初中数学培优专题学习专题25 图形面积的计算

专题25 图形面积的计算
阅读与思考
计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算
由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算
非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.
计算图形的面积还常常用到以下知识：
（1）等底等高的两个三角形面积相等.
（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：
S 3S 4
S 3
S 4
S 1S 2
S 1S 2
S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2
S 1
l 2
l 1
例题与求解
【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．
(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)
解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.
W
F
G
E
D
C
B
A
【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
（2013年全国初中数学竞赛广东试题）
解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．
F
C B
D
E
A
【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．
B
A
C
F
D
E
【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？
（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）
解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.
丁乙
丙
甲
E B
C
D
A
【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.
解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.
Q
P F G
E
D
C
B
A
【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．
（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）
解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.
F
E
P
Q
D
C
B
A
能力训练
A 级
1.如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O .过点O 的直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分面积是______.
F
O
E
D
C
B A
（海南省竞赛试题）
2.如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若△BDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是_____________平方厘米.
E
F
D
C
B
A
（“希望杯”邀请赛试题）
3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________
.
D
C
B
A
（安徽省中考试题）
4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.
D
O
C
B
A
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC 3
1
，则长方形ABCD
的面积是阴影部分面积的( )倍.
A .2
B . 3
C . 4
D .5
D
F C
B
E
A
6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的
平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).
A .c b a ab )(+-
B . c b a ab )(--
C .))((c b c a --
D .))((c b c a +-
c
c
c
c
7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是
以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的
4
1
，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B . 100 C .50π D .
200
C
B
D A
（“五羊杯”竞赛试题）
8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A .
29 B .27 C .310 D ．8
15 Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
C
B
D
A
9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.
H
G
E
D
C
F B A
（五城市联赛试题）
10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．
R
K
P G
F E
C B A
D
（广西壮族自治区省南宁市中考试题）
B 级
1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为
_____________.
（江苏省竞赛试题）
2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方
形ABCD 面积的
31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的5
2
，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2
.
D
C
F
E B
A
（北京市“迎春杯”邀请赛试题）
3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.
（“希望杯”邀请赛试题）
4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.
C
M
N
D
Q
P
B A
(“五羊杯”竞赛试题）
5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的
3
1
的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.
第2次生长
第1次生长
原图
(“五羊杯”竞赛试题）
6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =
2
1
AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分
的面积等于( ).
A .8
B .12
C .16
D ．20
F B
G
C
H
D
E A
7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).
A .48cm 2
B .49cm 2
C .50cm 2
D ．51cm 2
K
G
F
E
C B A D
（2013年“希望杯”邀请赛试题）
8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则2
1
S S 的整数部分是( ).
A .0
B .1
C .2
D ．3
（全国初中数学联赛试题）
9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).
A .25
B .30
C .35
D ．40
G
F
E C
B
D
A
10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？
11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.
G
C
B
M
A
D
（湖北省武汉市竞赛试题）
12.如图，△ABC 中，
2
1
===FA FB EC EA DB DC .求
的面积△的面积△ABC GHI 的值. G I
H
E
D
C
B
F
A
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）。