Asin(ωxφ)的图像及三角函数模型的简单应用文(2021年整理)

Asin（ωx φ）的图像及三角函数模型的简单应用文
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课时作业（十八)第18讲函数y=A sin(ωx+φ）的图像
及三角函数模型的简单应用
时间/ 45分钟分值/ 100分
基础热身
1.函数f（x）=sin x cos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是
（)
A. 2π,1B。

2π，2
C。

π，1 D. π,2
2.已知函数f(x）=cos x—sin(2x+φ)（0≤φ≤π）有一个零点为π，则φ的值是（)
A. B.
C。

D。

3.［2017·孝义模拟]将函数y=sin x的图像向左平移φ(0≤φ≤2π)个单位长度后，得到函数y=sin的图像,则φ等于(）
A. B.
C。

D。

图K18—1
4.若函数y=sin（ωx+φ)（ω〉0）的部分图像如图K18-1所示，则ω等于.
5。

将函数f（x)=sin(ωx+φ)ω>0，—〈φ<的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变,再将所得图像向右平移个单位长度后得到y=sin x的图像，则f= 。

能力提升
图K18-2
6.[2018·玉溪一中月考］已知函数f（x)=A sin(ωx+φ)x∈R,A〉0,ω>0，｜φ|〈的部分图像如图K18-2所示,则f（x）的解析式是()
A. f(x)=2sin
B。

f(x）=2sin
C. f（x）=2sin
D. f（x)=2sin
7。

函数f(x）=tan ωx（ω>0）的图像的相邻两支截直线y=2所得的线段长为，则f的值是（)
A. —B。

C。

1 D.
8.[2018·衡水模拟]将函数f(x)=2sin的图像向左平移个单位长度,再将所得图像各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g(x）的图像,则下列关于函数g（x）的说法错误的是(）
A。

最小正周期为π
B。

图像关于直线x=对称
C。

图像关于点对称
D。

初相为
9.［2017·沈阳二模]若方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是()
A。

（1,） B。

［0，2] C。

[1，2) D. [1,]
10.若将函数f（x)=sin的图像向右平移φ个单位长度后，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是。

11.设P为函数f(x）=sin的图像上的一个最高点，Q为函数g(x）=cos的图像上的一个最低点，则PQ的最小值是.
12.已知ω>0，在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=.
13。

（15分)[2018·安徽六校一联]已知函数f(x)=2sin ωx cos+sin 2ωx(ω>0）的最小正周期为π。

（1)求ω和函数f（x)的最小值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间。

14.（15分)已知函数f（x)=A sin（ωx+φ）x∈R,A〉0，ω〉0，0〈φ<的部分图像如图K18—3所示,P是图像的一个最高点,Q为图像与x轴的一个交点,O为坐标原点,OQ=4，OP=，PQ=。

(1）求函数f（x）的解析式；
(2)将函数f(x）的图像向右平移2个单位长度后得到函数g（x)的图像,当x ∈［0，3]时,求函数h(x)=f（x）·g(x)的值域.
图K18—3
难点突破
15。

（5分)[2017·甘肃高三诊断]将函数f（x）=3sin的图像先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图像.若g
（x1)g(x2）=16,且x1,x2∈，则2x1-x2的最大值为（)
A。

B。

C. D。

16。

（5分）［2017·芜湖质检］将函数f（x）=sin ωx（ω〉0)的图像向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图像,若函数g（x）的图像关于直线x=ω对称且在区间(—ω，ω）上单调递增,则ω的值为（）
A. B。

C. D。

课时作业（十八)
1。

C［解析] 由f(x）=sin x cos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin，得最小正周期为π，振幅为1。

故选C.
2.A［解析］由已知得f=cos-sin=0,即sin=，又0≤φ≤π,所以+φ=,解得φ=。

故选A。

3。

D[解析］将函数y=sin x的图像向左平移φ个单位长度后，得到
y=sin(x+φ)的图像,又0≤φ≤2π,所以由诱导公式知,当φ=时,有
y=sin=sin。

