六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质
一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；
常数函数（C y =）
0≠C
0=C
平行于x 轴的直线
y 轴本身 定义域R
定义域R
二、幂函数 α
x y = ，x 是自变量，α是常数；
1.幂函数的图像：
2.幂函数的性质；
性质
函数
x y =
2x y =
3x y =
2
1x
y =
1-=x y
定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增
[0,+∞) 增 增 增
(0,+∞) 减 (-∞,0] 减
(-∞,0) 减
公共点
（1,1）
x
y O
x y =2
x y =2
1x
y =1
-=x
y 3x y = O
=y x
C
y =O
x
y
y
1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；
2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数
n
m
时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；
4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；
5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数x
a y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；
[无界函数]
1.指数函数的图象：
2.指数函数的性质；
性质
函数
x a y =)1(>a
x a y =)10(<<a
定义域 R 值域
(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶
公共点
过点(0，1)，即0=x 时，1=y
单调性
在）
，（∞+∞-是增函数 在）
，（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1
=y O
(0,1)
x
y
x
a
y =
)10(<<a
x
x
a
y =
)1(>a
1
=y O
(0,1)
y
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*
N ∈a ；
a.底数互为倒数的两个指数函数
x a x f =)(，
x
a x f ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1)(
的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，x
a y =
的图像越靠近y 轴；
b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =
的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；
a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；
(1) n m n m a a a +=⋅
(2)
n
m n m a
a a -=÷
(3)
()
()
m
n nm n m a
a a ==
(4) ()n
n
n
b
a a
b =
b.根式的性质； (1)
()a a n
n
= ； (2)当n 为奇数时，
a a n
n =
当n 为偶数时，
⎩
⎨⎧<-≥==)0(0)
(a a a a a a n
n
c.分数指数幂；
(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n
m
(2))
1,,,0(1
1*>∈>=
=-
n Z n m a a a
a
n
m
n
m n
m y
x
a x f =)(x
a x f ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1)(O
(0,1)
x
x
O
(0,1)
y
x
x f 2)(=x x h 3)(=
O
(0,1)
y
x
x q ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=21)(x
x g ⎪
⎭
⎫
⎝⎛=31)(
四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]
1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b
=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象
关于直线
x y =对称。

2.常用对数：N 10log 的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作N lg 。

3.自然对数：使用以无理数7182.2=e 为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简
记作N ln 。

4.对数函数的图象：
5.对数函数的性质；
性质
函数
x y a log =
)1(>a
x y a log =
)10(<<a
定义域 (0，+∞)
值域
R 奇偶性 非奇非偶
公共点
过点(1，0)，即1=x 时，0=y
单调性
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
1）对数函数的图形为于y 轴的右方，并过点(1,0)；
2）当1>a 时，在区间(0,1)，y 的值为负，图形位于x 的下方；在区间(1, +∞)，y 值为正，图形位于x 轴上方，在定义域是单调增函数。

1<a 在实际中很少用到。

y
O x
(1,0)
1=x
x y a log = )1(>a
O
x
(1,0)
y
1=x
x y a log = )10(<<a
6.（选，补充）对数函数值的大小比较*
N ∈a ；
a.底数互为倒数的两个对数函数
x y a log =，x y a
1log =
的函数图像关于x 轴对称。

b.1. 当1>a 时，a 值越大，
x x f a log )(=
的图像越靠近x 轴；
b.2. 当)10(<<a 时，a 值越大，x x f a log )(=
的图像越远离x 轴。

