高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结

高中数学高考三角函数重点
题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结
高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案)
三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．
题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．
例 1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ）
A ．1-
B
C ．1
2
-
+ D ．
1
2
+分析：三角形的最小内角是不大于3
π的，而()2
sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．
解析：由03
x π
<≤
，令sin cos ),4t x x x π=+=
+而7
4412
x πππ<+≤，得
1t <≤．
又2
12sin cos t x x =+，得21
sin cos 2
t x x -=，
得22
11(1)122
t y t t -=+=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决．
解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛
⎫=++=
++ ⎪⎝
⎭，
当4
x π
=
时，max 1
2
y =
，选D 。

例2．已知函数2
()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126
f f π
==．
（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．
分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++．
（1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，3
()126
22
f a b π
=
+= ，所以
4b =
，a =
（2
）()24cos 248sin(2)46
f x x x x π
=++=+
+，
故当226
2
x k π
π
π+
=+
即()6
x k k Z π
π=+
∈时，函数()f x 取得最大值为12．
点评：
结论()sin cos a b θθθϕ+=
+是三角函数中的一个重要公式，它
在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．
题型 2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．
例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos 23y x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象
A ．向左平移5π
12个长度单位 B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 解析：函数π55cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
故要将函数sin 2y x =的图象向左平移
5π
12
个长度单位，选择答案A ． 例4 （2008高考江西文10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,
)22ππ
内的
图象是
分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断． 解析：函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨
≥⎩当时
当时
．结合选择支
A
B
C
D
-
和一些特殊点，选择答案D ． 点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．
题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．
例5 （2008高考山东卷理5）
已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值是
A
． B
C ．45
-
D ．
45
分析：所求的7πsin sin()66
π
αα⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，将已知条件分拆整合后解决． 解析： C
．34cos sin sin cos sin 6522565ππααααα⎛
⎫
⎛
⎫-
+=⇔+=⇔+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，所以74sin sin 6
65ππαα⎛⎫⎛
⎫+
=-+=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
． 点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数
学思想和运算能力．解题的关键是对πcos sin 6αα⎛⎫-
+= ⎪⎝
⎭ 例6（2008高考浙江理8）
若cos 2sin αα+=则tan α= A ．
2
1
B ．2
C ．2
1
-
D ．2- 分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路．
(
)αϕ+=
sin ϕϕ==，即1tan 2ϕ=，
再由()sin 1αϕ+=-知道()22
k k π
αϕπ+=-
∈Z ，所以22
k π
απϕ=-
-，
所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕ
ϕ⎛⎫
-- ⎪
⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=
== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭
．
方法二：将已知式两端平方得
()2222222cos 4cos sin 4sin 55sin cos sin 4sin cos 4cos 0tan 4tan 40tan 2
ααααααααααααα++==+⇒-+=⇒-+=⇒=
方法三：令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得2
55t =+，故0t =， 即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．
方法四：我们可以认为点()cos ,sin M αα
在直线2x y +=
而点M 又在单位圆22
1x y +=
上，解方程组可得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
从而tan 2y x α=
=
．这个解法和用方程组22
cos 2sin sin cos 1
αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．
方法五：α只能是第三象限角，排除C ．D ．，这时直接从选择支入手验证，
由于
1
2
计算麻烦，我们假定tan 2α=，不难由同角三角函数关系求
出sin ,cos 55
αα=-
=-，检验符合已知条件，故选B ． 点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知
