图解静力学结构优化方法浅析

图解静力学结构优化方法浅析
摘要：图形静力学是一种处理离散桁架的结构优化方，它是通过力图中的设计变量来进行结构优化。

相对于一般通过控制结构的几何形状（形图）进行优化的传统结构优化方法，该方法有一些突出的特点。

首先，由于它是基于形图和力图之间的交互关系，因此不需要计算构件刚度。

其次，通过处理受力图，该方法的受力平衡条件可以得到保证，并且不需要添加额外条件来保证平衡，例如没有必要把结构划分成三角形或者增加细杆。

此外，正是由于结构受力平衡条件可以得到保证，所以设计变量的数量得到了减少。

再者，由于满足一定的关系，荷载（或反应）的位置也并不需要进行先验。

通过实例，该方法可以很好地适应不同拉压应力的体积优化问题，同时图形静力学的方法也可以轻易地处理其它构件内力受到限制或者约束的问题。

关键字：图解静力学结构优化桁架
1前言
对于结构工程，在设计本身的过程中，我们不断地寻找最优的结构和寻找最优结构的方法，最终使这些结构必须满足预期的目标，并且保证低成本。

目前已经有几种方法用于结构优化，这些优化方法包括拓扑优化、形状优化、尺寸优化和形状分析等[[[] 李芳，凌道盛．工程结构优化设计发展综述[J]．工程设计学报，2002，9（5）；229－235．]]，但这些方法的解只有在数量有限的封闭的情况下才可以被确定，例如米歇尔桁架[[[] Michell AGM．The limits of economy of material in frame-structures．Phil Mag 8(47)；589–597．]]。

2图形静力学
1864年苏格兰物理学家和数学家詹姆斯·克莱克·麦克斯韦在《力学杂志》第27卷发表了《麦克斯韦·克雷莫纳应力图解》。

在麦克斯韦建立的特定桁架中，由节点和多边形代表桁架的形图，其中的节点和多边形与力图中的是相互关联的[[[] Maxwell JC．On Reciprocal Figures, Frames, and Diagrams of Forces[J]．Edinb Roy Soc Proc, 26(1)；1－40．]]。

形图中的每一个节点在力图中都有相应的多边形对应，形图中的每一个多边形在立场中都有相应的节点，每一条线代表作用在每一个桁架构件上的线荷载，它对应于力场上的相应的线。

麦克斯韦的映射线互相垂直。

但使用一种不同的映射结果使对应的线平行是现在普遍使用的方法[[[] William F. Baker,Lauren L. Beghini,Arkadiusz Mazurek, Juan Carrion, Alessandro Beghini．Maxwell’s reciprocal diagrams and discrete Michell frames[J]．Struct Multidisc Optim, 2013, 48；267－277．]]。

因为几何图和受力图是相互关联的，所以映射关系也可以从力图中得到形图。

力场中每一条线的长度与相应桁架的轴力成比例。

从结构图中建立一个受力图的方式叫做图形静力学[[[] S.P.TIMOSHENKO．theory of structures(2nd edition)[M]．北京：清华大学出版社：2002． ]]，在一些特定类型中使用图形静力学的方法中有如下优点[[[] Lauren．Beghini，Juan Carrion，Alessandro Beghini，Arkadiusz Mazurek，William F.Baker．Maxwell’s reciprocal diagrams and discrete Michell frames[J]．Struct Multidisc Optim，2013，48；267－277．]]：–没有必要用很细的杆件把结构定义域划分成三角单元，从而避免了数值计算的困难；
–如果为在力场下受力图为封闭的多边形，则结果总是可行的；
–不需要组集刚度矩阵，只需要简单的图形关系；
–满足一定的关系，最终的荷载位置不需要特地进行先验，但当求得最优解时可以再更
改荷载的位子；
–该方法可以轻易的适应拉压应力问题；
–受力图中的平衡约束可以减少结构要求的设计变量。

2.1图形静力学基本原理
下面通过一个简单的例子[[[] 猪小宝．用尺子画图就能求解桁架内力？――图解静力学入
门[DB/OL]．/zhuxiaobao/19588127．]]来说明图解静力学求解桁架的
具体过程以及有关的基本原则。

