高中数学 第1章 计数原理 3.2 “杨辉三角”与二项式系课件 新人教A版选修2-3

[名 师 点 拨] 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中 间一项的二项式系数最大．求展开式中系数最大的项，要根 据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，通过 解不等式的方法求解.
4 已知
1x＋3 x2n展开式中的倒数第
3．在(1＋x)2n＋1 的展开式中，二项式系数最大的项是
() A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
解析：∵2n＋1 为奇数，∴二项式系数最大的项为中间 两项，是第2n＋21＋1和第2n＋21＋1＋1，即第 n＋1 项和第 n ＋2 项．
答案：C
4．(2019·福州高三质检)(1＋ax)2(1－x)5 的展开式中，所 有 x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数师 点 拨] 求展开式中各项系数的和关键是根据所求的展开式系 数和的特征给字母赋值.
(2019·金 考 卷 命 题 专 家 原 创 卷 三 )
设( x＋33 y)n 的二项展开式中各项系数之和为 M，二项式系
数之和为 N，若 M－2N＝960，则二项展开式中 xy 的系数为
() A．270
如图是一个 7 阶的“杨辉三 角”．给出下列命题：
①记第 i(i∈N*)行中从左到右的第 j(j∈N*)个数为 aij，则 数列{aij}的通项公式为 Cji；
②第 k 行各个数的和是 2k； ③n 阶“杨辉三角”中共有nn2＋1个数； ④n 阶“杨辉三角”的所有数的和是 2n＋1－1. 其中正确命题的序号为________．
令 x＝1，∴|a0|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
解法三：∵(1－2x)7 的展开式中，a0，a2，a4，a6 大于零， 而 a1，a3，a5，a7 小于零，故|a0|＋|a1|＋…＋|a7|是(1－2x)7 的 展开式当 x＝－1 时的值，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 与杨辉三角有关的问题 如图所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头
所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这 个数列的前 n 项和为 S(n)，求 S20.
【思路探索】 由数列中的每一项在杨辉三角中的位 置，再结合二项展开式的二项式系数，再求解．
第一章 计数原理
1．3 二项式定理 1．3.2 “杨辉三角”与二项式系
数的性质
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梳理知识 夯实基础
1．掌握二项式系数的性质，并能利用二项式系数解决 相关问题．
2．会用赋值法求展开式系数的和．
‖知识梳理‖ 1．在杨辉三角中，在同一行的每行两端都是____1___， 与这两个____1___等距离的项的系数______相__等__；在相邻的 两行中，除___1___以外的每一个数都等于它“肩上”两个数 的__和___，此性质反映组合数的性质__C_nr_＋_1_＝__C_rn_－_1＋__C__rn ___.
所以(1－a)225＝128，解得 a＝3 或 a＝－1(舍)．
答案：3
5．(2019·广州高三调研)已知(2x＋ 2)4＝a0＋a1x＋a2x2 ＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________.
解析：解法一：因为(2x＋ 2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ a4x4，所以取 x＝1 得( 2＋2)4＝(a0＋a2＋a4)＋(a1＋a3) ①； 取 x＝－1 得( 2－2)4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3) ②.①②相乘 得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝( 2＋2)4×( 2－2)4＝[( 2)2－ 22]4＝16.
(3)令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，① 令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，② 两式相减得 2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝－12－37＝－1 094. (4)将(3)中的①②两式相加得 a0＋a2＋a4＋a6＝－12＋37＝1 093.
(3)各二项式系数的和．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝ ____2_n_____.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和与奇数项的二
项式系数的和相等，即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝ ___2_n_－_1____.
重点难点突破
解剖难点 探究提高
二项式系数的性质包括了组合数的性质．Cnm＝Cnn－m，Cnm＋1 ＝Cnm＋Cmn －1.另外，二项式系数的性质还包括对称性，增减性 与最值，以及各二项式系数的和，如 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝ 2n，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1 等．在解决有 关二项式系数的问题时，要注意以下几点：(1)要区分二项式 系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指 C0n，
解析：由题图“杨辉三角”可知各项的系数符合二项式 系数，故{aij}的通项公式为 Cij－1，故①错误；各行的所有数 和是各个二项式的二项式系数和，∴第 k 行各数的和是 2k， 故②正确；第 k 行共(k＋1)个数，从而 n 阶“杨辉三角”中 共有 1＋2＋3＋…＋(n＋1)＝n＋12n＋2个数，故③错误；n 阶“杨辉三角”的所有数的和是 1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－ 1，故④正确．
【解】 由图可知，a1＝1＝C22，a2＝2＝C12，a3＝3＝C23， a4＝3＝C13.
