福建省福州第一中学2023届高三适应性考试(二)数学试题(含答案解析)

A．
π 3
B． π 2
C． 2π 3
D． π
二、多选题 9．甲箱中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球.
先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，事件 A1, A2 和 A3 分别表示由甲箱取出的球是红球，
白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，事件 B 表示由乙箱取出的球是红球，则（ ）
于 2 小时的学生为“非运动达人”.整理分析数据得到下面的列联表： 单位：人
性别
运动时间 运动达人
非运动达人
合计
男生 1100
300
1400
女生 400
200
600
合计 1500
500
2000
零假设为 H0 ：运动时间与性别之间无关联.根据列联表中的数据，算得 2 31.746 ，根
据小概率值 0.001 的 2 独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的 概率不大于 0.001. (1)如果将表中所有数据都缩小为原来的 1 ，在相同的检验标准下，再用独立性检验推
(2)记 bn
Sn
an Sn1
，求数列bn的前 n 项和 Tn
.
试卷第 3页，共 5页
18．国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽 取 2000 人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天
运动的时间范围是0,3 ，记平均每天运动的时间不少于 2 小时的学生为“运动达人”，少
可得 OAn n,OAn 1 n 1,OAn 2 n 2 ，
则
S S S 12 OA An An1An2
OAn An1
OAn1 An2
n
OAn1
1 2
OAn1
OAn2
1 n n 1 1 n 1n 2 n 12 ，
2
2
因为△An An1An2 的面积为 81，可得 (n 1)2 81 ，解得 n 8 .
螺线与坐标轴依次交于点 A1 1, 0, A2 0, 2, A3 3, 0, A4 0, 4, A5 5, 0,，若
△An An1 An2 的面积为 81，则 n 的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5．在矩形
ABCD
中，
AB
3,
BC
4
.若
AP
1，则
BP
BD
的取值范围是（
）
A． 4,13
B． 4,14
C． 6,13
D． 9,14
6．圆 O（ O 为原点）是半径为 a
的圆分别与
x
轴负半轴､双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的
一条渐近线交于 P,Q 两点（ P 在第一象限），若 C 的另一条渐近线与直线 PQ 垂直，则 C
的离心率为（ ）
A．3
B．2
C． 3
D． 2
1 7．设 a 2 e4
C．1, 2,3, 4
D．0,1, 2, 4,5
2．已知等比数列 an 满足
a2
1 2
,
1 a1
1 a2
1 a3
3
，则
a1
a3
（
A． 5 4
B．
5 3
C． 17 8
） D．3
3． 1 2sin36cos36 （ ）
A． cos9
B． 2cos9
C． sin9
D． 2sin9
4．阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
10 断运动时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因.
(2)采用样本性别比例分配的分层随机抽样抽取 20 名同学，并统计每位同学的运动时间，
统计数据为：男生运动时间的平均数为 2.5，方差为 1；女生运动时间的平均数为 1.5， 方差为 0.5，求这 20 名同学运动时间的均值与方差.
所以
q a2
1
q
3 ，则 2q 1q 2
0 ，解得： q
2 或 1 2
，
2
当 q 2 或 1 时， 1 q 5 ，
2
q
2
a1 a3
a2 q
a2q a2
1 q
q
1 2
5 2
5 4
，
故选：A. 3．D 【分析】利用平方关系化简 1 2sin36cos36 cos 36 sin 36 ，再由辅助角公式和诱导公
B．△AC1E 周长的最小值为 3 2 2
C．存在点 E 使得平面 AC1E 平面 AA1C1C D．点 C 到平面 AC1E 的最大距离为 2 5
3 11．抛物线 C : y 2 2 px( p 0, p 为定值 ) 焦点为 F ，C 与直线 y x m 相交于 A, B 两点，
M 为 AB 中点.过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ，过 M 作 AB 的垂线，交 x 轴于 P ，则（ ）
【详解】如图所示，由双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的渐近线方程为
y
b a
x
，
y b x 联立方程组 a
，解得 P( a2 , ab) ，
x2 y2 a2
cc
ab
因为 Q(a, 0)
且另一条渐近线与直线
PQ 垂直，可得
b a
a2
c (a)
1 ，
c
整理得 b2 ac a2 ，又由 b2 c2 a2 ，所以 c2 ac 2a2 0 ， 解得 c 2a ，所以离心率为 e c 2 .
2
A． f x 是奇函数 B． g x 关于 1,1 对称 C． g x 周期为 4 D． g 1 g 3 g 5 g 99 1225
三、填空题
13．已知复数 z 1 2i ，若 in z n N* 在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个
满足条件的 n __________. 14．某市文明办积极创建全国文明典范城市，号召志愿者深入开展交通督导､旅游宣传､ 洁净家园､秩序维护 4 项志愿服务.现有 6 组志愿者服务队，若每组参与一项志愿服务， 每项志愿服务至少有 1 组参与，其中甲组志愿服务队不参与旅游宣传志愿服务，则不同 的参与方式共有__________种.
(1)求 C 的方程；
(2)设点 P 4, 0, A, B 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，PB 交 C 于另一点 E ，求△AEF 的内
切圆半径的范围.
22．已知函数 f x axlnx x .
(1)讨论函数 f x 的单调性;
(2)当 a
1 时,若
f
x
b
有两个实数根
x1, x2
,且
x1
式化简即可得出答案.