7.对数的运算法则（公式）；
a.如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ()N M MN a a a log log log +=
N M N M
a a a log log log -=
M
n M a n a log log =
b.对数恒等式：
N a N a =log )010(>≠>N a a ，且
c.换底公式： (1)b
N
N a a b log log log =
（1,0≠>a a ，一般常常
换为e 或10为底的对数,即b N
N b ln ln log =
或
b
N
N b lg lg log =
）
(2)由公式和运算性质推倒的结论：
b m
n
b a n a n log log =
d.对数运算性质
(1)1的对数是零，即01log =a ；同理01ln =或01lg = (2)底数的对数等于1，即1log =a a ；同理1ln =e 或110lg =
y
O
x
(1,0)
x
y a log =x y a
1log =
y
O
x (1,0) x
x f 2log )(=x
x f 3log )(=y
O
x
(1,0)
x x f 2
1log )(=
x x f 3
1log )(=
五、三角函数
1.正弦函数
x y sin =,有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ，值域]1,1[+-∈y
图象：五点作图法：0，
2π，π，2
3π，π2
2.余弦函数
x y cos =，有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ，值域]1,1[+-∈y
图象：五点作图法：0，
2π，π，2
3π，π2
3.正、余弦函数的性质；
性质
函数
x
y sin =)(Z k ∈
x y cos =)(Z k ∈
定义域 R
值域
[-1,1] [-1,1] 奇偶性 奇函数
偶函数
周期性 π2=T
π2=T
对称中心 )0,(πk
)0,2
(π
π+
k
对称轴
2
π
π+
=k x πk x =
单调性
在⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-∈22,22ππππk k x 上是增函数
在⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++∈232,22ππππk k x 上是减函数
在[]πππk k x 2,2-∈上是增函数 在[]πππ+∈k k x 2,2上是减函数
最值
22π
π+
=k x 时，1max =y 2
2π
π+
=k x 时，1min -=y
πk x 2=时，1max =y ππ+=k x 2时，1min -=y
4.正切函数
x y tan =，无界函数，定义域{})(,2
Z k k x x ∈+≠ππ，值域),(+∞-∞∈y
x y tan =的图像
5.余切函数
x y cot =，无界函数，定义域{}Z k k x x ∈≠,π,),(+∞-∞∈y
x y cot =的图像
6.正、余切函数的性质；
性质 函数
x y tan =)(Z k ∈
x y cot =)(Z k ∈
定义域 2
π
π+
≠k x
πk x ≠
值域
R
R
奇偶性 奇函数 奇函数
周期性 π=T
π=T
单调性 在)2,
2
(ππ
ππ
k k ++-
上都是增函数 在))1(,(ππ+k k 上都是减函数
对称中心 )0,2
(
πk )0,2
(π
k 零点
)0,(πk
)0,2
(π
π+
k
π
-
2
π
-
O
23π
-
π2-
25π-
π3- 2
π
π
23π π2 2
5π
π3
y
x
π
-
2
π
-
O 23π
-
π2-
2
5π-
2
π
π
2
3π
π2
2
5π y
x
7.正割函数x y sec =，无界函数，定义域{})(,2
Z k k x x ∈+≠ππ，值域1sec ≥x
8.余割函数x
x y sin 1
csc ==，无界函数，定义域{})(,Z k k x x ∈≠π，值域1csc ≥x
9.正、余割函数的性质；
性质 函数 x y sec =)(Z k ∈
x y csc =)(Z k ∈
定义域 {}ππk x x +≠2
{}πk x x ≠
值域
),1[]1(+∞--∞ ，
),1[]1(+∞--∞ ，
奇偶性 偶函数
奇函数
周期性
π2=T
π2=T
单调性
)2
32,2()2,22(π
πππππ
π+
+-
k k k k 减
)2,2
2()22,2(πππππππ+++k k k k 增
)22,2
32()22,2(πππ
ππππ+++k k k k 减
)
2
32,2()2,22(ππππππππ++++k k k k 增 π-
2
π
-
O 2
3π-
π
2-
2
5π-
2
π π
2
3π π2
2
5π π3
y
x
-1
1
π
- 2
π
-
O 2
3π-
π
2- 2
5π-
2
π π
2
3π π2
2
5π π3
y
x
-1
1
x y sec =的图像
x y csc =的图像
续表：
性质 函数
x y sec =)(Z k ∈
x y csc =)(Z k ∈
对称中心 )0,2
(π
π+
k
)0,(πk
对称轴 πk x =
ππ
k x +=
2
渐近线
ππ
k x +=
2
πk x =
六、反三角函数
1.反正弦函数
x y arcsin =，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[π
A.反正弦函数的概念：正弦函数
x y sin =在区间⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-2,2ππ上的反函数称为反正弦函数，记为x y arcsin =
2.反余弦弦函数
x y arccos =，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[π
B.反余弦函数的概念：余弦函数
x y cos =在区间[]π,0上的反函数称为反余弦函数，记为
x y arccos =
x y
arcsin
=的图像 x y arccos =的图像 3.反正、余弦函数的性质；
性质 函数 x y arcsin =
x y arccos =
定义域 [-1,1]
[-1,1]
值域
],0[π
],0[π
奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 单调性
增函数
减函数
O
x
y
1
-1
2
π 2
π-
O x
y
1 -1
2
π π
4.反正切函数
x y arctan =，有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ,值域⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,2ππ
C.反正切函数的概念：正切函数
x y tan =在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,2ππ上的反函数称为反正切函数，记为
x y arctan =
5.反余切函数
x arc y cot =，有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ,值域()π,0
D.反余切函数的概念：余切函数
x y cot =在区间()π,0上的反函数称为反余切函数，记为
x arc y cot =
x y arctan =的图像 x arc y cot =的图像
6.反正、余弦函数的性质；
函数 性质
x y arctan =
x arc y cot =
定义域
R
值域
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2ππ ()π,0
奇偶性 奇函数 非奇非偶
单调性 增函数 减函数
x
y
O
2
π 2
π
-
x
y
O 2
π π
三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=。

正弦：r y =αsin 余弦：r x
=αcos 正切：x
y
=
αtan 余切：y x =αcot
正割：x
r
=
αsec 余割：y r =αcsc
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：1csc sin =⋅α
α，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα
商数关系：αααcos sin tan =，α
α
αsin cos cot =
平方关系：1cos sin
22
=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+
三、诱导公式
x 轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；
y 轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。

四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-
βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+
β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=
-五、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
α
αα2tan 1tan 22tan -=
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
22cos 1cos 2αα+=
，22sin 1sin 2
αα+=，α
αααα2cos 12sin 2sin 2cos 1tan +=-=
六、三倍角公式
)
3sin()3sin(sin 4sin 4sin 33sin 3
απ
απααα+-=-=)3
cos()3cos(cos 4cos 3cos 43cos 3
απ
απααα+-=-=)3tan()3tan(tan tan 31tan tan 33tan 2
3απ
απααααα+-=--= 七、和差化积公式
2cos 2
sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ 2
sin
2
cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=-
2
cos
2cos
2cos cos β
αβ
αβα-+=+ 2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=-
八、辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a
其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，
2
2sin b a b +=
ϕ，2
2cos b
a a
+=
ϕ，a b
=ϕtan 九、三角函数的周期公式
函数)s in(ϕω+=x A y ，R x ∈及函数)cos(ϕω+=x A y ，R x ∈(A,ϕω,,为常数，且
0,0>≠ωA )
周期： ω
π
2=
T
函数)tan(ϕω+=x A y ，Z k k x ∈+
≠,2
π
π(A,ϕω,,为常数，且0,0>≠ωA )
周期： ω
π
=
T 十、正弦定理
R C c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB
C ∆外接圆半径） 十一、余弦定理
A bc c b a cos 22
2
2
⋅-+=
B ac c a b cos 2222⋅-+=
C ab b a c cos 2222⋅-+=。