2020浙江高考数学一轮复习：数系的扩充与复数的引入(共72张PPT)

解题关键 正确理解共轭复数的概念是求解的关键.
2.(2019课标全国Ⅲ文,2,5分)若z(1+i)=2i,则z= ( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
答案 D 本题考查复数的四则运算,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.
由题意得z= 2i = 2i(1 i) =1+i,故选D. 1 i (1 i)(1 i)
答案 C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i×2i=-2; B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i; D.i(1+i)=-1+i,故选C.
12.(2017北京文,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围 是 ( ) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
∵z= 1 = 1 i = 1 i = 1 - 1 i, 1 i (1 i)(1 i) 2 2 2
∴|z|=


1 2
2




1 2
2

=
2.
2
3.(2017浙江,12,6分)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=
,ab=
.
答案 C 本题主要考查复数的概念及几何意义;考查学生的运算求解能力,以及数形结合思 想;考查的核心素养是数学运算. 设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P,则P(0,1),且|z-i|表示复平面内点Z与点P之间的距离, 所以点Z(x,y)到点P(0,1)的距离为定值1,所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,故选C.
∴
a
2

(b
1)2

0,
2a(b 1) 2,
解得
a b

1, 0
或
a b

1, ∴z=1或z=-1-2i.
2.
评析 本题考查复数的运算,正确将(z+i)2=2i变形是求解的关键.
5.(2015浙江自选,“复数与导数”模块,03(1),5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,复数z=1+ai满足z2+ z=1+bi,求a2+b2的值.
解题关键 牢记i2=-1.分母实数化是求解本题的关键.
3.(2019北京文,2,5分)已知复数z=2+i,则z· z = ( ) A. 3 B. 5 C.3 D.5
答案 D 本题主要考查复数的运算,共轭复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心 素养是数学运算. ∵z=2+i,∴ z =2-i,∴z· z =(2+i)·(2-i)=4+1=5,故选D.
1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 5
8.(2018课标全国Ⅰ文,2,5分)设z= 1 i +2i,则|z|= ( )
1 i
A.0 B. 1 C.1 D. 2
2
答案 C ∵z= 1 i +2i= (1 i)2 +2i=1 2i 1 +2i=i,
1 i (1 i)(1 i)
高考数学 (浙江专用)
第十三章 数系的扩充与复数的引入
五年高考
A组 自主命题·浙江卷题组
考点 复数的概念及运算
1.(2018浙江,4,4分)复数 2 (i为虚数单位)的共轭复数是 ( )
1i
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
答案 B 本题考查复数的有关概念和运算.
∵ 2 = 2(1 i) =1+i,∴ 2 的共轭复数为1-i.
∴a2+b2=2a2-3=5,ab=2.
解法二:由解法一知ab=2,
又|(a+bi)2|=|3+4i|=5,∴a2+b2=5.
4.(2016浙江自选,“复数与导数”模块,03(1),5分)已知i为虚数单位.若复数z满足(z+i)2=2i,求复数z.
解析 设复数z=a+bi,a,b∈R,由题意得a2-(b+1)2+2a(b+1)i=2i,
解法二(直接法):对于命题p1,设z=a+bi(a,b∈R),由 1z = a 1bi = aa2 bbi2 ∈R,得b=0,则z∈R成立,故命
题p1正确;对于命题p2,设z=a+bi(a,b∈R),由z2=(a2-b2)+2abi∈R,得ab=0,则a=0或b=0,复数z可能为 实数或纯虚数,故命题p2错误;对于命题p3,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),由z1·z2=(ac-bd)+ (ad+bc)i∈R,得ad+bc=0,不一定有z1= z2 ,故命题p3错误;对于命题p4,设z=a+bi(a,b∈R),则由z∈R, 得b=0,所以 z =a∈R成立,故命题p4正确.故选B.
14.(2017山东理,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+ 3 i,z· z =4,则a= ( ) A.1或-1 B. 7 或- 7 C.- 3 D. 3
答案 A 本题主要考查复数的概念及运算. ∵z=a+ 3 i,∴ z =a- 3 i,又∵z· z =4,∴(a+ 3 i)(a- 3 i)=4,∴a2+3=4,∴a2=1,∴a=±1.故选A.
1i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B ∵ 2i = 2i(1 i) =-1+i,∴复数 2i 在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.
1i 2
1i
21.(2015湖北,1,5分)i为虚数单位,i607的 共轭复数为 ( )
4.(2019课标全国Ⅰ文,1,5分)设z= 3 i ,则|z|= ( )
1 2i
A.2 B. 3 C. 2 D.1
答案 C 本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.
∵z= 3 i = (3 i)(1 2i) 1 2i (1 2i)(1 2i)
答案 5;2
解析 本题考查复数的四则运算,复数相等的充要条件,复数模的运算,解二元二次方程组,考 查运算求解能力. 解法一:∵(a+bi)2=a2-b2+2abi,a,b∈R,
∴
a2

b2

3, ⇒
2ab 4
a2

4 a2
ab 2
3,⇒
a2 4, ab 2.
19.(2015课标Ⅱ,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i, 则a= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 B ∵(2+ai)(a-2i)=-4i⇒4a+(a2-4)i=-4i,
∴
4a a2

