专题11.8 三角形内角和定理及其应用(拓展提高)(解析版)

专题11.8 三角形内角和定理及其应用（拓展提高）
一、单选题
1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1:3:4，那么这个三角形是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
【答案】B
【分析】设三个内角分别为k 、3k 、4k ，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出k ，再求解即可．
【详解】解：设三个内角分别为k 、3k 、4k ，
由题意得，k +3k +4k =180°，
解得k =22.5°，
所以，三个内角分别为22.5°、67.5°、90°，
所以，这个三角形是直角三角形．
故选：B ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的形状的判定，利用“设k 法”求解更简便． 2．如图，点A 和点B 恰好分别在GH 和EF 上，GH ∥EF 且BA 平分∠DBE ，若∠C ＝90°，∠CAD ＝32°，则∠BAD 的度数为（ ）
A ．28°
B ．29°
C ．30°
D ．31°
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：90C ∠=︒，32CAD ∠=︒，
903258ADC ∴∠=︒-︒=︒， //EF GH ，
58DBE ADC ∴∠=∠=︒， BA 平分DBE ∠，
1292
ABE DBE ∴∠=∠=︒， 直线//EF 直线GH ，
29BAD ABE ∴∠=∠=︒，
故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
3．如图，将一块含有45°角的直角三角板的直角顶点放在矩形板的一边上，若135∠=，那么2∠的度数是（ ）．
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．110°
【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得31∠=∠；结合题意，根据三角形内角和的性质，得4∠；再根据对顶角相等的性质计算，即可得到答案．
【详解】如下图
根据题意得：3135∠=∠=︒
∴4180345100∠=︒-∠-︒=︒
∵24∠∠=
∴2100∠=︒
故选：C ．
【点睛】本题考查了对顶角、三角形内角和、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、三角形内角和的性质，从而完成求解．
4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，则∠BOC 的度数是（ ）
A ．130°
B ．60°
C ．80°
D ．120°
【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠BOC 的度数．
【详解】解：∵∠BAC ＝80°，
∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣80°＝100°，
∵BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，
∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12
∠ACB ， ∴∠OBC +∠OCB ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝12×100°＝50°， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝180°﹣50°＝130°．
故选：A ．
【点睛】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键． 5．如图，延长ABC ∆的边AC 到点E ，过点E 作//DE BC ，BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠交BG 的反向延长线于点F ，已知34A F ∠=∠，则A ∠的大小为（ ）
A ．75︒
B ．74︒
C ．72︒
D ．70︒
【答案】C 【分析】过点F 作FM ∥BC ，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得11=2
GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠，然后结合三角形内角和定理可得()11+2=1802
A ∠∠︒-∠，然后根据题意列方程求解．
【详解】解：过点F 作FM ∥BC
∵//DE BC ，∴////FM DE BC
又∵BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠ ∴11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22
AED ACB ∠∠∠=∠ ∴()1111+2=+180222ABC ACB A ∠∠∠∠=︒-∠ 由题意可得：()34412A GFE ∠=∠=∠+∠
∴312=
4A ∠+∠∠，()3118042
A A ∠=︒-∠，解得：72A ∠=︒ 故选：C ．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理和角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．
6．如图，,AB BC AE ⊥平分BAD ∠交BC 于点E ，AE DE ⊥，1290∠+∠=︒，M ，N 分别是,BA CD 延长线上的点，EAM ∠和EDN ∠的平分线交于点F ．下列结论：①//AB CD ；②180AEB ADC ∠+∠=︒；③DE 平分ADC ∠；④F ∠为定值．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=1
2
×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠F AD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠F AD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
二、填空题
7．将一副三角板如图放置，若//AB CD ，则∠=CFE ________度．
【答案】75
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．
【详解】因为//AB CD ，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；
因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°，∠=CFE 90°-15°=75°．
