高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线、平面垂直的判定和性质公开课课件省市一等奖完整版

BAO= B O =
3 2
a
=3
.
AB 2a 4
B3 D= 3 a,所以sin∠
2
2
评析 本题考查线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定和性质、线 面角和二面角的平面角的作法和计算.考查空间想象能力和逻辑推理能 力.
方法 3 折叠问题的解题策略
平面图形翻折为空间图形,要正确作图,正确分析翻折前后点、线、面 的相应位置关系及变化.必须抓住在翻折过程中点、线、面的位置关系 与数量关系,明确哪些是变化的,哪些是不变的,特别要抓住不变的关系, 这是解题的条件.一般地,在同一个半平面内的几何元素之间的关系是 不变的,涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是变化的. 另外,翻折前与折线垂直的直线往往在翻折后构成了二面角的平面角, 这对处理翻折问题起到了关键性的作用. 例3 (2017浙江吴越联盟测试,17)如图1,在四边形ABCD中,∠A=∠C=9 0°,AB=BC= 2,CD=DA=1,现将△ABD沿对角线BD所在的直线折起,得 到四面体ABCD(如图2).
a a
⇒αβ β ⊥α.
二、线面、面面垂直的性质
1.直线与平面垂直的性质定理
同⑤ 垂直 于一个平面的两直线平行.
2.直线与平面所成的角(设为θ) (1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的 ⑥ 射影 所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是⑦ 直角 ;当一条 直线和平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为⑧ 0° 的角.
BM⊂平面BCD,∴BM⊥平面ACD,∴BM⊥AC,
又BC⊥AC,∴AC⊥平面BCD.
(2)设点C到平面ABD的距离为d,由VC-ABD=VA-BCD,
即 1 ×1 ×3 × 1 3 ×d=1 ×
13
设直线CD与平面ABD所成角为α,则sin α= d =
CD
3
1 3= .3 9
解析 (1)证明:由题意得BD⊥AC,PD⊥AC,又BD∩PD=D,所以AC⊥平 面PBD.又AC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD. (2)易知∠PDB即为二面角P-AC-B的平面角,所以∠PDB=60°. 作BO⊥PD于O,连接AO,由(1)知BO⊥平面PAC,所以∠BAO即为直线AB
与平面PAC所成的角.令AB=2a,则BD= a3 ,BO=
高考数学
§8.4 直线、平面垂直的判定和性质
知识清单
考点 垂直的判定和性质
一、线面、面面垂直的判定 1.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的 ① 任意一条 直线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直. (2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的② 两条相交 直线都垂 直,那么这条直线垂直于这个平面;用数学符号表示为:已知m⊂α,n⊂α,m ∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α. 2.点到平面的距离、线到面的距离 (1)从平面外一点引平面的一条垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个 点到这个平面的距离.
直线l和平面α 的位置关系
θ的取值或范围
l⊂α 或l∥α
θ=0
l⊥α
π
θ= 2
l和α斜交
θ∈
0,
π 2
(3)最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的 直线所成的一切角中⑨ 最小 的角. 3.平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内⑩ 垂直于交线 的直线与另一个平面垂
α β
(2)一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距
离,叫做这条直线和这个平面的距离.
3.平面与平面垂直
(1)定义:一般地,平面α和β相交,如果它们所成的二面角是③ 直二面角 ,
就说这两个平面互相垂直.记作α⊥β.
(2)判定定理:一个平面经过另一个平面的④ 一条垂线 ,则这两个平
面互相垂直.符号表示为
3 13
评析 本题考查三角形性质,线面垂直的判定和性质,等体积法求点面 距离,线面角的求法等基础知识,考查逻辑推理能力和空间想象能力.
方法 2 面面垂直的判定及性质的解题策略
1.证明平面与平面垂直的方法 (1)利用面面垂直的判定定理.解题思路是:线面垂直⇒面面垂直. 说明:①利用线面垂直推出面面垂直时,注意“直线在其中一个平面 内”这个条件. ②在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分利用等腰三角形 底边的中线垂直于底边,菱形的对角线互相垂直,勾股定理的逆定理等. (2)利用定义证明,只需判定两平面所成的二面角为直二面角. 2.利用面面垂直的判定定理可以确定线线、线面、面面的位置关系,证 明面面垂直. 3.利用面面垂直的性质定理可以证明线面垂直.
解题导引 (1)由正三角形和面面垂直的性质得线面垂直→利用线面垂直的性质 得线线垂直→利用线面垂直的判定得线面垂直 (2)由等体积法求得点面距离→解直角三角形得结论
解析 (1)取CD的中点M,连接BM.
∵△BCD为等边三角形,
∴BM⊥CD,
又∵平面ACD⊥平面BCD,平面ACD∩平面BCD=CD,
例2 (2017浙江嘉兴基础测试,18)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC是等 边三角形,D是AC的中点,PA=PC,二面角P-AC-B的平面角的大小为60°.
(1)求证:平面PBD⊥平面PAC; (2)求AB与平面PAC所成角的正弦值.
解题导引 (1)由三线合一得线线垂直→由线面垂直的判定得线面垂直→由面面垂直 的判定得结论 (2)由面面垂直得线面垂直→得出线面角→解三角形得结论
直.符号表示为α
a
β α
⇒l a⊥β.
a l
4.二面角的概念及计算
(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角 .这
条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
棱为AB,面分别为α、β的二面角记作二面角α-AB-β,如果棱为l,那么这个
二面角记作α-l-β. (2)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分 别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面 角的 平面角 . 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就 说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做 直二面角 .