高中数学人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评15 Word版含答案

学业分层测评（十五）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a n＝(－1)n，数列{a n}的前n项和为S n，则S9与S10的值分别是() A．1,1B．－1，－1C．1,0D．－1,0
【解析】S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
【答案】 D
2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于() A．31 B．33 C．35 D．37
【解析】根据等比数列性质得S10－S5
S5＝q
5，
∴S10－1
1＝2
5，∴S
10
＝33.
【答案】 B
3．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于()
A．7 B．8 C．15 D．16
【解析】设{a n}的公比为q，
∵4a1,2a2，a3成等差数列，
∴4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，
即q2－4q＋4＝0，
∴q＝2，
又a1＝1，
∴S 4＝1－24
1－2
＝15，故选C. 【答案】 C
4．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )
A ．135
B ．100
C ．95
D ．80
【解析】 由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，
其首项为40，公比为6040＝32.
∴a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭
⎪⎫323＝135. 【答案】 A
5．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 30＋b 30＝60，则{a n ＋b n }的前30项的和为( )
A ．1 000
B ．1 020
C ．1 040
D ．1 080
【解析】 {a n ＋b n }的前30项的和S 30＝(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 30＋b 30)＝
(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 30)＝30(a 1＋a 30)2＋30(b 1＋b 30)2
＝15(a 1＋a 30＋b 1＋b 30)＝1 080.
【答案】 D
二、填空题
6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.
【解析】 设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，
S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q
，
S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2. 由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2. ∴1＋q ＝3，∴q ＝2.
【答案】 2
7．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________.
【解析】 数列的通项公式a n ＝10n ＋(2n －1)．
所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋…＋10n )＋[1＋3
＋…＋(2n －1)]＝10(1－10n )1－10
＋n (1＋2n －1)2＝109(10n －1)＋n 2. 【答案】 109(10n －1)＋n 2
8．如果lg x ＋lg x 2＋…＋lg x 10＝110，那么lg x ＋lg 2x ＋…＋lg 10x ＝________.
【解析】 由已知(1＋2＋…＋10)lg x ＝110，
∴55lg x ＝110.∴lg x ＝2.
∴lg x ＋lg 2x ＋…＋lg 10x ＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2 046.
【答案】 2 046
三、解答题
9．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值. 【导学号：05920073】
【解】 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.
由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，得⎩⎪⎨⎪⎧
S 10＝10，
S 30＝130.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 10)1－q ＝10，a 1(1－q 30)1－q ＝130.
∴q 20＋q 10－12＝0，∴q 10＝3，
∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q
＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40. 10．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前5项和． 【解】 若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.
由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q
，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12
＝3116. [能力提升]
1．(2015·广州六月月考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( )
A ．3∶4
B ．2∶3
C ．1∶2
D ．1∶3
【解析】 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为
S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.
【答案】 A
2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，称T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n n
为数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的理想数为2 014，则数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为( )
A ．1 673
B ．1 675 C.5 0353 D.5 0413
【解析】 因为数列a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为 2 014，所以S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 55
＝2 014，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5＝5×2 014，所以数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2＋(2＋S 1)＋(2＋S 2)＋…＋(2＋S 5)6＝6×2＋5×2 0146
＝5 0413.
【答案】 D
3．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且
S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，则a n ＝________.
【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数
列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3
＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.
故等比数列{a n }的通项公式为
a n ＝32×－12n －1
＝(－1)n －1×32n .
【答案】 (－1)n －1×32n
4．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .
【解】 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得
a 1＋2d ＝2,3a 1＋3×22d ＝92，
化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，
解得a 1＝1，d ＝12，
故{a n }的通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12. (2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8. 设{b n }的公比为q ，则q 3
＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2
＝2n －1.。