2019届高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第6课时 椭圆(二)教案 文

则 Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，
化简得：m2＝2k2＋1.
设
d1＝|F1M|＝|－kk2＋＋m1|，d2＝|F2N|＝
|k＋m| k2＋1.
①当 k≠0 时，设直线 l 的倾斜角为 θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tan θ|，∴|MN|＝|k1|·|d1－d2|，
∴S＝12·|k1|·|d1－d2|·(d1＋d2)＝k22|＋m|1＝m42|＋m|1＝|m|＋4 |m1 |， ∵m2＝2k2＋1，∴当 k≠0 时，|m|>1，|m|＋|m1 |>2，即 S<2. ②当 k＝0 时，四边形 F1MNF2 是矩形，此时 S＝2. ∴四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2. 【答案】 2
1．(课本习题改编)直线y＝2x－1与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的位置关
系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
答案 A
解析 方法一：∵直线方程y＝2x－1过点(1，1)，而(1，1)
在椭圆内部，故选A.
方法二：由
y＝2x－1， x92＋y42＝1
得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－
∴
x2 7
＋
y2 3
＝1与x＋
3 y＋4＝0联立，得16y2＋24
3 y＋27＝
0，Δ＝(24 3)2－4×16×27＝0.
方法二：设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
由bx＋2x2＋3ay2＋y24－＝a02b，2＝0， 得(a2＋3b2)y2＋8 3b2y＋16b2－a2b2＝0.
【解析】 方法一：由椭圆的方程，可知 m>0，且 m≠5. 将直线与椭圆的方程联立方程组，得
y－kx－1＝0，① x52＋ym2＝1，② 由①，得 y＝kx＋1. 代入②，得x52＋（kx＋m 1）2＝1. 整理，得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
因 为 直线 与椭 圆 恒有 公共 点 ，故 Δ ＝(10k)2 － 4×(5k2 ＋ m)×5(1－m)＝20(5k2m－m＋m2)≥0.
思考题 1 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1， 试问：当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C，
(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？
【解析】
y＝2x＋m， 由x42＋y22＝1， 得
9x2＋8mx＋2m2－4＝0.
其 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
第6课时 椭 圆(二)
…2018 考纲下载… 1．能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程 解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题． 2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 请注意 作为高考热点的直线与圆锥曲线的位置关系主要体现在直 线与椭圆中，所以我们必须要对直线与椭圆的位置关系熟练掌 握，并适度强化．
的
ห้องสมุดไป่ตู้
参
数
方
程
为
x＝acosθ y＝bsinθ
(θ
是参
数)．
焦点三角形
椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的三角形 PF1F2 称做焦点 三角形(如图)．∠F1PF2＝θ.
S△PF1F2＝12r1r2sinθ ＝c|y0|．
直线与椭圆位置关系判断 y＝kx＋m，
联立xa22＋by22＝1， 得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0 该一元二次方程的 判别式为 Δ. Δ >0⇔有两个交点⇔相交； Δ ＝0⇔有一个交点⇔相切； Δ <0⇔无交点⇔相离．
又直线AB的斜率为－12，
∴ba22＝12，∴e＝
1－ba22＝
2 2.
授人以渔
题型一 直线与椭圆的位置关系
已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆
x2 5
＋
y2 m
＝1恒有
公共点，求实数m的取值范围．
【思路】 该题有两种解题思路，一是根据直线和圆锥曲线 位置关系的讨论方法，由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组 必有解，通过消元，进一步转化为方程恒有解的问题，利用判别 式Δ≥0 求解参数的取值范围；二是由直线系方程得到直线所过 的定点，由直线和椭圆恒有公共点可得，定点在椭圆上或在椭圆 内，这样便可得到关于参数 m 的不等式，解之即可．
★状元笔记★ 直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以 作两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线．
思考题 2 (1)如图，内外两个椭圆的离
心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线
AC，BD，设内层椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
若直线 AC 与 BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )
(2)已知椭圆 C：x22＋y2＝1，如图直线 l 与椭圆 C 有且仅有一 个公共点，作 F1M⊥l，F2N⊥l 分别交直线 l 于 M，N 两点，求四 边形 F1MNF2 面积 S 的最大值．
【解析】 将直线 l 的方程 y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程x22＋
y2＝1 中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
＝－ba22.∴ba22＝14.∴e＝ca＝
1－ba22＝
3 2.
