对称矩阵与二次型_OK

f a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
2021/9/4
2
a11 a12
故“二记次型与一x个1,对x称2 ,矩阵, x一n，一则aa对2n11应”aa。n222，
化为标准形，并指出 f x1, x2 , x3 1表示何种二次
曲面 。
5 1 3
解：二次型f的矩阵
A
1
5
3, r A 2,
由于
3 3 3
5 1 3
A E 1 5 3 4 9
3 3 3
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12
故矩阵A的特征值为1 0, 2 4, 3 9 ，各特征值
a1n x1 a2n x2
ann xn
例如，二次型
的
A (aij )nn , x x1, x2, , xn T
f xT Ax
矩阵
。
f x12 x22 x42 2x2 x3 x2 x4
1 0 0 0
A
0 0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
2021/9/4
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30
例5.7 若 f = x12 2x22 x32 2x1x2 2tx1 x3为正定二次型，
则t应满足什么条件？
解：二次型f的矩阵为
由于
1 A 1t
a11 1,
1 t
2 0
10 ,
11 A1 2
t0
a11
a12
1
1 1,
a21 a22 1 2
t 0 1 2t2 1
的，f 记为xAT>A0(Ax<0)。0 f xT Ax 0
定理2：n元二次型
正定 其标准形中的n个系数全为正，即 f 的正
惯性系数为n f 的个特征值全为正。
定理3：(1)对称矩阵A正定(
正定)
f xT Ax
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f xT Ax
27
A的各阶主子式全为正，即
A1(2)对a1称1 矩 阵0,AA负2定(
15
原二次型可化为 f 4 y22 9 y32 由于方程在4 y22 9 y32 1 在三维空间中表示椭圆柱 面，二正交变换不会改变几何特征，故
f x1, x2 , x3 1也表示椭圆柱面。
例5.4 求一个正交变换，将二次型
f x1, x2 , x3 = x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1 x3 8x2x3
为对角形”。
C T将ACCh4§4中定理11“若A对称，则必有正交阵P，使
即
为对角阵”
应用于二次型，则有如下定理：
CT AC
P1AP PT AP
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7
定理1：对于二次型 ，其中
为，A的总特有征正值交。变f 换x=xPTyA，x将f 化为标准形
参考题1、求正交变换x=Py，将
化为标准形。
2 ， 3
2 0 1 0 2
，
3
2
，~
0
。
1
2
2 4 0 0 0
xx12
2x3 2x3
x1 x2
2 2
2
1 2
1
2 3
Hale Waihona Puke p1 2 31 3
2 2
1 2 0 1 0 1
A 2E
2
0
2
~
0
1
1 2
0 2 1 0 0 0
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9
x1 , x令3
a11 a21
正，即
a12 a负22定)
0,
a11 a1n 的奇, 数An阶主子式为负，偶数阶 主A子式0为
an1 ann
参考题2、判定二次型 的正定性。
f xT Ax
A
(1)k Ak 0
f 5x 2 6 y 2 4z 2 4xy 4xz
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28
解：f 的矩阵为
。 5 2 2 A 2 6 0
= x12 2x1 x2 x3 4x22 4x32 8x2 x3
=
x1 x2 x3
2
x2 x3
2 4x22 4x32 8x2 x3
2
2
= x1 x2 x3 3 x2 x3
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25
令
y1
x1
x2
x3,
y2 x2 x3,
y3
x3 ,
Ch5、对称矩阵与二次型
二次型及其标准形 正定二次型与正定矩阵
1
§1、二次型及其标准形
定义1：二次齐次函数
f x1, x2 , , xn 称 为a1二1x次12 型。a22 x22 令 ，则
2a13x1x3 2an1,n xn1xn
aij a ji
ann xn2 2a12 x1x2
1 2 5k
，故k>2时1 ，1f 正定。
1 1 1 1 1 1
A定定1 理理145:：若若0A,A,BA正正2 定定(，负1 则定2)，则1其对0,角A元3
均正1定。2 1 2
2 0 5k 0
1 3
3 5k 1
5k 全大1于0(小于0)零。
AT , A1, A*, A B
a11, a22 , , ann
量为
2 2
p1
1
,
p2
0
0
1
将 p1, p2 正交化，得
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19
2
b1
p1
2
1
,
b2
0
p2
p2,b1 b1 , b1
b1
5 4 5 1
再单位化，得
2
5
2
3
5
q1
b1 b1
1 5
,
q2
b2 b2
3
4 5
0
5
3 5
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20
当 3 7时，解方程组 A 7E x 0 ，即
8 2 2 x1 0
2
5
4
x2
0
由于
8 2 2 2
2
5
4
0
2 4 5 x3 0
4 9
5 2
9
0
4 1
5 2
1
0
0 1
1
1
1
0
0 1
1
2
1
2 4 5 0 18 18
对应的线性无关的特征向量分别为
1 1 1
p1
1
,
p2
1
,
p3
1
2
0
1
由于A的三个特征值互异，故 p1, p2, p3 两两正交，
将其单位化，得
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13
1
6
1
2
1
3
q1
1 6
, q2
1 2
,
q3
1
3
2 0 1
6
3
因为
1 2 2 x1 0
2
4
4
x2
0
2 4 4 x3 0
1 2 2 1 2 2
2
4
4
0
0
0
2 4 4 0 0 0
得到同解的线性方程组为
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18
基础解系为
x1 2x2 2x3
2 2
p1
1
,
p2
0
0
1
故特征值 1 2 2 对应的线性无关的特征向
f 1 y12 2 y22 n yn2
i
解：f 的矩阵为
f x12 2x22 3x32 4x1x2 4x2 x3
1 2 0 A 2 2 2
0 2 3
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8
1 2 0
AE 2
时，
0
1 1
2
令
A
，则
1E
2
时， 0
