专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习
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A. B. C. D.
√
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.
A. B. C. D.
曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为曲线的下焦点 到渐近线 的距离为 ,离心率 ,得 , ,代入 ，可得 ,所以双曲线的标准方程为 .故选D.
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求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”（1）定型，就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.（2）计算，即利用待定系数法求出方程中的 , 或 .另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为 或 ,椭圆常设为 ,双曲线常设为 .[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
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2.（2022·高三名校联考信息卷（一））已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为____.
18
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解析：如图，根据双曲线的对称性，不妨设点 在第一象限.因为 ， 关于原点对称， , 也关于原点对称，所以线段 与线段 互相平分，所以四边形 是平行四边形，又 ,所以四边形 是矩形，所以
A. B. C. D.
解析：因为点 为抛物线上一点，所以将点 的坐标代入抛物线的方程 ，可得 ,所以抛物线的方程为 ,可得其准线方程为 .根据抛物线的定义，得 .故选B.
√
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（2）（2022·广东广州调研测试）如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成双曲线 下支的一部分，且该双
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1.（2022·高三名校联考信息卷（一））设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
√
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解析：选D.将 代入抛物线方程 ,可得直线 与抛物线 的交点的坐标为 , .不妨设 , ,因为 ，所以 ,即 ,解得 ,所以抛物线 的焦点坐标为 ，故选D.
2023届高考数学复习专题★★ 圆锥曲线的定义、方程与性质
1.（2022·高考全国卷乙）设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选 B.方法一：如图，由题意可知 ，设 ,则由抛物线的定义可知 .因为 ,所以由 ,可得 ,解得
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， ，得 所以直线 的方程为 ，即 .优解：设直线 的方程为 ，分别令 ， ，得点 ， .由题意知线段 与线段 有相同的中点，设为 ，则 ，则 ， .由椭圆中点弦的性质知， ,即 ，以下同通解.
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（1）弦长公式设直线斜率为 ，直线与圆锥曲线交于 , 时， 或 .（2）中点弦问题的解决方法①对于中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 ，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.②用“点差法”求解中点弦问题的解题步骤
A. B. C. D.
√
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解析：选A.方法一：设 ，则 ，易知 ,所以 .因为点 在椭圆 上，所以 ，得 ,代入 式，得 ,结合 ，得 ,所以 .故选A.
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方法二：设椭圆 的右顶点为 ，则直线 与直线 关于 轴对称，所以 ，所以 ，所以 .故选A.
√
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（2）（2022·广东广州调研测试）如图所示，一个底面半径为 的圆柱被与其底面成 角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法错误的是( )
A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为 C.椭圆的方程可以为 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
√
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解析：圆柱的底面半径是 ,直径是 ，所以椭圆的长轴长 ， ,A正确.短轴长 , ,则 ,离心率 ,B错误.建立适当的坐标系，椭圆的方程为 ,C正确.椭圆上的点到焦点的距离的最小值是 ，D正确.故选B.
A. B. C. D.
解析：选B.依题意得 , , ,所以 , , ，故 ,又 的离心率 ，所以 , , ,即 的方程为 ，故选B.
√
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3.（2022·高考全国卷甲）椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．若直线 , 的斜率之积为 ，则 的离心率为( )
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2.（2022·高考浙江卷）已知双曲线 <m></m> 的左焦点为 <m></m> ，过 <m></m> 且斜率为 <m></m> 的直线交双曲线于点 <m></m> ，交双曲线的渐近线于点 <m></m> 且 <m></m> .若 <m></m> ，则双曲线的离心率是_ ___.
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解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点 且斜率为 的直线的方程为 ，由 解得
所以 .因为 ，所以 ，
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即 ，得 所以 ，将 代入双曲线方程 ，可得 ，结合离心率 得 ，又 ，所以双曲线的离心率为 .
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1.经过椭圆 的左焦点和上顶点的直线记为 .若椭圆 的中心到直线 的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆 的方程为( )
A. B. C. D.
√
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解析：选D.设椭圆的半焦距为 ，由题意知，椭圆的左焦点为 ，上顶点为 ，则直线 的方程为 ，即 ，因为椭圆 的中心为坐标原点，所以 ①.又短轴长是焦距的2倍，所以 ，即 ②.联立①②，解得 ， ，所以 .所以椭圆 的方程为 ，故选D.