图 4
然后我们从区域f开始，f介于d和e之间。

左边图中f与d之间是一条水平线，所以右
边图中从d点开始画一条水平直线。

左边f和e之间是一条斜线，右边过已知的e点做一条
同样的斜线。

这两条线相交于一点，这个交点就是 f。

用尺子一量，水平线段df的长度为
2.598，也就是说左边图中区域d和f之间的这个水平杆件的内力是2.598。

斜线段ef的长度
是3，也就是说左边介于e和f之间的斜杆的内力是3。

对左侧支点用节点法求解，很容易就
能验证这个结果是正确的，如图 5。

图 7
至此，我们已经完成了这个桁架的图解静力学求解。

那如何解读右边的这个结果图形呢？如果我想知道左边f和g之间的竖直腹杆的内力，我只需要去量图 6右图中线段fg的长度，
长度为1，所以腹杆内力大小为1。

以腹杆下端节点为中心，顺时针顺序是从区域f到区域g，图6右图中从点f到点g是向上，所以内力相对于这个下端节点是向上。

轴力的方向远离节点，所以这根杆件受拉。

对于e和i之间的这根上弦杆，也是如此，我去量线段ie的长度，
长度是2，所以轴力大小为2。

对于上侧节点，顺时针e到i，而图 6右图中e到i向上，所
以内力相对于这个上端节点是向上。

轴力的方向指向节点，结果如图 7所示。

2.2用图解静力学的方法寻找结构形式
图解静力学中的形与力的交互图已经被用于结构设计中。

许多方法通过寻找结点的位置
使桁架结构中的受力符合基本的要求，从而确定桁架结构的形式（例如所有弦杆内力都相等
的情况）。

下面本文通过一个例子说明用图解静力学寻找结构形式的方法。

如图 8A所示的
桁架结构。

如果我们想使该桁架的上弦杆受力都相等，首先我们画出该桁架的力图，如图8B
所示。

然后我们通过改变图 8B中a-1、b-3、c-5、d-6、e-8、f-10的长度，使它们相等，并依
然保持水平，其它结点根据图形静力学的基本规则做出相应的改变。

于是我们得到图 9B的
力图，最后我们根据都到的最终的力图和图形静力学的基本准则画出相应的形图，如图 9A。

注意到2-3、4-5、6-7和8-9之间在力图中的距离为0，所以他们之间对应的杆的内力为0。

如果该桁架结构在其它工况下有足够的安全度和弯曲刚度保证结构的稳定性，那么那些内力
为0的杆件就可以被删除。

该值的计算仅仅只需要基于形图和力图。

4总结
通过上述分析，可以看到该方法可以很好地适应不同拉压应力的体积优化问题，同时图形静力学的方法也可以轻易地处理其它构件内力受到限制或者约束的问题。

当然一种方法有优点，也会有缺点，图形静力学优化方法也不例外。

其中图形静力学优化方法在实际工程中一个缺点是只能对单一工况的结构进行优化。

因此工程师首先需要确定结构的主要荷载，根据主要荷载进行优化，然后根据其它荷载进行后验。

5参考文献
[1] 李芳，凌道盛．工程结构优化设计发展综述[J]．工程设计学报，2002，9（5）；229－235．
[2] Michell AGM．The limits of economy of material in frame-structures．Phil Mag 8(47)；589–597．
[3] Maxwell JC．On Reciprocal Figures, Frames, and Diagrams of Forces[J]．Edinb Roy Soc Proc, 26(1)；1－40．
[4] William F. Baker,Lauren L. Beghini,Arkadiusz Mazurek, Juan Carrion, Alessandro Beghini．Maxwell’s reciprocal diagrams and discrete Michell frames[J]．Struct Multidisc Optim, 2013, 48；267－277．
[5] S.P.TIMOSHENKO．theory of structures(2nd edition)[M]．北京：清华大学出版社：2002．
[6] Lauren．Beghini，Juan Carrion，Alessandro Beghini，Arkadiusz Mazurek，William
F.Baker．Maxwell’s reciprocal diagrams and discrete Michell frames[J]．Struct Multidisc Optim，2013，48；267－277．
[7] 猪小宝．用尺子画图就能求解桁架内力？――图解静力学入门
[DB/OL]．/zhuxiaobao/19588127．。