衡水中学汇编之导数

一、选择题
1．【2018河北衡水中学高三分科综合测试】已知是方程的实根，则关于实数的判断正确
的是（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】C
2.【2018河北衡水中学高三9月联考】已知曲线
在点
处的切线的倾斜角为，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3.【2018河北衡水中学高三二调】已知定义在上的奇函数
的导函数为，当时，满足
，则
在上的零点个数为（ ）
A. 5
B. 3
C. 1或3
D. 1 【答案】D
4.【2017河北衡水中学高三三调】已知函数()2
1,g x a x x e e e ⎛⎫
=-≤≤
⎪⎝⎭
为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．211,
2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦
D ．)
2
2,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B
5.【2018河北衡水中学高三五调】 已知直线y a =分别与函数1
x y e
+=和1y x =-交于,A B 两点，则
,A B 之间的最短距离是（ ）
A ．
3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 2
2
+ 【答案】D
6.【2017河北衡水中学高三一调】 由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）
A ．
103
B ．4
C ．
163
D ．6
【答案】C
7.【2017河北衡水中学高三一调】 定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0,+∞
B ．()(),03,-∞+∞
C ．()(),00,-∞+∞
D ．()3,+∞
【答案】A
8.【2017河北衡水中学高三一调】若实数a ，b ，c ，d 满足(
)()
2
2
2
3ln 20b a a
c d +-+-+=，则
()()
22
a c
b d -+-的最小值为（ ）
A ．2
B ．2
C ．22
D ．8
【答案】D
9.【2017河北衡水中学高三六调】 已知()x f '为函数()x f 的导函数，且()()()1'2
102
1-+-=
x e f x f x x f ，若()()x x x f x g +-=2
2
1，则方程
02=-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x a x g 有且仅有一个根时，a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．(]1,∞- C.(){}
10,⋃∞- D ．()1,0 【答案】C
10.【2017河北衡水中学高三押题卷三】已知是方程
的实根，则关于实数
的判断正
确的是（ ） A. B.
C.
D.
【答案】C
11.【2017河北衡水中学高三二模】已知
是函数的导函数，且对任意的实数都有
是自然对数的底数），
，若不等式
的解集中恰有两个
整数，则实数的取值范围是（ ） A. B.
C.
D.
【答案】C
12.【2017河北衡水中学高三上学期六调】 已知函数错误!未找到引用源。