【详解】 1 2sin36cos36 sin236+cos236 2sin36cos36 sin36 cos362
sin36 cos36 ，
答案第 1页，共 21页
由
y
sin
x
与
y
cos
x
图象可知，当
x
0,
π 4
时，
cos
x
sin
x
，
所以 sin36 cos36 cos 36 sin 36 2 sin 36 135 ，
A．事件 A1与事件 B 相互独立
C．
P
B
39 110
B．
P
A2 B
3 22
D．
P
A∣3 B
5 18
10．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 平面 ABC, AA1 AB 2, BC 1，
ABC 90 , E 是棱 BB1 上的一个动点，则（ ）
ห้องสมุดไป่ตู้
A．直线 AC 与直线 C1E 是异面直线
15．已知函数 f x x2e2x a 1 xex 2a 1有三个零点 x1, x2 , x3 ，且 x1 x2 0 x3 ，
则 2 x1ex1 2 x2ex2 2 x3ex3 2 __________.
四、双空题
16．已知函数 f x sin x 0 且 0 π ) ，其中 f x 的最小正周期T π ，
福建省福州第一中学 2023 届高三适应性考试（二）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 S,T 满足 S ðRT R,S 0,1, 2, 4，则 T 可能是（ ）
A．0,1, 2,3
B．0,1, 2, 4
a 故选:B.
7．A
【分析】作差法判断 a 、b 的大小，构造函数 f (x) 2 ex 1 sin x tan x , 利用导数的单调
3sinβ
9
5 cos
9,
其中
tan
3
，
4
由于
cos
1,1
，所以
BP
BD
4,14
，
故选：B
答案第 2页，共 21页
6．B
ab
【分析】联立方程组求得
P
a2 c
,
ab c
，根据题意得到
b a
a2
c (a)
1 ，利用 b2
c2
a2
，
c
得到 c2 ac 2a2 0 ，结合离心率的定义，即可求解.
故选：C. 5．B 【分析】根据向量的坐标运算计算数量积，由三角函数的有界性即可求解. 【详解】以 A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则
B 0,3, D 4, 0 , A 0, 0 ,设 P(cosβ,sinβ) ，
故
BP=(cosβ,sinβ
3),
BD=
4,
3
所以
BP
BD=4cosβ
1
1 , b e2
1, c sin1
tan1 ，则（
）
44
A． b a c
B． b c a
试卷第 1页，共 5页
C． a b c
D． a c b
8．已知正三棱台 ABC - A1B1C1 的上､下底面边长分别为 1 和 3，侧棱长为 2，以下底面
顶点 A 为球心， 7 为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为（ ）
(2)设 D 为 AC 中点，求 A 到 BD 距离的最大值. 20．如图 1，在 ABC 中， AB AC 2, BAC 2π , E为 BC 的中点， F 为 AB 上一点，
3
试卷第 4页，共 5页
且 EF AB .将△BEF 沿 EF 翻折到 BEF 的位置，如图 2.
(1)当 AB 2 时，证明：平面 BAE 平面 ABC ；
2 sin171 2 sin 180 9 2 sin 9 ，
故选：D. 4．C 【分析】根据题意求得 OAn n,OAn 1 n 1,OAn 2 n 2 ，得到 SAn An1An2 (n 1)2 ，列出方 程，即可求解.
【详解】由题意，螺线与坐标轴依次交于点 A1 1, 0, A2 0, 2, A3 3, 0, A4 0, 4, A5 5, 0,，
(2)已知二面角
B
EF
A 的大小为
π 4
，棱
AC
上是否存在点
M
，使得直线
BE
与平面
BMF 所成角的正弦值为 10 ？若存在，确定 M 的位置；若不存在，请说明理由. 10
21．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)左焦点为 F
，离心率为 1
2
，以坐标原点 O 为圆心，
OF 为半径作圆使之与直线 x y 2 0 相切.
A． p m p
2
2
B． M 的纵坐标是定值
| AB |2 C． NF 为定值
试卷第 2页，共 5页
D．存在唯一的 m 使得 APB 120
12．定义在 R 上的函数 f x､g x ，其导函数分别为 f x､g x ，若 f x =f x ， g 1 1, f x g x 1 x2 1, f x g x 1 x sin π x ，则（ ）
故选：B 2．A
【分析】由等比数列的性质化简已知式可得 q
2
或
1 2
，则
a1
a3
a2
1 q
q 代入即可得
出答案.
【详解】因为 1 1 1 a1 a2 a3
3 ，所以 a2 a3 a1 a3 a1 a2 a1 a2 a3
a2
a2q
a22
a2 q
a2
a23
3，
q 1 1 q 1 1
2
且
f
7π 6
f
π 6
1 2
，则
f
x __________.函数
f
x 的图象在 x
x0
π 2
x0
π
处
的切线与 f x 的图象恰好有 3 个公共点，则 tanx0 x0 __________.
五、解答题
17．已知数列 an 的前
n
项和为 Sn
，满足 Sn
3 2
an
1.
(1)求数列 an 的通项公式；
x2 .求证: be
e
x2
x1
2b
e
1 e
.
试卷第 5页，共 5页
1．B
参考答案：
【分析】根据 S ðRT R, 得集合的包含关系，进而判断 T S 即可.
【详解】由 S ðRT R, 则 痧RS RT ,进而 T S ,由于 S 0,1, 2, 4 ，所以 T 可能是0,1, 2, 4 ，
附：
2
a
n(ad bc)2
bc da cb
d
，其中
n
a
b
c
d
.
临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．
ABC
的角
A,
B,
C
的对边分别为
a,
b,
c,
AB
AC
1,
ABC
的面积为
2.
(1)若 a 2 2 ，求 ABC 的周长；