()1
sin cos ,0,5
βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后
一题第一问）”之类的题目 ，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．
题型4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型． 例7．（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A
相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ+ (
其中sin 26
θ=
，090θ<<)且与点A
相距海里的位置C ．
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求BC 的长，在ABC ∆中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点E 到直线BC 的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决． 解析：（1）如图，402AB =
2， 1013AC =26
,sin 26
BAC θθ∠==
由于090θ<<，所以226526cos 1()2626
θ=-= 由余弦定理得222cos 10 5.BC AB AC AB AC θ+-=
105
1553
=/小时）． （2）方法一 ： 如上面的图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系， 设点,B C 的坐标分别是()()1122,,,B x y C x y ，BC 与x 轴的交点为D ． 由题设有， 112
402
x y AB ==
=， 2cos 1013cos(45)30x AC CAD θ=∠=-=， 2sin 1013sin(45)20.y AC CAD θ=∠=-=
所以过点,B C 的直线l 的斜率20
210
k =
=，直线l 的方程为240y x =-． 又点()0,55E -到直线l 的距离35714
d =
=<+，所以船会进入警戒水域．
解法二： 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ．在ABC ∆中，由余弦定理得，
222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅=2222402105
⨯⨯=310
10．
从而2
910
sin 1cos 110ABC ABC ∠=-∠=-
= 在ABQ ∆中，由正弦定理得，102sin 1040sin(45)2210
AB ABC AQ ABC ∠=
==-∠⨯． 由于5540AE AQ =>=，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且15EQ AE AQ =-=． 过点E 作EP BC ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离． 在QPE ∆Rt 中，
5
sin sin sin(45)15357.5
PE QE PQE QE AQC QE ABC =∠=⋅∠=⋅-∠=⨯
=<
所以船会进入警戒水域．
点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图． 本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错． 题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．
例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ωωω==，
（0>ω），令b a x f ⋅=)(，且)(x f 的周期为π．
(1) 求4f π⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值；(2)写出()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间． 分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数()f x 的解析式求出来，再根据)(x f 的周期为π就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即
可． 解析：(1)
x x x b a x f ωωω2cos sin cos 2)(+=⋅=x x ωω2cos 2sin +=)42sin(2πω+=x ，
∵)(x f 的周期为π． ∴1=ω， )4
2sin(2)(π
+=x x f ，
12
cos 2sin )4(=π
+π=π∴f ．
(2) 由于)4
2sin(2)(π
+=x x f ，
当ππ
πππk x k 224222+≤+≤+-（Z k ∈）时，()f x 单增，
即ππππk x k +≤≤+-883（Z k ∈），∵∈x ]2
,2[ππ- ∴()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间为]8
,83[π
π-．
点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点． 例9 （2009江苏泰州期末15题）
已知向量()3sin ,cos a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，3,22παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，且a b ⊥．
（1）求tan α的值； （2）求cos 23απ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭的值． 分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式
探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问． 解析：（1）∵
a b ⊥，∴
0a b ⋅=．而()3sin ,cos a αα=，
()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，
故
226sin 5sin cos 4cos 0
a b αααα⋅=+-=，由于
cos 0
α≠，
∴26tan 5tan 40αα+-=， 解得4tan 3α=-，或1tan 2α=
．∵3π 2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，tan 0α<， 故1tan 2α=
（舍去）．∴4
tan 3
α=-． （2）∵3π 2π2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，∴3ππ24α∈
（，）． 由4tan 3
α=-，求得1tan 22α
=-，tan 22
α
=（舍去）
．
∴sin
cos 2
2α
α=
cos 23απ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
ππcos cos sin sin 2323αα-=12= ． 点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范
围对解题结果的影响．
题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是π，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型．
