正切函数的图像和性质

x

2
k , (k Z ) 所隔的无穷多支曲线组成的.
1、定义域
y tan x
终边不能落在y轴上。
定义域： { x | x

2
k ,k Z}
2、值 域
其中x的取值集合，即定义域为
{x | x R且x k

又由图像可知正切函数的值域是实数集R
2
, k z}
3、周期性
y sin x
T 2 T 2
T 2 T
y cos x
y tan x
sin x sin x tan x tan x cos x cos x
4、奇偶性
f ( x ) sin x , x R f ( x ) cos x , x R
2
2.正切函数性质
3.用数形结合的思想理解和处理有关的问题.
函数 y=tanx {x | x k , k Z } 2 R T= 奇函数 (k , k )k Z 增区间 2 2
定义域
值域 周期性 奇偶性 单调性
对称中心为零点及函数值不存在的点，( k , 0) k Z
o
3 0 2 8 4 8
8
4
3 8
2
三点两线作一个周期图象
y
渐 近 线
3 2
· ( ,1) 4 (0, 0) · 0 ( , 1) · 4



渐 近 线
3 2

2
2
x
然后有周期性左右平移得到整个定义域内的图象
y tan x
偶函数
减函数
2 关于原点对称 对称轴： x k , k Z
2
对称中心：( 对称轴： x k , k Z 关于y轴对称
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
k , 0) k Z
正切函数的性质与图象
正切函数和正切线
y tan x ， x ， 的图像: 5、利用正切线画出函数 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
函数
y
1
y=sinx
y
1
y=cosx


图形 定义域 值域 最值
2
0
-1

2

3 2
2
5 2
x
0
-1
2

3 2
2
5 2
x
x 2k 时， ymax 1 2 x 2k 时，ymin 1 2 x[- 2k , 2k ] 增函数
( x R , x k

2
,k Z)
6、利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切 函数
y tan x, x R且x
2
y
k , (k Z )的图象 , 并把它
叫做正切曲线.

3 2


2
0
2

3 2
x
从图中可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线
2 2 x[ 2k , 3 2k ] 减函数 2 2
奇函数
y [1,1]
xR
xR
y x 2k
时，ymin
1
x[ 2k , 2k ]
增函数
单调性 奇偶性 周期 对称性
x[2k , 2k ]
kZ
注意：只能说 y tan x 在某个区间内是增函数， 不能说 y tan x 在定义域范围是增函数.
6、对称性
关于对称点对称轴：从图象可以看出：无对称轴。
直线 x 2 k 为渐近线,对称中心为零点及 函数值不存在的点，即 k k Z

(
2
, 0)
小结:1.正切曲线的几何画法以及性质
为奇函数 为偶函数
f(x)=tanx呢？
利用正切线作正切函数的图像


2


3 8

4


8
3 8 4 8

2
特
征
1.有无穷多支曲线组成， 由直线 2.在每个分支里是单调递增的 3 .关于原点对称（奇函数）.
x

2
k , k Z
隔开
5单调性
在每个分支里是单调递增的
k k , 增区间： 2 2