二维光子晶体波导传输特性的FDTD分析
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0引言1987年，美国的E.Yablonovitch [1]和S.John [2]各自独立
地提出了“光子晶体”（photonics crystal ）的概念，
即如果将折射系数不同的介质在空间按一定的周期排列，当周期参
数与光波长同一数量级时，
由于周期结构带来的布拉格散射，那么该晶体能够在一定的频率范围内产生“光子带隙”
（photonic band gap ，PBG ），也称“光子禁带”。
光子晶体的能带结构特性决定了其不同于其他介电材料的特性。
光子晶体[3，4]
是一种具有周期结构的人造材料，
因为其应用范围广泛，一经问世就引起了学术界高度关注。
随着
对光子晶体的深入研究，
科学家们相信对光子晶体的研究和应用将会极大地推动光子学和光子产业的发展。
目前，在理论上，科学家们提出了多种模拟计算光子晶体的理论
方法。
具有固定结构和参数的光子晶体，借助计算机，人们
可以很容易计算出其能带结构、反射和透射等物理性质。
在二维光子晶体方面，
分析研究不同介质常数形成的不同周期结构的光子晶体的能带结构和分析由线缺陷构成的光波导的特性仍是人们的研究课题之一。
本论文将采用时域有限差分法研究无限长Al 2O 3介质
棒在空气中排列形成的二维光子晶体，
通过分析反射和透射等特性，算出该完整周期结构光子晶体的带隙。
接着设
计一种线缺陷，形成波导结构，
进而计算和验证缺陷态的存在。
1计算方法
时域有限差分法（FDTD ）是电磁场数值计算的经典方
法之一，其被应用于光子晶体的理论研究[5]始于上世纪90年代。
在三维直角坐标系中，时域有限差分（FDTD ）中离散的电场和磁场的空间分布如图1所示，每一个磁场分量周
围有四个电场分量；
每一个电场分量周围有由四个磁场分量。
电磁场分量的这种空间取样方式既符合符合法拉第电
磁感应定律和安培环路定律，
又适合Maxwell 方程的差分计算，可以完整地描述电磁场随着实践在空间的的传播。
根据时域有限差分（FDTD
）理论，
Maxwell
差分方程可
以写为：
同理可以写出H y 、H z 、E y 、E z 的Maxwell 差分方程。
本
文研究的光子晶体属于二维体系，
所以设所有物理量均与Y 轴无关，
即∂/∂y=0。
此时光子晶体在Y 轴方向是无限长的，折射率只在X-Z 平面内呈现周期性变化。
很显然这种情况下，电磁波将分成两种独立的模式，TE 模式和TM 模
式（同时我们认为波是沿着Z 方向传播的）。
二维时的计算区域如图2所示。
在x 和z 方向的空间步长分别为Δx 和Δz 。
在每个格点上将赋值上相应材料的折射率。
我们将采用了TM 模式，即电场只有E y 分量，
而磁场是H x 和H z 分量不为零。
整个波在无损耗介质中传播。
此时的Maxwell 方程有如下形式：
——————————————————————
—作者简介:张立云（1979-），女，河北沙河人，副教授，
硕士研究生，研究方向为凝聚态物理。
二维光子晶体波导传输特性的FDTD 分析
FDTD Analysis of Transmission Characteristics of Two-dimensional Photonic Crystal Waveguides
张立云ZHANG Li-yun ;张娜ZHANG Na ;张淼ZHANG Miao ;徐筠XU Yun
（陆军军事交通学院基础部，
天津300161）（Basic Department ，Army Military Transportation Academy ，Tianjin 300161，China ）
摘要:本文基于时域有限差分（FDTD ）法，模拟了由氧化铝圆柱棒构成的二维光子晶体和具有线缺陷的二维光子晶体波导的传
输特性。
结果表明，该光子晶体在红外波段（1.35-2.12um ）上存在光子带隙，缺陷态在1.5-1.6um 的波段。
光子晶体的这一特性可以用来进一步发展红外光波导。
Abstract:The finite -difference time-domain (FDTD)method was used to calculate transmission characteristic of two -dimensional
photonic crystal and two -dimensional photonic crystal waveguide with line -defect,which has periodic Al 2O 3cylinder array structure.