故选D。

4. 4[解析］由函数图像知最小正周期T=×2=,所以ω===4。

5.［解析］将函数y=sin x的图像向左平移个单位长度后得到函数y=sin的图像，再将图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin的图像,故f(x）=sin，所以
f=sin=sin=。

6。

A［解析］由图可知f=2，f=0,验证各选项可知,选项A正确。

7。

D[解析］由题意可知该函数的最小正周期为，所以=，得ω=2,f(x）=tan 2x，所以f=tan=.
8。

C［解析] 易得g（x)=2sin,其最小正周期为π，初相为，即A，D说法正确。

而g=2sin=2，故函数g（x）的图像关于直线x=对称,即B 说法正确,故C说法错误。

故选C.
9.C［解析］在平面直角坐标系中，作出函数y=2sin，x∈的图像，由图可知，当1≤m<2时,直线y=m与y=2sin的图像有两个交点，即方程2sin=m在上有两个不等实根,故选C。

10。

［解析] 因为将函数f （x )=sin 的图像向右平移φ个单位长
度后得到g (x )=sin =sin 的图像,又g (x ）是偶函数,所以
—2φ=k π+(k ∈Z)，所以φ=——（k ∈Z ）。

当k=—1时，φ取得最小
正值.
11。

［解析］ 由题意知两个函数的最小正周期都为=4，设P ,Q 分别
为函数f (x )，g （x ）图像上的相邻的最高点和最低点,此时PQ 取得最小值.设P （x 0,1),则结合正、余弦函数的图像知Q （x 0+1,-1)，则
PQ min ==.
12. [解析] 设距离最短的两个交点为A (x 1，y 1),B （x 2，y 2）。

根据正弦函数、余弦函数的性质,不妨设距离最短的两个交点的横坐标满足ωx 1=，
ωx 2=，即x 1=,x 2=,此时y 1=，y 2=-，由两点间的距离公式得
+(-—)2
=12，得ω=.
13。

解：f (x ）=2sin ωx +sin 2ωx
=sin 2ωx+（1—cos 2ωx )+sin 2ωx
=sin 2ωx —cos 2ωx+
=sin +。

(1）因为函数f(x）的最小正周期为π，所以T==π,所以ω=1,函数f(x)的最小值为—.
(2）由（1)得f(x)=sin+，
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
得—+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为—+kπ,+kπ(k∈Z）。

14.解:（1)在△POQ中，由余弦定理得cos∠POQ==,所以P(1,2),
所以A=2.最小正周期T=4×(4—1)=12，
由=12,得ω=。

将P点坐标（1，2)代入f（x)=2sin,得sin=1,
因为0〈φ〈,所以φ=，所以f(x)=2sin。

（2)由题意，可得g（x）=2sin，
所以h
（x)=f(x)·g(x)=4sin·sin=2sin2+2sin·cos=1-cos+ sin=1+2sin。

当x∈［0，3］时,—∈,
所以sin∈，
故函数h（x）的值域为[0,3].
15.B［解析] 由题可知g(x）=3sin+1∈[-2,4],因为g（x1)g（x2)=16，所以g（x1）=g（x2）=4都为最大值。

令2x+=2kπ+（k∈Z），可得x=kπ—（k∈Z),又因为x1,x2∈,所以x1=—或—或,x2=-或-或，则2x1—x2的最大值为2×-=.故选B.
16。

C[解析] g（x）=f=sin ω=sin，因为ω>0，所以令2kπ-≤ωx+≤2kπ+,k∈Z，可得函数g(x）的单调递增区间为
，k∈Z。

依题意，函数g(x)在区间(-ω，ω)上单调递增，所以有—ω≥，k∈Z且ω≤，k∈Z，即0〈ω2≤-2kπ，k∈Z 且0<ω2≤2kπ+,k∈Z，所以—2kπ>0，k∈Z且2kπ+〉0，k∈Z,解得—<k<，k∈Z，所以k=0,所以0<ω2≤。

由函数g（x）的图像关于直线x=ω对称,得sin=±1，所以ω2=kπ+，k∈Z.综上可得ω=.故选C。