故CFE ∠的度数是75度．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．
8．如图，已知//AB CD ，AC 与BD 交于点E ，BD CD ⊥于点D ，若150∠=︒，则2∠=______．
【答案】140°
【分析】首先根据对顶角相等即可求出∠CED 的度数，再根据三角形的内角和即可求得∠ECD 的度数，根据平行线的性质即可求出∠CAB 的度数，再根据补角的性质即可求解；
【详解】∵ ∠1=50°，
∴∠CED =50°，
∵ 三角形内角和为180°，BD ⊥CD ，
∴∠ECD =180°-90°-50°=40°，
∵ AB ∥CD ，
∴∠EAB =40°，
∴∠2=180°-40°=140°，
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，正确掌握知识点是解题的关键； 9．如图，ABC 中30A ∠=︒，E 是AC 边上的点，先将 ABE △沿着BE 翻折，翻折后ABE △的AB 边交AC 于点 D ，又将BCD △沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时 84CDB ∠=︒，则ABC 中ABC ∠=_______ ．
【答案】81．
【分析】在图(1)的ABC 中，根据三角形内角和定理，可求得150B C ∠+∠=︒；结合折叠的性质和图(2)(3)可知： 3B CBD ∠=∠，即可在CBD 中，得到另一个关于 B C ∠∠、度数的等量关系式，联立两式即可求得 B 的度数．
【详解】解：在ABC 中，30A ∠=︒，则150B C ∠+∠=︒①；
根据折叠的性质知：3B CBD ∠=∠，BCD C ∠=∠；
在CBD 中，则有：18084CBD BCD ∠+∠=︒-︒， 即：91
3
6B C ∠+∠=︒ ②； ①-②，得：2543
B ∠=︒，
解得81B ∠=︒
故答案为：81．
【点睛】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B 和∠CBD 的倍数关系是解答此题的关键．
10．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，将三角形沿EF 对折，使点C 与边AB 上的D 点重合．若2EFD AED ∠=∠，则AED ∠的度数为____________．
【答案】40°
【分析】设∠EFD =2∠AED =2x ，由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，由
三角形内角和定理得出∠CEF =150°-2x ，再由∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，列出方程即可求出∠AED =40°．
【详解】解：设∠EFD =2∠AED =2x ．
由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，
∠DEF =∠CEF ，
在△DEF 中，∠DEF =180°
-∠EDF -∠EFD =180°-30°-2x =150°-2x ， ∴∠CEF =150°-2x ，
∵∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，
∴150°-2x +150°-2x +x =180°，
解得x =40°，
即∠AED =40°，
故答案为40°．
【点睛】本题考查了折叠问题，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键．
11．如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB 上跑至B 点，向上跃起至最高点P ，然后落在点C 处，继续在水平面CD 上跃起落在点D ，若ABK ∠和KCD ∠的平分线的反向延长线刚好交于最高点P ，88BKC ∠=︒，则P ∠=_______度．
【答案】46
【分析】延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F ，利用角平分线的定义及平行线的性质可得13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=
∠，1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒，求得268ABK DCK ∠+∠=︒，从而得到()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒，然后结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F
由题意可得：AB ∥CD ∥KM ，PE 平分∠ABK ，PF 平分∠DCK
∴13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2
DCF DCK ∠∠=∠ 1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒
又∵∠BKC =88°
∴1+2+180BKC ∠∠∠=︒
180180180ABK DCK BKC ︒-∠+︒-∠+∠=︒，
即268ABK DCK ∠+∠=︒
∴()13+4=1342
ABK DCK ∠∠∠+∠=︒ ∴()1803446P ∠=︒-∠+∠=︒
故答案为：46．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，理解相关性质定理正确推理计算是解题关键．
12．如图，EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分EFG ，交线段EG 于点
H ，若36AEF ∠=︒，57BEG ∠=︒，则EHF ∠的大小为________．
【答案】75°．
【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，
再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．
【详解】解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°
∴∠FEH =180°-∠AEF -∠BEG =87°
∵ //AB CD
∴∠EFG =∠AEF =36°
∵FH 平分∠EFG
∴∠EFH =12
∠EFG =18° ∴∠EHF =180°-∠FEH -∠EFH =75°
故答案为：75.︒
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．
13．如图，BF 平分ABD ∠，CE 平分ACD ∠，BF 与CE 交于G ，若120BDC ∠=︒，90BGC ∠=︒，则A ∠的度数为________．
【答案】60°