Numerical simulation results showed that PBG of photonic crystal existed in the range 1.35-2.12um (infrared waveband)and defect state existed in the range 1.5-1.6um,and it may be used to develop infrared guide.
关键词:光子晶体；时域有限差分；传输特性
Key words:photonic crystals ；FDTD ；transmission characteristics 中图分类号:TN929.11
文献标识码:A
文章编号:1006-4311（2021）35-125-03
doi:10.3969/j.issn.1006-4311.2021.35.042
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图2TM 模式电磁场在计算区域中取样分布
图1FDTD 离散中的Yee
元胞
其中ε=ε0εr 是介质中的介电常数，μ0是真空磁导率。
折射率与相对介电常数的关
系是n=εr √。
对于TM 模式，电磁场的取样点如图2所示。
图2中的i 和k 分别代表沿X 轴和Z 轴的Yee 原胞数量。
那么根据中心差分离散化后得到三个方程分别为：
其中Δt 是时间离散步长，Δx 、Δz 分别是x 、z 方向的
空间离散步长，ε（i.k+1/2）
是网格标号为（i.k+1/2）处的介
电常数。
在计算中，选择的计算区域为z 方向是0-20um ，x 方向是-6.195-6.195um 。
其中Δx=0.02um ，Δz=0.02um ，x 和z
方向网格数分别为619和1000。
时间步数为5000步，时间步长为4.447×10-17。
圆柱间的圆心距离为0.59um ，圆柱半径为0.118um 。
其中入射波设置为TM 模式的平面波振幅设置为1V/m ，平行于X 轴，离x 轴1.7um ，即z=1.7um 处。
其中x 和z 方向的圆柱数目都是21根，如图3所示。
要形成波导时可将圆心在z 轴上的圆柱抽掉，如图4所示。
其中圆柱的材料为Al 2O 3介质介电常数为8.9，折射率为2.98328。
2结果与讨论
通过FDTD 模拟我们得到无缺陷时该光子晶体的带
隙为1.35-2.12um ，其中1.35um 为其左边界，
当波长等于1.35um 时电场分布和能流分布分别如图5和图6。
当波长等于2.12um 时电场分布和能流分布分别与波长等于1.35um 时电场分布和能流分布相似。
说明当波长
为1.35um 和2.12um 时，电磁波几乎不能通光子晶体，
大部分被反射回来，确实存在光子禁带。
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图
6波长为1.35um
时能流分布
图3
完整光子晶体
图7
波长为1.5um 电场分布
图
8波长为1.5um 时能流分布
图4光子晶体波导
图
5波长为1.35um 时电场分布
接着我们在光子带隙之间找到了，有线缺陷时该光子
晶体的缺陷态为1.5-1.6um 。
当波长为1.5um 时，电场分布和能流分布分布如图7和8所示。
当波长为1.6um 时电场分布和能流分布分别波长等于1.5um 时电场分布和能流分布相似。
说明波长为1.5um 和1.6um 时光能在线缺陷中传播。
因此我们得出在光子禁带之间确实存在带宽极窄的缺陷态。
基于光子晶体的基本原理，本文设计了一种二维光子晶体，并用对其进行了FDTD 方法的数值模拟。
得到了不同波长红外光在正入射情况下的电场分布和能流分布。
结
果表明，光子晶体在红外波段存在光子带隙，
并且带隙间存在缺陷态。
这一特性对进一步研究红外光波导有一定的指导作用。
参考文献院
[1]E.Yablonoviteh.Inhibited spontaneous emission in solid -state physics and electronics.Phys.Rev.Lett,1987,58:2059-2062.[2]S.John.Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices.Phys.Rev.Lett,1987,58:2486-2489.
[3]E.Yablonoviteh.Inhibited spontaneous emission in solid -state physics and electronics.Phys.Rev.Lett,1987,58:2059-2062.
[4]S.John.Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices.Phys.Rev.Lett,1987,58:2486-2489.
[5]K.S.Yee.Numerical solution of intial boundary value problems involving Maxwell′s equations in isotropic media.IEEE
Trans/Antennas Propagation,1966,14:302-307.
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