6．(2018·衡水中学调研卷)过点 M(1，1)作斜率为－12的直线 与椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于________．
答案
2 2
解析 方法一：直线AB的方程为2y＋x－3＝0.设A(x1，
课前自助餐
点 P(x0，y0)和椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的关系： (1)P(x0，y0)在椭圆内⇔xa022＋yb022<1； (2)P(x0，y0)在椭圆上⇔xa022＋yb022＝1； (3)P(x0，y0)在椭圆外⇔xa022＋yb022>1．
椭
圆
x2 a2
＋
yb22＝
1(a>b>0)
由Δ＝0，可得a2＝7，∴2a＝2 7.
3．直线 y＝kx＋1，当 k 变化时，此直线被椭圆x42＋y2＝1 截
得的最大弦长是( )
A．2
43 B. 3
C．4
D．不能确定
答案 B
解析 方法一：直线所过的定点为(0，1)在椭圆上，可设另
外一个交点为(x，y)，
则弦长为 x2＋（y－1）2＝ 4－4y2＋y2－2y＋1
因为 m>0，所以不等式等价于 5k2－1＋m≥0，即 k2≥1－5 m， 由题意，可知不等式恒成立，则1－5 m≤0，解得 m≥1.
综上 m 的取值范围为 m≥1 且 m≠5.
方法二：因为直线 y－kx－1＝0 过定点 P(0，1)， 要使直线和椭圆恒有公共点，则该点在椭圆上或椭圆内，即 052＋1m2≤1，整理，得m1 ≤1，解得 m≥1. 又方程x52＋ym2＝1 表示椭圆，所以 m>0 且 m≠5. 综上 m 的取值范围为 m≥1 且 m≠5. 【答案】 m≥1 且 m≠5
椭圆的弦长
AB 为椭圆的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0， y0)．
(1)弦长 l＝|x1－x2| 1＋k2＝|y1－y2|
1＋k12.
(2)kAB＝－ba22yx00. (3)直线 AB 的方程：y－y0＝－ba22yx00(x－x0)． (4)线段 AB 的垂直平分线方程：y－y0＝ba22yx00(x－x0)．
＝ －3y2－2y＋5，
当
y＝－13时，弦长最大为43
3 .
方法二：直线所过的定点为(0，1)在椭圆上，可设另外一交
点为(2cosθ，sinθ)，则弦长为
4cos2θ＋（1－sinθ）2 ＝ －3sin2θ－2sinθ＋5 ＝
－3（sinθ＋13）2＋136≤4
3
3 .
当且仅当 sinθ＝－13时取等号．选 B.
★状元笔记★ 直线与椭圆位置关系的判断方法
(1)联立方程，借助一元二次方程的判别式 Δ 来判断；(2)借 助几何性质来判断．
如本例中的方法二则更为简捷，根据直线系方程抓住直线恒 过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，这也是解决 该题的难点所在，破解此类问题的关键是熟练掌握直线系方程， 另外抓住题中“k∈R”这个条件结合图形，也是很容易想到直线 必过定点．
4×10×(－35)＝1
404>0，∴直线y＝2x－1与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1相
交．
2．已知以 F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3y ＋4＝0 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 2
B．2 6
C．2 7
D．4 2
答案 C
解析 方法一：验证法：2a＝2 7时，a＝ 7，c＝2，b＝ 3，
4．椭圆的焦点为 F1，F2，过 F1 的最短弦 PQ 的长为 10，△ PF2Q 的周长为 36，则此椭圆的离心率为( )
3
1
A. 3
B.3
2
6
C.3
D. 3
答案 C 解析 PQ 为过 F1 垂直于 x 轴的弦，则 Q(－ c，ba2)，△PF2Q 的周长为 36.∴4a＝36，a＝9. 由已知ba2＝5，即a2－a c2＝5. 又 a＝9，解得 c＝6， 解得ca＝23，即 e＝23.
