高考数学《圆锥曲线定点定值问题之定比点差法》

圆锥曲线定点定值问题之定比点差法
一：定比点差法原理
定比分点：若,MB AM λ=则称点M 为AB 的入定比分点，若()()2211,,,y x B y x A 则
⎪
⎭⎫ ⎝⎛++++λλλ
λ1,1:2121y y x x M 若MB AM λ=且NB AN λ-=,则称N M ,调和分割B A ,,根据定义，那么B A ,也调和分割N M ,.
1.定理：在椭圆或双曲线中，设A,B 为椭圆或双曲线上的两点。

若存
在P ,Q 两点，满足PB
AP λ=，
QB
AQ λ-=，一定有
1
2
2
=±
b y y a x x Q P Q
P 证明：若()()2211,,,y x B y x A ， PB AP λ=，
则
⎪
⎭⎫
⎝⎛++++λλλλ1,1:2121y y x x P
,
QB AQ λ-=则
⎪
⎭
⎫
⎝⎛----λλλλ1,1:2121y y x x Q ，
有
2
2
112222222
2222
1x y a b x y a b ①
②
①—②得：
()()()()1212121222
2
1.
x x x x y y y y a b λλλλλ+-+-±=-即
11111112
121221212=--•++•±--•++•λ
λλλλλλλy y y y b x x x x a
12
2
=±
b
y y a
x x Q P Q P
2.在抛物线px
y 22
=中，设A,B 为抛物线上的两点。

若存在P ,Q 两点，
满足
PB
AP λ=，
QB
AQ λ-=，一定有
)
(Q P Q P x x p y y +=
证明：若()()2211,,,y x B y x A ， PB AP λ=，
则
⎪
⎭⎫
⎝⎛++++λλλλ1,1:2121y y x x P
,
QB AQ λ-=则
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----λλλλ1,1:2121y y x x Q ，有
2
112
2
22222y px y px ①②
①—②得：
22222121122()
y y p x x x x λλλ-=+--即
22121212121212))()
y y y y p x x x x x x x x λλλλλλλλ+-=++-+---(( 12121212))()(1)()(1)
(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y y y p x x p x x λλλλλλλλλλλλ+-+--+=+
+--+-+((
)
(Q P Q P x x p y y +=
定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满
足圆锥曲线的特征方程。