，所以 或 .不妨取 ,则 ,故选B.
√
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方法二：由题意可知 , ,所以 .因为抛物线的通径长为 ,所以 的长为通径长的一半，所以 轴，所以 ,故选B.
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2.（2022·高考全国卷甲）已知椭圆 的离心率为 ， , 分别为 的左、右顶点， 为 的上顶点．若 ，则 的方程为( )
A. B. C. D.
√
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解析：选A.方法一：由 得 ①，若直线 与双曲线 有交点，则方程①有实根，所以 ,即 ,所以 ,所以 ,故选A.
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方法二：双曲线 的渐近线方程为 ,因为直线 与双曲线 有交点，所以直线 的斜率比渐近线 的斜率小，即 ,即 ,所以 ,所以 ,故选A.
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（1）椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 , , 的等量关系或不等关系，然后把 用 , 代换，求 的值（范围）.（2）求双曲线的渐近线方程的方法令方程左边的式子等于0，即令 ，得 ；或令 ，得 .
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1.（2022·湖南长沙新高考适应性考试）若双曲线 与直线 有交点，则其离心率的取值范围是( )
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解析：由于椭圆关于原点对称，不妨设点 在 轴上方.设点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，内切圆半径为 ，椭圆长轴长为 ，焦距为 ，则
，得 ，又 ，即 ，又 ，
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化简得 ，即 ，解得 ，可得离心率为 .
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考点三 直线与圆锥曲线的简单问题
例3.（1）（2022·贵州贵阳五校联考（三））已知 是抛物线 的焦点， 为坐标原点，过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，则 面积的最小值为( )
解析：通解：设直线 的方程为 ，分别令 ， ，得点 ， .设 ， .
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由题意知线段 与线段 有相同的中点，所以 即 因为 ，所以 .将
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代入椭圆方程，得 相减得 ,由题意知 ， ，所以 ，即 ，整理得 ①.又 ，所以由勾股定理，得 ②，由①②并结合
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【考情分析】 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容.常以选择、填空以及解答题的第一问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等.
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研考点 破重难
02
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
例1.（1）（2022·湖北武汉调研考试）已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上一点，则 ( )
√
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.
A. B. C. D.
曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为曲线的下焦点 到渐近线 的距离为 ,离心率 ,得 , ,代入 ，可得 ,所以双曲线的标准方程为 .故选D.
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求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”（1）定型，就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.（2）计算，即利用待定系数法求出方程中的 , 或 .另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为 或 ,椭圆常设为 ,双曲线常设为 .[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
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2.（2022·高三名校联考信息卷（一））已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为____.
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解析：如图，根据双曲线的对称性，不妨设点 在第一象限.因为 ， 关于原点对称， , 也关于原点对称，所以线段 与线段 互相平分，所以四边形 是平行四边形，又 ,所以四边形 是矩形，所以
A. B. C. D.
解析：因为点 为抛物线上一点，所以将点 的坐标代入抛物线的方程 ，可得 ,所以抛物线的方程为 ,可得其准线方程为 .根据抛物线的定义，得 .故选B.
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（2）（2022·广东广州调研测试）如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成双曲线 下支的一部分，且该双
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1.（2022·高三名校联考信息卷（一））设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
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解析：选D.将 代入抛物线方程 ,可得直线 与抛物线 的交点的坐标为 , .不妨设 , ,因为 ，所以 ,即 ,解得 ,所以抛物线 的焦点坐标为 ，故选D.
2023届高考数学复习专题★★ 圆锥曲线的定义、方程与性质
1.（2022·高考全国卷乙）设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选 B.方法一：如图，由题意可知 ，设 ,则由抛物线的定义可知 .因为 ,所以由 ,可得 ,解得
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， ，得 所以直线 的方程为 ，即 .优解：设直线 的方程为 ，分别令 ， ，得点 ， .由题意知线段 与线段 有相同的中点，设为 ，则 ，则 ， .由椭圆中点弦的性质知， ,即 ，以下同通解.
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（1）弦长公式设直线斜率为 ，直线与圆锥曲线交于 , 时， 或 .（2）中点弦问题的解决方法①对于中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 ，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.②用“点差法”求解中点弦问题的解题步骤
A. B. C. D.
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解析：选A.方法一：设 ，则 ，易知 ,所以 .因为点 在椭圆 上，所以 ，得 ,代入 式，得 ,结合 ，得 ,所以 .故选A.