【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC +∠DCB 的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC +∠ACB 的度数，从而求得∠A 的度数．
【详解】解：连接BC ．
∵∠BDC =120°，
∴∠DBC +∠DCB =180°-120°=60°，
∵∠BGC =90°，
∴∠GBC +∠GCB =180°-90°=90°，
∵BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，
∴∠GBD +∠GCD =12∠ABD +12∠ACD =30°， ∴∠ABD +∠ACD =60°，
∴∠ABC +∠ACB =120°，
∴∠A =180°-120°=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 14．如图，在ABC 中，30B ，90BAC ︒∠=，点P 是BC 的动点（不与点B ，C 重合）
，AI 、CI 分别是PAC ∠和PCA ∠的角平分线，AIC ∠的取值范围为m AIC n <∠<，则m =_______，n =________．
【答案】105°
150° 【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∠AIC ，从而得到m ，n 的值即可．
【详解】解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，
∵∠BAC=90°，
∴∠PCA=60°，∠PAC=90°
-α， ∵AI 、CI 分别平分∠PAC ，∠PCA ，
∴∠IAC=12∠PAC ，∠ICA=12
∠PCA ，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA ） =180°-12
（∠PAC+∠PCA ） =180°-12
（90°-α+60°） =12α+105°， ∵0＜α＜90°，
∴105°＜12
α+105°＜150°，即105°＜∠AIC ＜150°， ∴m=105°，n=150°．
故答案为：105°，150°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
三、解答题
15．如图，BD 是ABC ∠的平分线，//DE CB ，交AB 于点E ，150BED ∠=︒，60BDC ∠=︒，求A ∠的度数．
【答案】∠A =45°
【分析】首先根据平行线的性质求出∠ABC 的度数，再根据角平分线的性质求出∠CBD 的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠A 的度数即可．
【详解】解：∵DE ∥CB ，
∴∠BED +∠ABC =180°，
∵∠BED =150°，
∴∠ABC =30°，
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴1152
CBD ABC ∠=∠=︒， ∵∠BDC =60°，
∴∠C =105°，
∴∠A =180°-∠ABC -∠C =45°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关定理，正确识图，求得∠C 的度数是解题关键．
16．如图，在ABC 中，AE 平分∠BAC ，AD 是BC 边上的高．
（1）在图中将图形补充完整；
（2）当∠B ＝28°，∠C ＝72°时，求∠DAE 的度数；
（3）∠DAE 与∠C ﹣∠B 有怎样的数量关系？写出结论并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）22°；（3）1()2
DAE C B ∠=
∠-∠，证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）在ABC ∆中，利用三角形内角和定理可求出BAC ∠的度数，结合角平分线的定义可求出CAE ∠的度数，由AD 是BC 边上的高，可求出CAD ∠的度数，再结合DAE CAE CAD ∠=∠-∠即可求出结论； （3）根据题意可以用B 和C ∠表示出CAD ∠和CAE ∠，从而可以得到DAE ∠与C B ∠-∠的关系．
【详解】解：（1）如图，
（2）在ABC ∆中，28B ∠=︒，72C ∠=︒，
18080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，
AE ∵平分BAC ∠，
1402
CAE BAC ∴∠=∠=︒， AD 是BC 边上的高，
AD BC ∴⊥，
9018CAD C ∴∠=︒-∠=︒，
401822DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．
（3）1()2DAE C B ∠=
∠-∠， 理由：在ABC ∆中，AD ，AE 分别是ABC ∆的高和角平分线， 180CAB B C ∴∠=︒-∠-∠，90CAD C ∠=︒-∠，1(180)2CAE B C ∠=
︒-∠-∠， 11(180)(90)()22
DAE B C C C B ∴∠=︒-∠-∠-︒-∠=∠-∠． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 17．如图，在ABC 中，BE 是ABC 角平分线，点D 是AB 上的一点，且满足DEB DBE ∠=∠．
（1）DE 与BC 平行吗？请说明理由；
（2）若50C ∠=︒，45A ∠=︒，求DEB ∠的度数．
【答案】（1）//,DE BC 理由见解析；（2）42.5.︒
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE =∠EBC ，从而求出∠DEB =∠EBC ，再利用内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC =∠ADE ，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）DE ∥BC
理由如下：∵BE 是△ABC 的角平分线
∴∠DBE =∠EBC
∵∠DEB =∠DBE
∴∠DEB =∠EBC
∴ DE ∥BC ；
（2）在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠C =180°
∴∠ABC =180°-∠A-∠C =85°
∵BE 是△ABC 的角平分线
∴∠DBE =∠EBC =42.5°
∴∠DEB =∠EBC =42.5°
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，准确识别图形是解题的关键．
18．阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形的内角和
小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：
如图1，已知：三角形ABC ．求证180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒
证法一：如图2，过点A 作直线//DE BC ，∵//DE BC