，若关于错误!未找到引用源。

的方程错误!未找到引用源。

恰好有4个不相等的实数根，则实数错误!未找到引用源。

的取值范围为 （ ） A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

【答案】C
13.【2016河北衡水中学高三上学期一调】设f （x ）是定义在R 上的函数，其导函数为f′（x ），若f （x ）+ f′（x ）＞1，f （0）=2015，则不等式e x f （x ）＞e x +2014（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ． B ．（﹣∞，0）∪ C ．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D ．（0，+∞）
【答案】D
二、填空题
14.【2017河北衡水中学高三一调】定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，当0x <时，
()f x x '<，则不等式()()1
12
f x f x x +
≥-+的解集为_________ 【答案】12x ≤
15.【2017河北衡水中学高三二调】已知方程2
3
ln 02
x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是 ．
【答案】20,2e ⎛⎫
⎪⎝⎭
16.【2016河北衡水中学高三上学期七调】f （x ）是定义在R 上的函数，其导函数为f ′（x ），若f （x ）﹣ f ′（x ）＜1，f （0）=2016，则不等式f （x ）＞2015•e x +1（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ． 【答案】（0，+∞）．
三、解答题
17.【2017河北衡水中学高三高三押题卷一】 已知函数.
(I ）若函数在
处的切线方程为
，求和的值;
(II)讨论方程
的解的个数，并说明理由.
【答案】(1)2,2ln2a b ==-
(2)[)0,a e ∈
时，无解；()0a ∈,
-∞或a e =时，有唯一解；(),a e ∈+∞时，有两个解 【分析】
(I ）求出f ′（x ），结合已知条件2ln 22212
a b
a
-=+⎧⎪
⎨-=⎪⎩，可求出,a b (II)0,0,,a e a a e a e =＞＜＜＜讨论求解，即可得到方程()0f x =的解得个数，注意判断函数的单调性
18.【2017河北衡水中学高三押题卷三】已知函数
，
，曲线
的图象在点
处的切线方程为
（1）求函数的解析式 （2）当时，求证：
（3）若对任意的
恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）；（2）易证，略；（3）
【分析】
(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为
(2)构造新函数
.结合函数的最值和单调性可得
(3)分离系数，构造新函数，
，结合新函数的性质可得实数的取值范围为
19.【2018河北衡水中学高三市模拟联考】已知函数（）
（1）判断函数在区间
上零点的个数
（2）当时，若在（）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】令，
，得
记
，
，利用函数单调性求得函数极值点以此判断函数
在上的零点个数；
实数的取值范围是
【分析】 令，
，得
记
，
，求得导数，利用函数单调性可以求得函数极值点以此判断函数
在
上
的零点个数
本题不宜分离，因此作差构造函数，利用分类讨论法求函
数最小值，由于，所以讨论
与
的大小，
分三种情况，当
，
的最小值为
，
，
的最小值为
，当
，
的最小值为，解对应不等式即可
20.【2018河北衡水中学高三二调】已知函数，．
（1）求函数
的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值
【答案】（1）0a ≤时，递增区间为()0,+∞，无递减区间；0a ＞时，递增区间为10,a ⎛⎫
⎪
⎝
⎭，递减区间为1,a ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∞；
（2）2
21.【2018河北衡水中学高三9月联考】函数（，），为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性及极值；
（2）若不等式
在
内恒成立，求证：
.
【答案】(1) -1a ≤时，在R 上单调递增，没有极值；
-1a ＞时，在()ln(1)a +,-∞单调递减，()ln(1),a ++∞单调递增 极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值
(2)略，见如下分析
【分析】（1）函数求导得，讨论
和
演技单调性及极值即可；
（2）当
时，
在内单调递增，可知在
内不恒成立，当时，
，即
，所以
.令
，进而通过求导即可得最值.
22.【2018河北衡水中学高三分科综合测试】已知函数．
（1）求函数在区间
上的最大值；
（2）若
是函数
图像上不同的三点，且
，试判断
与
之间的大小
关系，并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【分析】
本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数
的定义域；②对
求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；
④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
23.【2017河北衡水中学高三高三押题卷】已知函数.
（1）讨论函数的单调性； （2）当时，若函数
的导函数的图象与轴交于，两点，其横坐标分别为， ，
线段
的中点的横坐标为
，且，
恰为函数
的零点，求证：
.
【答案】（1）当时，在
内单调递增；当
时，
在
内
单调递减，在
，
内单调递增；（2）见分析
24.【2017河北衡水中学高三二调】已知函数()()1
ln f x x a x a R x
=-
+∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）已知()()()()()211321,2g x x m x m h x f x g x x =
+-+≤=+,当1a =时, ()h x 有两个扱值 点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值. 【答案】（1）2a ≥-；（2）3
ln 24
-. 【分析】
（1）由已知可得()'0f x ≥在[]1,+∞上恒成立,分离参数得21
x a x
--≥，求右边函数的最大值为2-，故
2a ≥-；
（2）()2
1ln 2h x x x mx =++，求导得()211'x mx h x x m x x ++=++=， 1212,,1x x m x x +=-=.化简
()()12112212
1ln 2x x x h x h x x x x ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，令12x t x =换元后，利用导数可求得其最小值为3
ln 24-
25.【2017河北衡水中学高三三调】已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．
（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()
1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间； （2）若函数()y f x =在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-． 【分析】
利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需
()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求
参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．
26.【2017河北衡水中学高三三调】()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式
()()2
211f x m x m >-+-的解集为()
(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()
1
f x
g x x =
-． （1）求a 的值；
（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足
0013x x -+>，求实数m 的取值范围；
（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．
【答案】（1）2a =-；（2）12
m >
； （3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当k m >-()x ϕ极小值点
为2x ，极大值点为1x （其中2124k k m x +-+=，2224k k m x +++=）
【分析】
（1）首先用向量的数量积公式代入到()f x 的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得a 的值； （2）若存在这样的直线，则说明函数()x Γ的导数可为0，从而对函数()x Γ求导后解得切点横坐标0x 与m 的关系，根据不等式得到0x 的范围，进而求得实数m 的范围；
（3）当函数()x ϕ存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数k ，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点
27.【2018河北衡水中学高三五调】已知函数221
()()(1)(22)
2
x
f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O . （1）求实数,a b 的值；
（2）若2
()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值. 【答案】(1)0,1a b ==；(2)1m n +=-. 【分析】
1)求函数()f x 的导函数，由(0)0,(0)0f f '==即可求出,a b 的值；
(2) 不等式()()2101102x f x x e x x ⎡⎤⎛⎫
>⇔--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦等价于即210
1102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫
-++> ⎪⎪
⎝⎭⎩
或210
110
2x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫
-++< ⎪⎪⎝⎭⎩
，构造函数()2112x g x e x x ⎛⎫
=-++ ⎪⎝⎭，研究函数()g x 的单调性可知()g x 在R 上单调递增，而()00g =，所以∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤，则
()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立，等价于当0x <或1x >时，20x mx n +-≥，即0和1是方程20x mx n +-=的
两根，从而求出,m n 的值。

