面角C－AB－E的余弦值。

20.(12分)
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左右焦点分别为F1，F2，若点B(03在椭圆上，
且△BF1F2为等边三角形。

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点F2在以MN为直径的圆外，求直线l斜率k的取值范围。

21.(12分)
已知函数f(x)＝ln(x＋a)
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当a ＝1时，求函数F(x)＝x －
12
tx 2
－f(x)(t ∈R)的单调区间； (3)当a ＝0时，函数y ＝g(x)的图像与y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称。

若不等式[k ·g(x)－1]·x ≥f(x)＋1对x>0恒成立，求实数k 的取值范围。

22.(10分)
选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1x 1t 2y 1⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝
＋4
π
)。

(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)己知点P(1，1)，若直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，求(PM|＋|PN|)2的值。