例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，
设向量(,),(,)m c a b a n a b c =--=+，若//m n ，
（1）求角B 的大小；
（2）求sin sin A C +的取值范围． 分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角,A C 就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题． 解析：（1）
//,()()()m n c c a b a a b ∴---+，
2222
2
2
,1a c b c ac b a ac +-∴-=-∴=． 由余弦定理，得1cos ,23
B B π==．
（2）2,3
A B C A C π
π++=∴+=
，
222sin sin sin sin(
)sin sin cos cos sin 333
A C A A A A A πππ∴+=+-=+-
3
sin )26
A A A π
=+=+ 250,3666
A A ππππ
<<
∴<+<
1
sin()1,sin sin 26A A C π∴<+≤<+≤
点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响．
题型7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题．
例11. 如图，已知点G 是ABO ∆的重心，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，且PQ 过
ABO ∆ 的重心G ，OP mOA =，OQ nOB =，试证明
11
m n
+为常数，并求出这个常数．
分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，本题的本质是点,,P G Q 共线，利用这个关系寻找,m n 所满足的方程． 解析：令OA a =，OB b =，则OP ma =，OQ nb =，设AB 的中点为M ， 显然
1().2OM a b =+，因为G 是ABC ∆的重心，所以21
()33
OG OM a b ==⋅+．由
P 、
G 、Q 三点共线，有PG 、GQ 共线，所以，有且只有一个实数λ，使 PG GQ λ=，
而111
()()333
PG OG OP a b ma m a b =-=
+-=-+， 111
()()333
GQ OQ OG nb a b a n b =-=-+=-+-，
所以1
111()[()]3333
m a b a n b λ-+=-+-．
又因为a 、b 不共线，由平面向量基本定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-)31(3
13
131
n m λλ，消去λ，
整理得3mn m n =+，故
31
1=+n
m ．结论得证．这个常数是3． 【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再根据平面向量的有关知识加以处理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意．
题型8 用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值． 例12. 已知函数2
2
()cos 2sin cos sin f x x t x x x =+-，若函数()f x 在区间(,]126
ππ
上
是增函数，求实数t 的取值范围． 分析：函数的()f x 导数在(
,]126
ππ
大于等于零恒成立．
解析：函数()f x 在区间(
,]126ππ上是增函数，
则等价于不等式()0f x '≥在区间(,]126
ππ
上恒成立，即()2sin 22cos 20f x x t x '=-+≥在区间(
,]126
ππ
上恒成立， 从而
tan 2t x ≥在区间(,]126ππ上恒成立， 而函数tan 2y x =在区间(,]126
ππ
上为增函数，
所以函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上的最大值为max tan(2)6
y π
=⨯=，所以
t ≥为所求．
点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的
思想意识．本题如将()f x 化为()sin 2cos 2)f x t x x x ϕ=+=+的形式，
则ϕ与t 有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决．
题型9 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．
例13. 设二次函数2
()(,)f x x bx c b c R =++∈，已知不论α，β为何实数，恒有
(sin )0f α≥和(2cos )0f β+≤．
（1）求证：1b c +=- ； （2）求证：3c ≥；
（3）若函数(sin )f α的最大值为8，求b ，c 的值．
分析：由三角函数的有界性可以得出()10f =，再结合有界性探求．
解析：（1）因为1sin 1α-≤≤且(sin )0f α≥恒成立，所以(1)0f ≥，又因为
12cos 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立，所以(1)0f ≤， 从而知(1)0f =，
10b c ++=，即1b c +=-．
（2）由12cos 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立得(3)0f ≤， 即 930b c ++≤，将1b c =--代如得9330c c --+≤，即3c ≥． （3）2
22
11(sin )sin
(1)sin (sin )()22
c c f c c c αααα++=+--+=-
+-， 因为122c
+≥，所以当sin 1α=-时max [(sin )]8f α=， 由1810b c b c -+=⎧⎨++=⎩ ， 解得 4b =-，3c =．
点评：本题的关键是1b c +=-，由(sin )0
(2cos )0
f f αβ≥⎧⎨
+≤⎩ 利用正余弦函数的有界性得出
()()10
10
f f ≥⎧⎪⎨
≤⎪⎩，从而(1)0f =，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用． 【专题训练与高考预测】 一、选择题
1．若[0,2)απ∈，
sin cos αα=-，
则α的取值范围是（ ）
A ．[0,
]2
π
B ．[
,]2
π
π C ．3[,
]2
π
π D ．3[
,2)2
π
π 2．设α是锐角，且lg(1cos )m α-=，1
lg 1cos n α
=+，则lgsin α=
（ ） A ．m n - B ．11()2m n - C ．2m n - D ．11
()2n m
-
3．若00
||2sin15,||4cos15a b ==，a 与b 的夹角为30。

，则a b ⋅= （ ）
A
．
2
B
C
．D ．
12
4．若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状为
（ ）
A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形 5．在ABC ∆中，若C
c
B b A a cos cos cos =
=，则ABC ∆是
（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
6．已知向量)02(，=→
-OB 、)22(，=→
-OC 、)sin 2cos 2(αα，=→
-CA ，则直线OA 与直线OB