x3 1
2 2 ( 1)( 2)( 5), 1, 2,5
将二次型化为标准形。
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6
解：令
则线性变换记为
C
。
(cij
)nn
,
x
x1, x2 ,
, xn T , y y1, y2,
, yn T
x ，C显y然，当
为对角形时，f 即为标准形。故问题可转化为“对对称阵，求一可逆阵C，
使 f xT Ax CyT ACy yT CT AC y
A 1 2t2
当二次型f正定时，必有 A 1 2t2 0，故 t 1 。
2
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31
例5.8 判别二次型 的 f = 5x12 6x22 4x32 4x1 x2 4x1 x3 正定性。
解：二次型f的矩阵为
由于
5 2 2
A
2
6
0
,
2 0 4
5 2 2 A 2 6 0 80
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24
例5.5 求可逆变换化二次型
f x1, x2 , x3 = x12 4x22 4x32 2x1x2 2x1 x3 8x2x3
为标准形，并写出所作的变换矩阵。
解：由于f含x1的平方项，将含x1的项归并进行配
方，得
f x1, x2 , x3 = x12 2x1x2 2x1x3 4x22 4x32 8x2 x3
2 0 4
故f 负定。
5 2
参考题3、k为何值时，二次5型 2
A1 5 0, A2 2 正定6。 26 0, A3 2 6
20
2 0 80 0 4
f x2 2 y 2 5kz 2 2xy 2xz 4 yz
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29
解：f 的矩阵为
1 1 1
。A
1
2
2
解：二次型f的矩阵为
A
1
5
3
3 3
由于f的秩为2，即 r A 2，故 A 0，即
5 1 3
1 5 3 24 3 0
3 3
解得 3。显然，A中左上角的二阶子式非零，
故 时， 3 2021/9/4
r
A
2。
11
例5.3 求一个正交变换，将二次型
f x1, x2 , x3 = 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1 x3 6x2x3
2
0
1 2
1
1
0 0
2 3
p3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
P
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
2 3
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f y12 2 y22 5y32
10
例5.2 已知二次型 f = 5x12 5x22 x32 2x1x2 6x1 x3 6x2x3
的秩为2，求参数 。 5 1 3
即
x1
y1
y2 ,
x2 y2 y3,
x3
y3 ,
则二次型化为 f = y12 3y22。所用变换矩阵为
1 1 0
P
0
1
1
0 0 1
显然P可逆 P 1，但P不是正交矩阵。
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26
§2、正定二次型与正定矩阵
x 0 定义3：若对任何 ，都有 ，则称 f 为正定(负定)二次型，并称矩阵A为正定(负定)
3
正 (负定) 义系2数：的个数称为f 二次k型1 y的12称正为(k负二2)y次惯22型性的系标数准。形kn(y其n2矩阵为对角形)，其中的
例5.1 将二次型
写成矩阵表示形式。
解：f的系数矩阵为
f = x12 2x1 x2 2x2 x3 2x32
1 1 0
A
1
0
1
0 1 2
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4
故f的矩阵形式表示式为
1 1 0 x1
f
x1,
x2
,
x3
1
0
1
x2
0 1 2 x3
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5
问题：如何求可逆线性变换
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
x2
c21 y1 c22 y2
c2n yn
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
,
q3
1 5
4 35
2
3
0
5 35
2 3
为正交矩阵，且
2
PT
AP
2
7
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23
作正交变换 x Py,即
x1 x2 x3
2 5 1 5
0
2 35
4 35
5 35
1
3 2 3 2 3
y1 y2 y3
故原二次型可化为 f 2 y12 2 y22 7 y32 。
2 0 4
a11 5,
a11
a12 5
2 26
a21 a22 2 6
故二次型f是负定二次型。
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32
例5.9 设A是三阶实对称矩阵，E为三阶单位矩阵，
同解的方程组为
0 0 0
0 0 0
0
0
0
x1
1 2
x3
x2 x3
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21
1
基础解系为 p3
2
2
故特征值 3 7 对应的线性无关的特征向量
1
为 p3
2
1
2
3
将单位化，得
q3
2 3
，故
2 3
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22
2 5
2 35
1
3
P
q1,
q2
化为标准形。
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16
解：二次型f的矩阵为
由于
1 2 2
A
2
2
4
,
r
A
3,
2 4 2
1 2 A E 2 2
2
4 22 7
2
4 2
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17
故矩阵A的特征值为1 2 2, 3 7 。 当 1 2 2时，解方程组 A 2E x 0 ，即
故
1 6
1 2
1
3
P
q1,
q2
,
q3
1 6
1 2
1
3
2 6
0
1 3
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14
0
为正交矩阵，且
PT
AP
4
9
作正交变换 x Py ，即
x1 x2 x3
1 6 1 6 2
6
1 1
2 1 2
0
3 1 3 1
y1 y2 y3
3
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x2
1 2
x3
, 则 x3 2，
时，
， xx12
。 2 1
1
2 1
2
，
2 3
p2
1 3
2 3
4 2 0 1
,令 ,则
3 5
，
A 3E
，
2
3
2
~
0
，标故准所形求为正交变换为x=Py。，0 2 2 0