大学物理课后习题答案第六章大学物理第六章

第6章 真空中的静电场 习题及答案
1。

电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。

一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0,所以
2
00
200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε
故 223+=x
2。

电量都是q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问：（1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?（2)这种平衡与三角形的边长有无关系？
解：（1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以
2
220)3
3(π41
30cos π412a q q a q '=︒εε
故 q q 3
3-
=' （2）与三角形边长无关。

3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为
l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。

求该直线段受到的
电场力。

解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强.在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为
)
(4220R x dq
dE +=
πε
根据电荷分布的对称性知,0==z y E E
2
3
2
2
0)
(41
cos R x xdq
dE dE x +=
=πεθ
R O
λ1
λ2
l
x
y z
式中:θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角.
⎰+=
2
32
2
0)
(4dq R x x
E x πε
2
32210)(24R x R
x
+⋅=
πλπε2
32201)(2R x x
R +=
ελ
下面求直线段受到的电场力。

在直线段上取dx dq 2λ=,dq 受到的电场力大小为
dq E dF x =dx R x x
R 2
3
22021)(2+=
ελλ 方向沿x 轴正方向.
直线段受到的电场力大小为
⎰=dF F dx R x x
R l ⎰+=
02
3220
21)(ελλ2 ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-
=
2/1220211
1R l R R ελλ2 方向沿x 轴正方向。

4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ.求：
(1）圆心处O 点的场强;
(2)将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。

解：（1）在半圆环上取ϕλλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为
20π4R dq dE ε=
ϕελ
d R
0π4= ，方向沿半径向外
根据电荷分布的对称性知，0=y E
ϕϕελ
ϕd R
dE dE x sin π4sin 0=
=
R
d R E x 000
π2sin π4ελ
ϕϕελπ
==⎰
故 R
E E x 0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向.
（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。

5．如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。

解:建立图示坐标系。

在均匀带电细直杆上取dx L
q
dx dq ==λ，dq 在P 点产生的场强大小为
2
02044x
dx
x dq dE πελπε==
，方向沿x 轴负方向。

故 P 点场强大小为 ⎰
⎰+=
=L d d
P x dx
dE E 2
04πελ
()
L d d q
+π=
04ε
方向沿x 轴负方向。

6. 一半径为R 的均匀带电半球面，其电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解:建立图示坐标系。

将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环,应用场强叠加原理求解。

在半球面上取宽度为dl 的细圆环，其带电量rdl dS dq πσσ2⋅=⋅=θθπσd R sin 22
⋅=，
dq 在O 点产生场强大小为(参见教材中均匀带电圆环轴线上
的场强公式）
2
32
2
0)
(4r x xdq dE +=
πε ,方向沿x 轴负方向
利用几何关系，θcos R x =，θsin R r =统一积分变量，得
2
3
220)
(4r x xdq
dE +=
πε
θθπσθπεd R R R sin 2cos 41
2
3
0⋅=
θθθεσ
d cos sin 20
=
因为所有的细圆环在在O 点产生的场强方向均沿为x 轴负方向，所以球心处电场强度的大
小为
⎰=dE E θθθεσ
πd cos sin 22
/0
⎰
=
4εσ=
L
d
q P x
O
O
R
x dl
r
方向沿x 轴负方向。

7。

一“无限大”平面，中部有一半径为R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为σ,如图所示.试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强.
解：应用补偿法和场强叠加原理求解。

若把半径为R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为σσ-='的半径为R 的带电圆盘，由场强叠加原理知,P 点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。

“无限大”带电平面在P 点产生的场强大小为
1
2εσ
=
E ，方向沿x 轴正方向 半径为
R 、电荷面密度
σσ-='的圆盘在P 点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）
022εσ=
E )1(22x
R x
+-,方向沿x 轴负方向
故
P 点的场强大小为
2
2
0212x
R x
E E E +=
-=εσ
方向沿x 轴正方向。

8。

(1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2）如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少？
解：（1)由高斯定理0
d εq
S E s
⎰
=
⋅
求解。

立方体六个面,当q 在立方体中心时,每个面上电
通量相等，所以通过各面电通量为
6εq
e =
Φ （2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则通过边长a 2的正方形各面的电通量0
6εq e =
Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则0
24εq
e =Φ，如果它包含q 所在顶点,则0=Φe 。

9。

两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别
σ
O
R x
P
•
x
为1σ和2σ,试求空间各处场强。

解:如图所示，电荷面密度为1σ的平面产生的场强大小为
1
2εσ=
E ，方向垂直于该平面指向外侧 电荷面密度为2σ的平面产生的场强大小为
2
2εσ=
E ，方向垂直于该平面指向外侧 由场强叠加原理得
两面之间，)(21
210
21σσε-=
-=E E E ，方向垂直于平面向右 1σ面左侧,)(21
210
21σσε+=
+=E E E ,方向垂直于平面向左 2σ面右侧,)(21
210
21σσε+=
+=E E E ,方向垂直于平面向右 10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为1R 和2R ,电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为ρ（0>ρ)。

试求各区域的电场强度分布。

解：电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面.由高斯定理
∑⎰=
⋅i
S
q
S d E 0
1ε 得
i q r E ∑=
⋅0
2
1
4επ
当1R r <时，0=∑i q ,所以 0=E 当21R r R <<时，)3
434(313R r q i ππρ-=
∑，所以
2
03133)
(r
R r E ερ-= 当2R r >时，)3
434(3132R R q i ππρ-=
∑，所以
2
031323)
(r R R E ερ-=
11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为1R 和2R （12R R >），若大球面的面电荷密度为σ,且大球面外的电场强度为零。