28.【2017河北衡水中学高三一调】函数2
1()ln 22
f x x ax x =--． （1）当3a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若()1,a ∀∈-+∞，()1,e x ∃∈，有()0f x b -<，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）增区间是10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）3,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
． （2）对于任意()1,a ∈-+∞，21ln 22x ax x b --<恒成立，转化为2max
1ln 22b x ax x ⎛⎫
>-- ⎪⎝⎭，设出新函
数()2
12ln 2
g x x x x =
-+，即可利用新函数的性质即可求解实数b 的取值范围．
29.【2017河北衡水中学高三一调】已知函数()ln f x x x =，()e
x x g x =
． （1）记()()()F x f x g x =-，判断()F x 在区间()1,2
内的零点个数并说明理由；
（2）记()F x 在()1,2内的零点为0x ，()()(){}
min ,m x f x g x =，若()m x n =（n ∈R ）在()1,+∞内 有两个不等实根1x ，2x （12x x <），判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明． 【答案】（1）()F x 在区间()1,2有且仅有唯一实根；（2）1202x x x +>，证明见解析． 【分析】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答中由（1）和题
设条件，得出函数()0
0ln ,1,x
x x x x m x x x x e <≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩，进而利用函数()m x 的性质求解是解答的关键，此类问题需
要注重方法的总结和积累．
30.【2017河北衡水中学高三六调】已知函数()()()
1ln ,2
+=+
=x x g e
a x x f x
. （1）若在0=x 处，()x f y =和()x g y =图象的切线平行，求a 的值； （2）设函数()()()⎩
⎨⎧>-≤-=a x a x g a
x a x f x h ,,，讨论函数()x h 零点的个数.
【答案】（1）
（2）
时有个零点；时有个零点；时有个零点；
时
有个零点；时，
有个零点.
31.【2017河北衡水中学高三二模】设函数）.
（1）若直线和函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）（2）
【分析】不等式的恒成立问题，常用的方法有两个：
一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；
二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数范围，结合单调性处理.
32.【2017河北衡水中学高三第三次摸底】已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据：）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：
．
（2）因为，
所以，即．令，则有，即．
设方程的根为，则，
所以是方程的根．
由（1）知在单调递增，在上单调递减．
且当时，，当时，，
33.【2017河北衡水中学高三上学期六调】设函数错误!未找到引用源。

．
（1）当错误!未找到引用源。

时，函数错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

处的切线互相垂直，求错误!未找到引用源。

的值；
（2）若函数错误!未找到引用源。

在定义域内不单调，求错误!未找到引用源。

的取值范围；学%科.网（3）是否存在正实数错误!未找到引用源。

，使得错误!未找到引用源。

对任意正实数错误!未找到引用源。

恒成立？若存在，求出满足条件的实数错误!未找到引用源。

；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）错误!未找到引用源。

;（2）错误!未找到引用源。

；（3）错误!未找到引用源。

．
【分析】 (1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

，可知错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

处的切线斜率错误!未找到引用源。

，同理可求得错误!未找到引用源。

，然后再根据函数错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

处的切线互相垂直，得错误!未找到引用源。

，即可求出结果．
(2)易知函数错误!未找到引用源。

的定义域为错误!未找到引用源。

，可得错误!未找到引用源。

，由题意，错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

内有至少一个实根且曲线与x不相切，即错误!未找到引用源。

的最小值为负，由此可得错误!未找到引用源。

，进而得到错误!未找到引用源。

，由此即可求出结果. (3)令错误!未找到引用源。

，可得错误!未找到引用源。

，令错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

，所以错误!未找到引用源。

在区间错误!未找到引用源。

内单调递减，且错误!未找到引用源。

在区间错误!未找到引用源。

内必存在实根，不妨设错误!未找到引用源。

，可得错误!未找到引用源。

，(*)，则错误!未找到引用源。

在区间错误!未找到引用源。

内单调递增，在区间错误!未找到引用源。

内单调递减，
∴错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，将(*)式代入上式，得错误!未找到引用源。