∴ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠
∵180DAB BAC CAE ∠+∠+∠=︒
∴180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒，即三角形内角和是180︒
证法二：如图3，延长BC 至M ，过点C 作//CN AB …
证法一的思路是用平行线的性质得到ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180︒，这种方法主要体现的数学思想是转化思想，请运用这一思想将证法二补充完整．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，由平角的定义得到∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，
等量代换即可得到结论．
【详解】解：证明：∵CN ∥AB
∴∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，
∵∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，
∴∠ACB +∠BAC+∠ABC =180°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
19．如图，MN //PQ ，点A ，B 分别在直线MN ，PQ 上，若射线AN 绕点A 逆时针旋转至AM 后立即回转，射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 后立即回转，两射线分别绕点A ，点B 不停地旋转，若射线AN 转
动的速度是a ︒/秒，射线BP 转动的速度是b ︒/秒，且a ，b 满足方程组32527a b a b -=⎧⎨+=⎩
．
（1）求a ，b 的值；
（2）若射线AN 和射线BP 同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直？
【答案】（1）3a =，2b =；（2）至少旋转18秒时，射线AN 与射线BP 互相垂直．
【分析】（1）解二元一次方程组，即可求得a 和b 的值；
（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，根据直角三角形两锐角互余和平行线的性质可得2x °+3x °=90°，求解即可．
【详解】解：（1）32527a b a b -=⎧⎨+=⎩①②
， ①+②得：412a =，解得3a =，
将3a =代入②得327b +=，解得2b =，
所以原方程组的解为：32
a b =⎧⎨=⎩， 即3a =，2b =；
（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，记旋转后的两条射线交于点C ，连接AB ，如图，则∠BCA =90°，
由已知得∠PBC=2x°，∠NAC=3x°，
∵MN//PQ，
∴∠PBA+∠BAN=180°，
∵∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠PBC+∠NAC=90°，
∴2x°+3x°=90°，
x=，
解得18
答：至少旋转18秒时，射线AN与射线BP互相垂直．
【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解二元一次方程组．（1）中掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解题关键；（2）能根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余列出方程是解题关键．
∠交CD于20．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分AEF ∠=∠．
点M，且FEM FME
（1）猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；
∠交CD于点H，过点H作（2）若点G为直线CD上一动点（不与点M，F重合），EH平分FEG
∠=．
∠=，EGFβ
⊥于点N，设EHNα
HN EM
β=︒，求α的度数；
①如图2，当点G在射线FD上运动时，若56
②当点G 在直线CD 上运动时，请直接写出α和β的数量关系．
【答案】（1）AB ∥CD ，理由见解析过程；（2）28°；（3）α=12β或α=90°-12
β 【分析】（1）结论：//AB CD ．只要证明AEM EM D ∠=∠即可．
（2）①依据平行线的性质可得124AEG ∠=︒，再根据EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，即可得到
1622
HEN AEG ∠=∠=︒，再根据HN ME ⊥，即可得到Rt EHN ∆中，906228EHN ∠=︒-︒=︒；②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，1
2αβ=，当点G 在点F 的左侧时，1
902βα︒=-．
【详解】解：（1）结论：//AB CD ．
理由：如图1中，
EM 平分AEF ∠交CD 于点M ，
AEM M EF ∴∠=∠，
FEM FM E ∠=∠．
AEM FM E ∴∠=∠，
//AB CD ∴．
（2）①如图2中，
//AB CD ，
56BEG EGF β∴∠=∠==︒，
124AEG ∴∠=︒，
AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，
1622HEN MEF HEF AEG ∴∠=∠+∠=∠=︒，
HN EM ⊥，
90HNE ∴∠=︒，
9028EHN HEN α∴=∠=︒-∠=︒．
②结论：1
2αβ=或1
902βα︒=-．
理由：①当点G 在F 的右侧时，可得1
2αβ=． //AB CD ，
BEG EGF β∴∠=∠=，
180AEG β∴∠=︒-，
AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，
1
1
9022HEN MEF HEF AEG β∴∠=∠+∠=∠=︒-，
HN EM ⊥，
90HNE ∴∠=︒，
1
902EHN HEN αβ∴=∠=︒-∠=．
②当点G 在F 的左侧时，可得1
902βα︒=-．
理由：//AB CD ，
AEG EGF β∴∠=∠=，
又EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，
1
2HEF FEG ∴∠=∠，1
2MEF AEF ∠=∠，
M EH M EF H EF ∴∠=∠-∠
1
()2AEF FEG =∠-∠
1
2AEG =∠
1 2β
=，
又HN ME
⊥，
Rt EHN
∴△中，90
EHN MEH
∠=︒-∠，
即
1
90
2
βα︒
=-．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义等知识是解题的关键．。