2 2.
方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵M(1，1)是线段AB的中点， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∵点A，B在椭圆xa22＋yb22＝1上， ∴xa122＋yb122＝1，① xa222＋yb222＝1，②
①－②得x12－a2 x22＝－y12－b2 y22，
∴yx11－－yx22＝－ba22·xy11＋＋xy22＝－ba22.
【答案】 (1)m∈(－3 2，3 2) (2)m＝±3 2 (3)m∈(－∞，－3 2)∪(3 2，＋∞)
题型二 切线问题
(1)已知椭圆 C1：x42＋y32＝1，过 P(2，2)作椭圆 C1 的切 线，求切线方程．
【解析】 ∵242＋232>1，∴P 在 C1 外部． 设切线斜率为 k，则切线方程为 y－2＝k(x－2)，代入 C1 中 并整理得(3＋4k2)x2＋16(k－k2)x＋16k2－32k＋4＝0. ∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0. 即[16(k－k2)]2－4·(3＋4k2)(16k2－32k＋4)＝0. 化简得 k＝18. 又过椭圆外一点可以作椭圆的两条切线．所以另一条切线斜 率不存在，所以切线方程为 x－8y＋14＝0 或 x＝2. 【答案】 x－8y＋14＝0 或 x＝2
(1)由 Δ>0，得－3 2<m<3 2，此时直线与椭圆 C 有两个不
同的公共点；
(2)由 Δ＝0，得 m＝±3 2，此时直线与椭圆 C 有且只有一个
公共点；
(3)由 Δ<0，得 m<－3 2或 m>3 2，此时直线与椭圆 C 没有
公共点．
综上所述，当－3 2<m<3 2时，直线 l 与椭圆 C 有两个不重 合的公共点；当 m＝±3 2时，直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共 点；当 m<－3 2或 m>3 2时，直线 l 与椭圆 C 没有公共点．
1
2
A.2
B. 2
3
3
C. 2
D.4
【解析】 由于内层椭圆和外层椭圆的离心率相等，不妨
设外层椭圆的方程为
x2 （ma）2
＋
y2 （mb）2
＝1(
m>1)，设切线AC的
方程为y＝k1(x－ma)，则
y＝k1（x－ma）， xa22＋yb22＝1，
消去y得(k12a2＋
b2)x2－2mk12a3x＋m2k12a4－a2b2＝0，由Δ＝(－2mk12a3)2－4(k12a2
y1)，B(x2，y2)，由
2y＋x－3＝0， b2x2＋a2y2＝a2b2，
消去x，得(4b2＋a2)y2－
12b2y＋9b2－a2b2＝0，∴y1＋y2＝4b122＋b2a2.
∵M(1，1)是线段AB的中点，∴y1＋y2＝2.
故4b122＋b2a2＝2，∴ba22＝12.
∵e2＝1－ba22＝12，∴e＝
5．(2018·安徽安庆六校联考)已知斜率为－12的直线 l 交椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)于 A，B 两点，若点 P(2，1)是 AB 的中点， 则 C 的离心率等于( )
1
2
A.2
B. 2
3
3
C.4
D. 2
答案 D
解析 kAB＝－12，kOP＝12，由 kAB·kOP＝－ba22，得12×(－12)
＋b2)·(m2k12a4－a2b2)＝0，化简得k12a2－m2k12a2＋b2＝0⇒
k12＝
b2 a2
·
1 m2－1
，设直线BD的斜率为k2，同理可得k22＝
b2 a2
·(
m2