定比点差解决的几大问题 一．证明特征方程
1.（2015•四川卷）已知椭圆
2
2
2
2
:1(0)
x y C a b a b 的离心率为21
，左、右焦点分别为圆F 1、
F 2，M 是C 上一点，
2
1=MF ，且
1212
2MF MF MF MF ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，且Q 满足AP QB AQ PB
，证明点Q 总在某定直线上，并求出该定直线的方程．
2.（2021•湛江三模）设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点(0,4)P 的动直线l 与抛
物线C 交于A ，B 两点，当F 在l 上时，直线l 的斜率为2-． （1）求抛物线的方程；
（2）在线段AB 上取点D ，满足PA PB λ=，AD DB λ=，证明：点D 总在定直线上．
3．（2021•山东二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率
12e =，且经过点3(1,)2，点1F ，2F 为椭圆C 的左、右焦点．
（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且1l 与椭圆交于不同两点A ，B ，2l 与直线1x =交于点P ．若11AF F B λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF ∆面积的最小值．
AP PB λ=，AQ
中的重点！！！）
证
明
二．平行线定点之截距定值 4.（2021•垫江县模拟）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长
轴长为A 、B 为椭圆上的两个动点，当A ，B 关于原点对称时，
2
22(||||)ABF AF BF S ∆+⋅的最大值为
（Ⅱ）若存在实数λ使得1AF AB λ=，过点A 作直线4x =-的垂线，垂足为N ，直线NB 是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（Ⅰ）由题意可知，2a =22||||2AF BF a +== 当AB 为短轴时，
2
ABF S
取得最大值为bc ，
所以2
224
8bc a b c =⎧⎨=+=⎩，解得2,2a b c ===，
所以椭圆C 的方程为22
1
84x y +=；
5.（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 分别为椭圆
22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>
的右顶点和上顶点，OAB ∆C 的离心率为1
2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设斜率不为0的直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，且与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，过M 作直线4x =的垂线，垂足为Q ．试问：直线QN 是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
6.（2021•绵阳模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点1)，且离心率为．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过右焦点F 且不与x 轴重合的直线与椭圆交于M ，N 两点，已知(3,0)D ，过M 且与y 轴垂直的直线与直线DN 交于点P ，求证：点P 在一定直线上，并求出此直线的方程．
三．焦点弦与短轴截距比值之和为定值
7.（2021•邯郸二模）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1
F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若12||2F F =，2ABF ∆的周长为8． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）1MA F A λ=，1MB F B μ=，试分析λμ+是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．
8.（2021•浙江模拟）已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点．过点F 的直线l 与
抛物线C 交于A ，B 两点．
（1）若直线1与圆
221
:9O x y +=
相切，求直线l 的方程；
（2）若直线1与y 轴的交点为D ，且DA AF λ=，DB BF μ=，试探究：λμ+是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
9.（2021•吉安模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2．，离心率为12．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM MQ λ=，PN NQ μ=．若4λμ+=-，证明：直线l 恒过定点．
三．比值或者坐标取值范围
10.（2018•浙江）已知点)1,0(P ，椭圆)
1(422
>=+m m y x 上两点A 、B 满足PB AP 2=，则
当m = 时，点B 横坐标的绝对值最大．
11.（2021•云南一模）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1
F 的动直线与椭圆C 交于P 、M 两点，直线2PF 与椭圆C 交于P 、N 两点，且11PF F M λ=，22PF F N
μ=．当△12F PF 的面积最大时，MPN ∆为等边三角形．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若
1
2b >
，直线1x y λμ+=与椭圆C 是否有公共点？若有，有多少个公共点？若没有，
请说明理由．
12.若椭圆E 1：1212212=+b y a x 与椭圆E 2：12
2
2
222=+b y a x 满足)0(2121>==m m b b a a ，则称这
两个椭圆相似，m 叫相似比．若椭圆M 1与椭圆122
22=+y x M ：相似且过），（22
1点．（I ）
求椭圆M 1的标准方程；（II ）过点P （﹣2，0）作斜率不为零的直线l 与椭圆M 1交于不同两点A 、B ，F 为椭圆M 1的右焦点，直线AF 、BF 分别交椭圆M 1于点G 、H ，设AF FG λ=，
()BF FH R μλμ=∈，，求λμ+的取值范围．
13.
五．坎迪定理
14.（2021•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是1
2，
焦点到相应准线的距离是3．
（1）求a ，b 的值；
（2）已知A 、B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，(1,0)F ，连接AF 、BF 并分别延长交椭圆C 于D 、E 两点，证明：直线DE 过定点．
15.（2021•武汉模拟）设抛物线
2
:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线E 于A ，B 两点．当l 与x 轴垂直时，AOB ∆面积为8，其中O 为坐标原点．
（1）求抛物线E 的标准方程；
（2）若l 的斜率存在且为1k ，点(3,0)P ，直线AP 与E 的另一交点为C ，直线BP 与E 的另一交点为D ，设直线CD 的斜率为2k ，证明：1
2k k 为定值．
16.（2021•济南一模）如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与
直线MN 相交于点(1,0)，直线AN 过点(2,0)．
（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y ⋅的值；
（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
17.（2018北京文20压轴）已知椭圆2222:1(0)
x y M a b a b +=>>
的离心率为，焦距
为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ．(1)求椭圆M 的方程；
(2)
若1k =，求||AB 的最大值；
(3)设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点
为D ．若C ，D 和点
71(,)
44Q - 共线，求k ．
六．极点极线的快速证明
18.（2021春•浙江月考）如图，已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点F ，过x 轴上一点(2,0)
T 作两条直线分别交抛物线于A ，B 和C ，D ，设AC 和BD 所在直线交于点P ．设M 为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M 点坐标可以为(4,4)；②MF x ⊥轴时，
||3MF =；③||MF 比M 到y 轴距离大1．
（Ⅰ）抛物线C 同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；
（Ⅱ）判断并证明点P 是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．
19.（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24y x =，过点(1,1)P -的直线l 斜率为k ，与抛物线
交于A ，B 两点．
（Ⅰ）求斜率k 的取值范围；
（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D
两点，设
x=-，若存在，求出直线AC与直线BD的交点N的横坐标为0x，是否存在这样的k，使05
k的值，若不存在，请说明理由．。