∵a19＝C211，a20＝C111， ∴S20＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋…＋(C111＋C211) ＝(C12＋C13＋…＋C111)＋(C22＋C23＋…＋C211) ＝2＋112×10＋C312 ＝285.
(5)解法一：∵(1－2x)7 的展开式中，a0，a2，a4，a6 大于 零，而 a1，a3，a5，a7 小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0 ＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
解法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7 展开式中各 项系数之和，
答案：A
题型三 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项
已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和 比各项的二项式系数和大 992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【思路探索】 二项式系数最大的项为二项展开式的中 间项或中间两项，只需确定 n，便可求出(1)，对于(2)可利用 不等式求解．
() A．2n
B．2n－1
C．－1
D．1
解析：令(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令 x＝1， ∴a0＋a1＋…＋an＝(－1)n＝－1，故选 C.
答案：C
2．(3x－2)7 展开式中各项系数的和为( )
A．1
B．－1
C．27
D．57
解析：令 x＝1，得(3－2)7＝1. 答案：A
解法二：因为(2x＋ 2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所 以根据二项式定理得 a0＝4，a1＝16 2，a2＝48，a3＝32 2， a4＝16.故(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(4＋48＋16)2－(16 2＋ 32 2)2＝16.
[名 师 点 拨] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找 出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系， 然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得 解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、 从多角度观察.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
解析：设(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5＋a6x6＋a7x7，
令 x＝1 得 0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7， ① 令 x＝－1 得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－ a7， ②
②－①得(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又 a1＋a3＋a5 ＋a7＝－64，
C1n，…，Cnn是组合数，而二项式项的系数是指该项除字 母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项 式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1 等，赋 值法体现了函数思想 f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ anxn，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an.在解题时要注意审题，恰当 赋值．
3 项的系数为 45，求：
(1)含 x3 的项；
(2)系数最大的项．
解：(1)由题意可知 Cnn－2＝45，即 C2n＝45，解得 n＝10，
令11r1－2 30＝3，得 r＝6， 所以含 x3 的项为 T7＝C610x3＝C410x3＝210x3.
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1．若 n 为奇数，则(1－2x)n 的展开式中各项系数和为
B．330
C．210
D．－100
解析：根据题意，令 x＝1，y＝1，则 M＝4n，∵N＝2n， ∴M－2N＝4n－2·2n＝(2n)2－2·2n＝960，∴2n＝32，∴n＝5.( x ＋33 y)5 的二项展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ck5x (3y )k＝ C5k·3k·x ·y (k＝0,1,2,3,4,5)，令3k＝1，5－2 k＝1，得 k＝3， ∴二项展开式中 xy 的系数为 C35×33＝10×27＝270.故选 A.
答案：②④
题型二 求展开式中各项系数的和
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下 列各式的值．
(1)a1＋a2＋a3＋…＋a7； (2)a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7； 【思路探索】 利用赋值法求解．
【解】 (1)令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1， 令 x＝0，得 a0＝1， ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－a0＝－2. (2)令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(1＋ 2)7＝37＝2 187.
T3＝C25(x )3(3x2)2＝90x6， T4＝C35(x )2(3x2)3＝270x . (2)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr53r·x (5＋2r)． 假设 Tr＋1 项系数最大， 则有CC5rr533rr≥≥CCr5r5－＋11··33rr－＋11，，
∴55－－55rr！！！！rr！！×≥34≥－6r－！5！rr！＋5！1r－！1×！3.， ∴35r≥－1 6r≥－1 rr＋，3 1. ∴72≤r≤92，∵r∈N*，∴r＝4. ∴展开式中系数最大的项为 T5＝C45x (3x2)4＝405x .
【解】 令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋ 3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知 4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或 2n＝32，∴n＝5.
(1)由于 n＝5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项 为中间两项，它们分别是
2．二项式系数的性质 (1) 对 称 性 ． 与 首 末 两 端 “__等__距__离____” 的 两 个 __二__项__式__系__数__相___等__，它反映了组合数性质__C_nm_＝__C__nn－_m___. (2)增减性与最大值．当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐渐 ____增__大____的，由对称性知它的后半部分是逐渐____减__小____ 的，且在___中__间_____取得最大值．当 n 为偶数时，中间的一 项取得最大值______；当 n 为奇数时，中间的两项__________ 相等，且同时取得最大值．
现在是休息时间你们休息一下眼睛看看远处要保护好眼睛哦看看远处要保护好眼睛哦站起来动一动久坐对身体不好哦站起来动一动久坐对身体不好哦如图是一个个数为aij数列aij阶杨辉三角中共有nn1阶杨辉三角的所有数的和是2n11
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高中数学 第1章 计数原理 3.2 “杨辉三角”与二项式系课件 新人教A版选修 2-3