牛顿运动定律专题03动力学的临界和极值问题

§专题03：动力学的临界和极值问题
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一、临界和极值
在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。

此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。

在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。

这类问题称为临界问题。

在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。

1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力N，而且此时它们的速度相等，加速度相同。

【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之
前），重物的运动情况是（）
A、一直加速
B、先减速，后加速
C、先加速、后减速
D、匀加速
答案：C
【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。

用竖
直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离
0m 时的弹簧长度为（ ）
A 、0l
B 、()k g m m l +-00
C 、k mg l -0
D 、k
g m l 00- 答案：A
【例】如图所示，物体A 静止在台秤的秤盘B 上，A 的质量为kg m A 5.10=，B 的质量kg m B 5.1=，弹簧质量不计，劲度系数
m N k /800=，现给A 施加一个竖直向上的力F ，使它向上做匀加速直线运动，已知力F 在开始的s t 2.0=内是变力，此
后是恒力，求F 的最大值和最小值。

答案：N 168、N 72
解：由题意可知，它们将在s t 2.0=时分离。

分离时，它们之间的弹力0=N 。

设它们加速时的加
速度为a ，开始时弹簧的形变量x ∆，由开始运动到分离时，B 的位移为S 。

则：
对弹簧：()x k g m m B A ∆=+；
对B ：22
1at S =；此时s t 2.0=。

分离时，弹簧的形变量为：S x -∆；
由牛顿第二定律：
对A ：a m g m F A A =-；
对B ：()a m g m S x k B B =--∆；
由以上各式可得：2/6s m a =
当0=t 时，F 最小，此时()N a m m F B A 72=+=；
当s t 2.0=时，F 最大，此时N a m g m F A A 168=+=。

【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为︒45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。

当滑块至少以加速度______=a 向左运动时，小球对滑块的压力等于零。

当滑块以g a 2=的加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。

答案：g
、mg 5
【例】一个质量为kg 2.0的小球用细线吊在倾角︒=53θ的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以2/10s m 的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。

答案：N 83.2、0
【例】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有
a
P
A
45
两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B 。

它们的质量分别为A m 、B m ，弹簧的劲度系数为k , C 为一固定挡板。

系统处于静止状态。

现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块
A 使之向上运动，求物块
B 刚要离开
C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d ，重力加速度为g 。

答案：①()A
B A m g m m F a θsin +-=； ②()k
g m m d B A θsin +=。

【例】如图所示，一根劲度系数为k 质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物体A 。

手持一质量为M 的木板B ，向上托A ，使弹簧处于自然长度。

现让木板由静止开始以加速度a （g a <）匀加速向下运动，求：
（1）经过多长时间A 、B 分离。

（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值。

答案：①()ka
a g m t -=2； ②最大：()()a g m M F -+=；最小：()a g m F -=。

解：①分离时弹力为0，而且加速度为a ；
②开始运动时力最大：
对系统：()()a m M F g m M +=-+；
AB 分离时力最小：
对B ：ma F mg =-
【例】如图所示，木块A 、B 的质量分别为1m 、2m ，紧挨着并
排放在光滑的水平面上，A 与B 间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角，A 与B 间的接触面光滑。

现施加一个水平力F 作用于A ，
使A、B一起向右运动且A、B一不发生相对运动，求F的最大值。

答案：()2
211tan m g m m m F θ+=
【例】如图所示，一质量为m 的物块A 与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为m 的物块B 叠放在A 的上面，A 、B 处于静止状态。

若A 、B 粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢上提B ，当拉力的大小为mg 5.0时，A 物块上升的高度为L ，此过程中，该拉力做功为W ；若A 、B 不粘连，用一竖直向上的恒力F 作用在B 上，当A 物块上升的高度也为L 时，A 与B 恰好分离。

重力加速度为g ，不计空气阻力，求恒力F 的大小。

答案：mg 5.1 解：静止时，对AB ：k
mg x 2=∆； 粘连时，缓慢地提：
对AB ：()mg L x k F 2=-∆+；
又 mg F 5.0=
不粘连，分离时：0=N ；
对B ：ma mg F =-；
对A ：()ma mg L x k =--∆；
由以上各式可得：mg F 5.1=。

【例】如图所示，质量kg m 10=的小球挂在倾角为︒=37α的光滑斜面的固定铁杆上，当小球与斜面一起向右以：（重力加速度为
2/10s m g =）
（1）g a 5.01=时，绳子拉力和斜面的弹力大小；
（2）g a 22=时，绳子拉力和斜面的弹力大小。

答案：①N 100 N 50；②N 5100 0
2、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题，此时绳子的张力：
0=T 。

【例】如下图所示，两绳系一个质量为kg m 1.0=的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长m L 2=,两绳都拉直时与轴夹角分别为︒30和︒45。

问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？
答案：s rad s rad /16.3/40.2≤≤ω
【例】如图所示，两细绳与水平的车顶面的夹角为︒60和︒30，物体的质量为m 。

当小车以大小为g 2的加速度向右匀加速运动时，绳1和绳2的张力大小分别为多少？ 答案：0 mg 5。

3、由运动情况造成的临界和极值问题，此时题目中将会出现“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语。

【例】物体A 的质量kg M 1=，静止在光滑水平面上的平板车B 的质量为kg m 5.0=、长m L 1=。

某时刻A 以s m v /40=向右的初速度滑上木板B 的上表面，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力。