求：（1）小球面上的面电荷密度;（2)大球面内各点的电场强度。

解：（1）电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面。

由高斯定理
∑⎰=
⋅i
S
q
S d E 0
1ε 得
i q r E ∑=
⋅0
2
1
4επ
当2R r >时，0=E ,0442
12
2=⋅'+⋅=∑R R q i πσπσ,所以
σσ2
1
2)R R （
-=' （2）当1R r <时，0=∑i q ,所以 0=E
当21R r R <<时,2
22
144R R q i πσπσ-=⋅'=∑，所以
22)εσ
r R E （
-= 负号表示场强方向沿径向指向球心。

12. 一厚度为d 的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为ρ，求板内外的场强。

解：电场分布具有面对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底
面圆到平板中心的距离均为x ，底面圆的面积为S ∆.由高斯定理∑⎰=
⋅i
S
q
S d E 0
1
ε 得
=⋅⎰
S
S d E i q S E S E ∑=+∆⋅+∆⋅0
1
0ε 当2
d
x <
时(平板内部）,S x q i ∆⋅⋅=∑2ρ，所以 0
ερx E =
当2
d
x >
（平板外部）,S d q i ∆⋅⋅=∑ρ，所以 0
2ερd E =
13。

半径为R 的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为ρ,求其场强分布。

解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l ，底面圆半径为r ，应用高斯定理求解。

i S
q rl E S E ∑=
⋅=⋅⎰0
1
π2d ε (1） 当R r
<时， l r q i 2πρ⋅=∑,所以
2ερr
E =
(2) 当R r
>时，l R q i 2πρ⋅=∑,所以
r
R E 02
2ερ=
14.一半径为R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ,设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O 点的电势。

解:取半径为r 、dr 的细圆环rdr dS dq πσσ2⋅==,则dq 在O 点产生的电势为
024εσπεdr
r
dq dV =
=
圆盘中心O 点的电势为
dr dV V R
⎰⎰
==0
02εσ0
2εσR = 15。

真空中两个半径都为R 的共轴圆环，相距为l .两圆环均匀带电，电荷线密度分别是λ+和λ-。

取两环的轴线为x 轴,坐标原点O 离两环中心的距离均为2
l
,如图所示。

求x 轴上任一点的电势。

设无穷远处为电势零点。

解：在右边带电圆环上取dq ，它在x 轴上任一点P 产生的的电势为
2
2
0)2/(4R
l x dq
dV +-=
πε
右边带电圆环在P 产生的的电势为
⎰⎰+-==+dq R
l x dV V 2
2
0)2/(41
πε
2
2
0)2/(2R
l x R
+-=
ελ
同理,左边带电圆环在P 产生的电势为
2
20)2/(2R
l x R
V ++-=
-ελ
由电势叠加原理知,P 的电势为
02ελR V V V =
+=-+-
+-22)2/(1
(R
l x ))2/(12
2
R
l x ++
16. 真空中一半径为R 的球形区域内均匀分布着体电荷密度为ρ的正电荷，该区域内
a 点离球心的距离为R 31，
b 点离球心的距离为R 3
2。

求a 、b 两点间的电势差ab U
解：电场分布具有轴对称性，以O 为球心、作半径为r 的同心球面为高斯面。

由高斯定
理∑⎰=
⋅i
S
q
S d E 0
1ε 得
当R r
<时,30
23
41
4r r E πρεπ⋅=
⋅ ，所以
3ερr E =
a 、
b 两点间的电势差为
⎰
⋅=b
a
ab r d E U 0
2
03/23
/183ερερR dr r R R =
=⎰
17．细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为a 和a 3，
两圆柱面间为真空。

电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为U 。

求:
（1）内圆柱面上单位长度所带的电量λ； （2）在离轴线距离a r 2=处的电场强度大小. 解：（1)电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l ，底面圆半径为r ，应用高斯定理求解.
i S
q rl E S E ∑=
⋅=⋅⎰
1
π2d ε
内、外两圆柱面之间，l q i λ=∑，所以
r
E 02πελ
=
内、外两圆柱面之间的电势差为
dr r r d E U a a
a a
⎰⎰=⋅=3032πελ
3ln 20
πελ= 内圆柱面上单位长度所带的电量为
3
ln 20U
πελ=
（2）将λ代人场强大小的表达式得，3
ln r U
E = 在离轴线距离a r 2=处的电场强度大小为
3
ln 2a U
E =
18。

如图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,—q 的点电荷，AB 间距离为R 2，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功。

解:O 点的电势为
R
q V O 0π4ε=
0π40=-+
R
q
ε
C 点的电势为
R
q V C 3π40⋅=
εR q 0π4ε-+
R
q
0π6ε-=
电场力作的功为
R
q
q V V q A o C O 00π6)(ε=
-=
19．如图所示,均匀带电的细圆环半径为R ，所带电量为Q （0>Q )，圆环的圆心为O ,一质量为m ，带电量为q (0>q ）的粒子位于圆环轴线上的P 点处,P 点离O 点的距离为d 。

求：
（1)粒子所受的电场力F
的大小和方向；
（2）该带电粒子在电场力F
的作用下从P 点由静止开始沿轴线运动，当粒子运动到无
穷远处时的速度为多大?
解：(1）均匀带电的细圆环在P 点处产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
2
32
2
0)
(41
d R Qd
E x +=
πε，方向沿OP 向右
粒子所受的电场力的大小
2
3
2
2
0)
(4d R qQd qE F x +=
=πε，方向沿OP 向右
（2）在细圆环上取dq ,dq 在P 点产生的电势为
r
dq dV 04πε=
2
2
04d
R dq +=
πε
P 点的电势为
⎰⎰+==dq d
R dV V 2
2
041 πε
2
2
04d
R Q +=
πε
由动能定理得，02
1
)0(2-=
-=υm V q A 2
2
02d
R m qQ +=
πευ。