0, 4
4,
解得a=0.
20.(2015安徽,1,5分)设i是虚数单位,则复数 2i 在复平面内所对应的点位于 ( )
7.(2018课标全国Ⅱ理,1,5分) 1 2i = ( )
1 2i
A.- 4 - 3 i B.- 4 + 3 i C.- 3 - 4 i D.- 3 + 4 i
55
55
55
55
答案 D 本题主要考查复数的四则运算.
1 2i = (1 2i)2 = 3 4i =- 3 + 4 i,故选D.
6.(2019课标全国Ⅱ理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内 z 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 C 本题考查了复数的概念与运算;考查的核心素养为数学运算. ∵z=-3+2i,∴ z =-3-2i, ∴在复平面内, z 对应的点为(-3,-2),此点在第三象限.
解析 由题意得(2-a2)+3ai=1+bi, 解得a2=1,b=3a, 故a2+b2=10.
B组 统一命题、省（区、市）卷题组
考点 复数的概念及运算
1.(2019课标全国Ⅱ文,2,5分)设z=i(2+i),则 z = ( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 答案 D 本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学 运算的核心素养. ∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴ z =-1-2i,故选D.
=
3 7i 2i2 1 (2i)2
= 1 7i
5
= 1 - 7 i,
55
∴|z|=

1 5
2



7 5
2
= 2
,故选C.
易错警示 易将i2误算为1,导致计算出错.
5.(2019课标全国Ⅰ理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 ( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
答案
A
由已知可得
m m
3 0, 1 0
⇒
m m

3,⇒-3<m<1.故选A.
1
18.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+ z =3-2i,其中i为虚数单位,则z= ( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i
答案 B 设z=a+bi(a、b∈R),则2z+ z =2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B.
2
∴|z|=|i|=1,故选C.
9.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数 1 的共轭复数对应的点位于 ( )
1i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D 本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.
∵ 1
1i
= 1 i (1 i)(1

i)
= 12 + 12 i,∴其共轭复数为 12 - 12 i,又 12 - 12 i在复平面内对应的点 12 ,
1 i (1 i)(1 i)
1i
思路分析 (1)利用复数的运算法则把 2 化为a+bi(a,b∈R)的形式;
1i
(2)由共轭复数的定义得出结论.
2.(2019浙江,11,4分)复数z= 1 (i为虚数单位),则|z|=
.
1 i
答案 2 2
解析 本题考查复数的概念及其四则运算,重点考查对概念的理解以及运算能力.
.故选B.
评析 本题考查复数相等的条件,属5分)若z=1+2i,则 4i = ( )
zz 1
A.1 B.-1 C.i D.-i
答案 C ∵z z =(1+2i)(1-2i)=5,∴ 4i = 4i =i,故选C.
zz 1 4
17.(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取 值范围是 ( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 答案 B 本题考查复数与共轭复数的概念、复数的运算以及命题真假的判断,考查学生的 逻辑思维能力和运算求解能力. 解法一(特值法):取z=i,则z2=-1∈R,但z∉R,故命题p2不正确;取z1=i,z2=2i,则 z=2 -2i,z1z2=-2∈R,但z1 ≠ z2 ,故命题p3不正确,结合选项可知选B.
15.(2016课标全国Ⅰ,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2
答案 B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,
∴
x

y
1, ∴|x+yi|=|1+i|= 12
1,
12
= 2
答案 B 本题考查复数的运算. ∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,
∴
a 1 1 a

0, 0,
∴a<-1.故选B.
13.(2017课标全国Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:
p1:若复数z满足 1z ∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R; p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1= z2 ; p4:若复数z∈R,则 z ∈R. 其中的真命题为 ( )

1 2

在第四象
限,故选D.
10.(2018课标全国Ⅲ理,2,5分)(1+i)(2-i)= ( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i
答案 D 本题考查复数的运算. (1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.
11.(2017课标全国Ⅰ文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)