．使得错误!未找到引用源。

对任意正实数错误!未找到引用源。

恒成立，即要求错误!未找到引用源。

恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果．
(3)令错误!未找到引用源。

，其中错误!未找到引用源。

，
则错误!未找到引用源。

，
则错误!未找到引用源。

，
则错误!未找到引用源。

，
∴错误!未找到引用源。

在区间错误!未找到引用源。

内单调递减，且错误!未找到引用源。

在区间错误!未找到引用源。

内必存在实根，不妨设错误!未找到引用源。

，
即错误!未找到引用源。

，可得错误!未找到引用源。

，(*)
则错误!未找到引用源。

在区间错误!未找到引用源。

内单调递增，在区间错误!未找到引用源。

内单调递减，
∴错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

， 将(*)式代入上式，得错误!未找到引用源。

． 根据题意错误!未找到引用源。

恒成立，
又∵错误!未找到引用源。

，当且仅当错误!未找到引用源。

时，取等号，∴错误!未找到引用源。

， ∴错误!未找到引用源。

，代入(*)式，得错误!未找到引用源。

，即错误!未找到引用源。

，又错误!未找到引用源。

，
∴错误!未找到引用源。

，∴存在满足条件的实数错误!未找到引用源。

，且错误!未找到引用源。

． 34.【2016河北衡水中学高三上学期六调】 设函数．
（1）求f （x ）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式f （x ）≥a 的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）递增区间（0,1），递减区间（1，+∞），极大值ln 2，无极小值；（2）（-∞，0] 【分析】
（1）先确定函数的定义域然后求导数f ˊ（x ），在函数的定义域内解不等式f ˊ（x ）＞0和f ˊ（x ）＜0，求出单调区间，讨论满足f ˊ（x ）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）对a 进行讨论，当a ≤0时，f （x ）＞0恒成立，关于x 的不等式f （x ）≥a 的解集为（0，+∞）符合题意．当a ＞0时，关于x 的不等式f （x ）≥a 的解集不是（0，+∞）．
35.【2016河北衡水中学高三上学期七调】已知函数f （x ）=ln （x +1）﹣x ． （1）求f （x ）的单调区间，
（2）若k ∈Z ，且f （x ﹣1）+x ＞k （1﹣）对任意x ＞1恒成立，求k 的最大值，
（3）在区间（0，1）上的任意一个常数a ，是否存在正数x 0，使得e f （x0）＜1﹣x 02成立？请说明理由． 【答案】（1）递增区间()-1,0，递减区间(0,)+∞；（2）4；（3）ln a - 【分析】
（1）求导f ′（x ），解关于导函数的不等式，从而判断函数的单调区间；
（2）化简可得xlnx +x ﹣kx +3k ＞0，令g （x ）=xlnx +x ﹣kx +3k ，求导g ′（x ）=lnx +1+1﹣k=lnx +2﹣k ，从而讨论判断函数的单调性，从而求最大值；
（3）假设存在这样的x 0满足题意，从而化简可得x 02+﹣1＜0，令h （x ）=x 2+
﹣1，取x 0=﹣
lna ，从而可得h min ，根据函数的单调性求出x 0的值即可．
36．【2016河北衡水中学高三上学期一调】已知函数f （x ）满足2f （x +2）﹣f （x ）=0，当x ∈（0，2）时，f （x ）=lnx +ax
，当x ∈（﹣4，﹣2）时，f （x ）的最大值为﹣4．
（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）设b ≠0，函数
，x ∈（1，2）．若对任意的x 1∈（1，2），总存在x 2∈（1，2），使
f （x 1）﹣
g （x 2）=0，求实数b 的取值范围．
【答案】（1）-1；（2）[)3
ln233ln 2,+2
⋃-（-∞，-）∞
【分析】（I ）先求出函数在（﹣4，﹣2）上的解析式，利用函数的导数求出函数的最大值（用a 表示），令其等于﹣4，从而求出a ；
（II ）由任意的x 1∈（1，2），总存在x 2∈（1，2），使f （x 1）﹣g （x 2）=0，函数f （x ）的值域是函数g （x ）值域的子集，即转化为求两个函数的值域，用函数的导数法即可解决．
37.【2016河北衡水中学高三上学期一调】已知函数，
（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的x ＞1，恒有ln （x ﹣1）+k +1≤kx 成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）证明：
（n ∈N +，n ≥2）．
【答案】（1）递增区间(0,1)，递减区间(1,)+∞，极大值(1)1f =，无极小值；（2）[1,)+∞；（3）略 【分析】 （Ⅰ）
，（x ＞0），
，解出f'（x ）＞0，f'（x ）＜0，即可得出单调区间、极值
（II ）方法1：由ln （x ﹣1）+k +1≤kx ，分离参数可得：k ≥f （x ﹣1）max 对任意的x ＞1恒成立，由（I ）即可得出．
方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，，对k分类讨论研究其单调性即可得出；
（Ⅲ），由（Ⅰ）知：（当且仅当x=1取等号）．令x=n2（n∈N*，n≥2），即，再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出．。