的夹角的取值范围是
（ ）
A ．]12
512[
π
π，
B ．]12
54[π
π，
C ．]2
125[
ππ， D ．]4
0[π
，
二、填空题
7．6622sin cos 3sin cos x x x x ++的化简结果是__________．
8．若向量a 与b 的夹角为θ，则称a b ⨯为它们的向量积，其长度为||||||sin a b a b θ⨯=⋅，
已知||1a =，||5b =，且4a b ⋅=-，则||a b ⨯=_______________．
9． 一货轮航行到某处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15︒，与灯塔S 相距20海里，随后货
轮按北偏西30︒的方向航行30分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为每小时 海里． 三、解答题
10． 已知：1tan()3πα+=-，22sin 2()4cos 2tan()10cos sin 2π
αααβαα
-++=-．
（1）求tan()αβ+的值； （2）求tan β的值．
11． 已知函数(
)2
22sin ()612
f x x x ππ
⎛⎫
=-
+- ⎪⎝
⎭ ()x R ∈． （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求使函数()f x 取得最大值的x 的集合．
12．已知向量(cos ,sin )a αα=， (cos ,sin )b ββ=， 25
5
a b -=． （1）求cos()αβ-的值; （2）若02
π
α<<， 02
π
β-
<<， 且5
sin 13
β=-
， 求sin α． 【参考答案】
1．解析：B 由已知可得sin 0α≥，且cos 0α≤，故得正确选项B ．
2．解析：C lg(1cos )n α+=-与lg(1cos )m α-=相加得2
lg(1cos )m n α-=-，
∴2lgsin m n α=-，故选C ．
3．解析：B 4sin30cos302sin 60a b ⋅===。

B ．
4．解析：A 已知即()0CB AB AC ⋅+=，即边BC 与顶角BAC ∠的平分线互相垂直，这表明ABC ∆是一个以AB 、AC 为两腰的等腰三角形．
5．解析：B 依题意，由正弦定理得sin cos A A =，且sin cos B B =，sin cos C C =，故得． 6．解析：A 由2||=→
-CA 为定值，∴A 点的轨迹方程为2)2()2(2
2
=-+-y x ，由图形易知所求角的最大、最小值分别是该圆的切线与x 轴的夹角，故得．
7
． 解析：1
原
式
223422422(sin cos )3sin cos 3sin cos 3sin cos x x x x x x x x =+--+1=．
8．解析：3 由夹角公式得4cos 5θ=-
，∴3sin 5θ=，∴3
||1535
a b ⨯=⨯⨯=
． 9．
解析：设轮速度为x 海里/小时，作出示意图，由正弦定理得
1
202sin 30sin105
x
=
︒︒
，解得x =． 10．解析：（1）∵1tan()3πα+=- ∴1
tan 3
α=-，
∵22sin(2)4cos tan()10cos sin 2παααβαα-++=-22sin 24cos 10cos sin 2αα
αα
+=-
22
2sin cos 4cos 10cos 2sin cos αααααα+=-2cos (sin 2cos )2cos (5cos sin )αααααα+=-sin 2cos tan 2
5cos sin 5tan αααααα
++==-- ∴12
5
3tan()11653
αβ-++==+ ．
（2）∵tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=++ ，∴5131163tan 51431163
β+
==-⨯．
11．解析：（1）因为(
))1cos 2612f x x x π
π⎛
⎫=-
+-- ⎪⎝
⎭
122cos 21
6262sin 21662sin 21
3x x x x πππππ⎤⎛⎫⎛
⎫=---+⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤
⎛⎫=-
-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
所以()f x 的最小正周期22
T π
π=
=． （2）当()f x 取最大值时，sin 213x π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，此时2232
x k ππ
π-=+ ()k Z ∈，即 512x k ππ=+
()k Z ∈，所以所求x 的集合为512x x k ππ⎧⎫
=+⎨⎬⎩
⎭ ()k Z ∈． 12．解析：（1）
(cos ,sin )a αα=， (cos ,sin )b ββ=，
()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--，．
25
5
a b -=
，
=
， 即 ()422cos 5αβ--=， ()3cos 5
αβ∴-=． （2）
0,0,02
2
π
π
αβαβπ<<
-
<<∴<-<，
()3cos 5αβ-=， ()4
sin .5αβ∴-=
5sin 13β=-， 12
cos 13
β∴=，
()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ
∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦4123533
51351365
⎛⎫=
⋅+⋅-= ⎪⎝⎭． 高中数学复习系列---数列（常见、常考题型总结）(附参考答案)
题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列） A ）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；
2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．
3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. B ）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=5
5b a
. 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5
935,95S S
a a 则（ ） 4、等差数列{}n a ,{}n
b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若
231n n S n
T n =+,则n n
a b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S . 6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

7、已知数列{}n a 是等差数列，若
471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。

8、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 9、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） 10、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a += . 11、已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a .