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方法二：设椭圆 的右顶点为 ，则直线 与直线 关于 轴对称，所以 ，所以 ，所以 .故选A.
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（2）（2022·广东广州调研测试）如图所示，一个底面半径为 的圆柱被与其底面成 角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法错误的是( )
A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为 C.椭圆的方程可以为 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
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解析：圆柱的底面半径是 ,直径是 ，所以椭圆的长轴长 ， ,A正确.短轴长 , ,则 ,离心率 ,B错误.建立适当的坐标系，椭圆的方程为 ,C正确.椭圆上的点到焦点的距离的最小值是 ，D正确.故选B.
A. B. C. D.
解析：选B.依题意得 , , ,所以 , , ，故 ,又 的离心率 ，所以 , , ,即 的方程为 ，故选B.
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3.（2022·高考全国卷甲）椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．若直线 , 的斜率之积为 ，则 的离心率为( )
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2.（2022·高考浙江卷）已知双曲线 <m></m> 的左焦点为 <m></m> ，过 <m></m> 且斜率为 <m></m> 的直线交双曲线于点 <m></m> ，交双曲线的渐近线于点 <m></m> 且 <m></m> .若 <m></m> ，则双曲线的离心率是_ ___.
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解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点 且斜率为 的直线的方程为 ，由 解得
所以 .因为 ，所以 ，
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即 ，得 所以 ，将 代入双曲线方程 ，可得 ，结合离心率 得 ，又 ，所以双曲线的离心率为 .
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1.经过椭圆 的左焦点和上顶点的直线记为 .若椭圆 的中心到直线 的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆 的方程为( )
A. B. C. D.
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解析：选D.设椭圆的半焦距为 ，由题意知，椭圆的左焦点为 ，上顶点为 ，则直线 的方程为 ，即 ，因为椭圆 的中心为坐标原点，所以 ①.又短轴长是焦距的2倍，所以 ，即 ②.联立①②，解得 ， ，所以 .所以椭圆 的方程为 ，故选D.
，所以 或 .不妨取 ,则 ,故选B.
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方法二：由题意可知 , ,所以 .因为抛物线的通径长为 ,所以 的长为通径长的一半，所以 轴，所以 ,故选B.
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2.（2022·高考全国卷甲）已知椭圆 的离心率为 ， , 分别为 的左、右顶点， 为 的上顶点．若 ，则 的方程为( )
A. B. C. D.
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解析：选A.方法一：由 得 ①，若直线 与双曲线 有交点，则方程①有实根，所以 ,即 ,所以 ,所以 ,故选A.
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方法二：双曲线 的渐近线方程为 ,因为直线 与双曲线 有交点，所以直线 的斜率比渐近线 的斜率小，即 ,即 ,所以 ,所以 ,故选A.
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（1）椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 , , 的等量关系或不等关系，然后把 用 , 代换，求 的值（范围）.（2）求双曲线的渐近线方程的方法令方程左边的式子等于0，即令 ，得 ；或令 ，得 .
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1.（2022·湖南长沙新高考适应性考试）若双曲线 与直线 有交点，则其离心率的取值范围是( )
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解析：由于椭圆关于原点对称，不妨设点 在 轴上方.设点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，内切圆半径为 ，椭圆长轴长为 ，焦距为 ，则
，得 ，又 ，即 ，又 ，
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化简得 ，即 ，解得 ，可得离心率为 .
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考点三 直线与圆锥曲线的简单问题
例3.（1）（2022·贵州贵阳五校联考（三））已知 是抛物线 的焦点， 为坐标原点，过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，则 面积的最小值为( )
解析：通解：设直线 的方程为 ，分别令 ， ，得点 ， .设 ， .
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由题意知线段 与线段 有相同的中点，所以 即 因为 ，所以 .将
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代入椭圆方程，得 相减得 ,由题意知 ， ，所以 ，即 ，整理得 ①.又 ，所以由勾股定理，得 ②，由①②并结合
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【考情分析】 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容.常以选择、填空以及解答题的第一问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等.
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考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
例1.（1）（2022·湖北武汉调研考试）已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上一点，则 ( )