忽略物体A 的大小，已知
A 与
B 之间的动摩擦因数2.0=μ，取重力加速度2/10s m g =。

试求:
（1）若N F 5=，物体A 在小车上运动时相对小车滑行的最大距离；
（2）如果要使A 不至于从B 上滑落，拉力F 大小应满足的条件。

答案：①m 5.0；②N F N 31≤≤。

解：①由牛顿第二定律： 对A ：1Ma Mg =μ； 对B ：2ma Mg F =+μ；
此后，物体A 将做减速运动，而B 将加速，直到达到共速；
有：t a t a v v 210=-=共 得：s t 25.0= 此时，相对位移m m S S S B A 15.0<=-=相 之后，A 将从B 的左端滑下。

②当F 较小时，A 将从B 的右端滑下，临界条件是：A 到达B 的右端时，A 、B 具有共同的速度。

当F 较大时，A 将从B 的左端滑下，临界条件是：达到共同速度时，A 、B 相对静止。

此时：m f f =滑。

【例】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。

桌布的一边与桌的AB 边重合，如图。

已知
盘与桌布间的动摩擦因数为1μ，盘与桌面间的动摩擦因数为2μ。

现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB 边。

若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么?(以
g 表示重力加速度)
答案：g a 12
2
12μμμμ+≥
解：圆盘的运动应该是先在桌布上加速，后在桌子上做匀减速运动，如果圆盘未从桌面上掉下来（设从桌布上掉下来时的速度为v ，末速度为0），则有：
对圆盘：2
L S S ≤+减加；
加速阶段：11ma mg =μ；12
2a v S =加；
减速阶段：22ma mg =μ；2
2
2a v S =减；
设桌布从盘下抽出所经历时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为S 。

对桌布：2
2
1at S =；
由运动情况：2L S S =
-加；212
1
t a S =加。

由以上各式得：g a 12
2
12μμμμ+≥。

【例】如图所示，一质量kg m 500=的木箱放于质量
kg M 2000=的平板车的后部，木箱到驾驶室的距离m l 6.1=，已知
木箱与木板间的动摩擦因数484.0，平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的2.0倍。

平板车以s m v /220=的恒定速率行使，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动，为了不让木箱撞击驾驶室，试求：
（1）从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间？ （2）驾驶员刹车时的制动力不能超过多少？ 答案：①s 4.4；②N 31042.7⨯。

解：①设箱的位移为1S ，车的位移为2S ； 车的加速度为a 。

箱子如果不与车相碰，则有： l S S ≤-21
由牛顿定律，对箱：1ma mg =μ；
由运动学公式，对箱：1
2
01
2a v S =；
对车：a
v S 22
02=；
由以上各式有：2
/5s m a ≤，所以s a
v t 4.40
≥=。

②设汽车的制动力为F ，由牛顿第二定律： ()Ma g m M k F mg =+--μ 得：N F 31042.7⨯=
【例】一木箱可视为质点，放在汽车水平车厢的前部，如图所示，已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为μ。

初始时，汽车和木箱都是静止的。

现在使汽车以恒定的加速度0a 开始启动沿直线运动。

当其速度达到0v 后做匀速直线运动。

要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件？
【例】如图所示，在光滑桌面上叠放着质量为kg m A 0.2=薄木板A 和质量为kg m B 0.3=的金属块B 。

A 的长度m L 0.2=。

B 上有轻线绕过定滑轮与质量为kg m C 0.1=的物块C 相连。

B 与A 之间的滑动摩擦因数10.0=μ，最大的静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。

忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。

起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B 位于A 的左端（如图所示），然后放手，求经过多长时间后B 从A 的右端脱离（设A 的右端距滑轮足够远）（2/10s m g =）。

【例】一圆环A 套在一均匀圆木棒B 上，A 的高度相对B 的长度来说可以忽略不计。

A 和B 的质量都等于m ，A 和B 之间的滑动摩擦力为f （mg f <）。

开始时B 竖直放置，下端离地面高度为H ，A 在B 的顶端，如图所示。

让它们由静止开始自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动，并且碰撞前后的速度大小相等。

设碰撞时间很短，不考虑空气阻力，问：在B 再次着地前，要使A 不脱离B ，B 至少应该多长？
答案：(
)
H f mg g m L 2228+≥；
解：开始释放后，A、B一起做自由落体运动，
v。

设其到达地面前瞬间的速度为
1
由机械能守恒：2
12
12mv mgH =
； B 与地面撞击后，环A 将做加速运动（设其加速度为1a ），而B 将做减速运动（设其加速度为2a ），当B 的速度减为0后，反向又以2a 加速，直到B 再次落地，由对称性可知：此时B 的速度依然为1v 。

由牛顿第二定律，对A ：1ma f mg =-； 对B ：2ma f mg =+； 故它们运动的时间为：2
1
2a v t =
； 此时：棒运动的位移为0，环相对于棒运动的位移，对环：
有：2
112
1t a t v S +=；
棒的长度：S L ≥，即()
H f mg g m L 22
28+≥。

4、最大静摩擦力也会造成临界和极值问题，此时有：滑f f f m ≈=。

【例】如图所示，质量分别为m 和m 2的两物体A 、B 叠放在一起，放在光滑的水平地面上，已知A 、B 间的最大摩擦力为A 物体重力的μ倍，若用水平力分别作用在A 或B 上，使A 、B 保持相对静止做加速运动，则作用于A 、B 上的最大拉力A F 与B F
答案：21：：=B A F F
【例】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和m 2的四
个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是
mg μ。

现用水平拉力F 拉其中一个质量为m 2的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为（ ）
A 、5mg 3μ
B 、4
mg 3μ C 、2
mg 3μ D 、mg 3μ
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