12、等差数列{}n a 中，已知84816
1
,.3S S S S =求= . 题型二：求数列通项公式：
A ） 给出前几项，求通项公式
1,0,1,0,……
,,21,15,10,6,3,1
3，-33,333，-3333,33333……
B ）给出前n 项和求通项公式
1、⑴n n S n 322
+=； ⑵13+=n n S .
2、设数列{}n a 满足2
*12333()3
n n
a a a a n N +++=
∈n-1
…+3，求数列{}n a 的通项公式 C ）给出递推公式求通项公式
a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；
11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
例：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； b 、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用迭乘法.1
1
22332211a a a
a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----
例、已知数列{}n a 满足：111
(2),21
n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式； c 、构造新数列
1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解
例、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 2°递推关系形如“，两边同除1
n p +或待定系数法求解
例、
n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.
3°递推已知数列{}n a 中，关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，利用待定系数法求解 例、已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.
4°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -
例1、已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.
例2、数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a n
n
n ，求数列{}n a 的通项公式.
d 、给出关于n S 和m a 的关系
例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n
n n S b 3-=，
求数列{}n b 的通项公式．
例2、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项； ⑵设1
2+=
n S b n
n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差
例1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=
N n n
S b n
n .求证：
数列{}n b 是等差数列. 例2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=2
1
.求证：{n S 1}是
等差数列； B ）证明数列等比
例1、设{a n }是等差数列，b n ＝n
a ⎪⎭
⎫
⎝⎛21，求证：数列{b n }是等比数列；
例2、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n
n n ba b S -=-
⑴证明：当2b =时，{}
12n n a n --⋅是等比数列；⑵求{}n a 的通项公式
例3、已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶若数列{}n b 满足12111
*44
...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.
题型四：求数列的前n 项和 基本方法： A ）公式法， B ）拆解求和法.
例1、求数列n
{223}n +-的前n 项和n S . 例2、求数列 ，，，，，)2
1(81341221
1n n +
的前n 项和n S . 例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n （n+3）
C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1111
()()n n k k n n k
=-++；
n n n n -+=++11
1；
例1、求和：S =1+
n
+++++
+++++ 3211
3211211 例2、求和：
n
n +++++++++11341231121 . D ）倒序相加法，
例、设2
2
1)(x
x x f +=，求： ⑴)4()3()2()()()(21
3141f f f f f f +++++；
⑵).2010()2009()2()()()()(21
312009120101f f f f f f f ++++++++
E ）错位相减法，
例、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .
F ）对于数列等差和等比混合数列分组求和
例、已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2
，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 题型五：数列单调性最值问题
例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n . 例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；
例3、数列{}n a 中，12832
+-=n n a n ，求n a 取最小值时n 的值.
例4、数列{}n a 中，22+-=n n a n ，求数列{}n a 的最大项和最小项.
例5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*
n ∈N ．
（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*
n ∈N ，求a 的取值
范围．
例6、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由. 例7、非等比数列{}n a 中，前n 项和21
(1)4
n n S a =--， （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设1
(3)
n n b n a =
-(*)n N ∈，12n n T b b b =++
+，是否存在最大的整数m ，使得对任意
的n 均有32
n m
T >
总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由。