数学建模阅卷分配问题

SJ
k 1 nj
jk ijk
x zi A j (i 1,2, ,19; j 1,2, ,19)
4）每个评委评判某个学校的B题卷数目不能超过该校B题卷 数的总量，不评B题卷的评委评阅该校B题卷的数目为0，即：
(1 SJ
k 1
jk
) xijk (1 z i ) B j (i 1,2, ,19; j 1,2, ,19)
1707
B
1708
B
1709
B
1710
A
1801
B
1802
B
1803
B
1804
B
1805
A
1806
A
1807
B
1808
B
1901
A
1902
B
1903
A
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
现有来自19所学校的19名评委（每校一名）评阅试卷，同 时要求： 1）每份试卷经四位评委评阅； 2）每位评委只能一道题，且来自01，04，06，12，16学校 的评委要求评A题，来自02，05，07，10学校的评委要求评B 题； 3）为了使每位评委的工作量尽可能的平均，要求每个评委 评阅的试卷数在40-45份； 4）每名评委尽可能回避本校答卷，并且每个评委评阅的答 卷尽可能广泛。 根据上述已知条件以及要求，寻找最佳的评卷分配方案。
19
7）来自01，04，06，12，16学校的评委评A题，来自02， 05，07，10学校的评委评B题，即 zi 1 (i 1,4,6,12,16); zi 0 (i 2,5,7,10)
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
根据以上分析，对于数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题建 立广义指派0-1规划模型如下：
2）当评委对某一学校的评阅试卷数之和为0时，该评委即不 评阅这一学校的试卷，而当该评委评阅某一学校的试卷时，该 评委评阅这一学校的试卷数一定大于等于1，即：
x
k 1 nj
nj
ijk
yij (i 1,2, ,19; j 1,2, ,19)
3）评委评判某个学校A题卷数目不能超过该校A题卷数总 量，不评A题卷的评委评阅该校A题卷数目为0，即：
1315
B
1401
A
1402
A
1403
B
1404
B
1405
A
1406
B
1407
B
1408
B
1409
B
1410
A
1411
A
1501
A
1502
B
1503
B
1504
A
1505
B
1601
B
1602
B
1603
B
1604
A
1605
A
1606
B
1607
B
1701
A
1702
A
1703
A
1704
A
1705
B
1706
B
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
max=@sum(Teachers(i):@sum(XueXiao(j): T_XMatrix(i,j)))-@sum(Teachers(i):@sum(ShiJuan(k)| k#LE#NShiJuan(i):AllocationMatrix(i,i,k))); @for(Teachers(i):@for(XueXiao(j):NT_X_A(i,j)=@sum(ShiJuan(k)| k#LE#NShiJuan(j):AllocationMatrix(i,j,k)*ShiJuanMatrix(j,k)))); !NT-X-A(i,j)表示评委i分到j校A卷的份数; @for(Teachers(i):@for(XueXiao(j):NT_X_B(i,j)=@sum(ShiJuan(k)| k#LE#NShiJuan(j):AllocationMatrix(i,j,k)*(1-ShiJuanMatrix(j,k))))); !NT-X-B(i,j)表示评委i分到j校B卷的份数; @for(Teachers(i): NTA(i)=@sum(XueXiao(j):@sum(ShiJuan(k)| k#LE#NShiJuan(j):AllocationMatrix(i,j,k)*ShiJuanMatrix(j,k)))); !NTA(i)表示评委i分到A卷的份数; @for(Teachers(i):NTB(i)=@sum(XueXiao(j):@sum(ShiJuan(k)| k#LE#NShiJuan(j):AllocationMatrix(i,j,k)*(1-ShiJuanMatrix(j,k))))); !NTB(i)表示评委i分到B卷的份数;
0 , 教师i不评阅j校的k号卷 xijk , 1 ，教师i评阅j校的k号卷 (k 1,2, , n j ; j 1,2, ,19; i 1,2,,19)
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
0 , 教师i不评阅j校的卷 , (i 1,2,,19; j 1,2,,19) yij 1 ，教师i评阅j校的卷 0 , 教师i评阅B题卷 zi , (i 1,2,,19) 1 ，教师i评阅A题卷
max z y ij x jjk
i 1 j 1 j 1 k 1
19
19
19
nj
现利用Lingo软件编程求解，程序如下：
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
sets: ShiJuan/@ole('d:\wqw\竞赛评卷.xls','ShiJuan')/; XueXiao/@ole('d:\wqw\竞赛评卷.xls','XueXiao')/: NShiJuan,NShiJuanA,NShiJuanB,TeachersAllocation,NTA,NTB; Teachers/@ole('d:\wqw\竞赛评卷.xls','XueXiao')/; Matrix1(XueXiao,ShiJuan):ShiJuanMatrix; Matrix2(Teachers,XueXiao,ShiJuan):AllocationMatrix; Matrix3(Teachers,XueXiao):T_XMatrix,NT_X_A,NT_X_B; endsets data: ShiJuanMatrix=@ole('d:\wqw\竞赛评卷.xls'); NShiJuan=@ole('d:\wqw\竞赛评卷.xls'); NShiJuanA=@ole('d:\wqw\竞赛评卷.xls'); NShiJuanB=@ole('d:\wqw\竞赛评卷.xls'); @ole('D:\wqw\竞赛评卷.xls','TeachersAllocation')=TeachersAllocation; @ole('D:\wqw\竞赛评卷.xls','AllocationMatrix')=AllocationMatrix; enddata
min 2 x jjk
j 1 k 1
19 19
19
nj
max 1 y ij
i 1 j 1
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
nj xijk y ij n j (i 1,2, ,19; j 1,2, ,19) k 1 nj xijk y ij (i 1,2, ,19; j 1,2, ,19) k 1 nj SJ jk xijk z i A j (i 1,2, ,19; j 1,2, ,19) k 1 nj s.t. (1 SJ jk ) xijk (1 z i ) B j (i 1,2, ,19; j 1,2, ,19) k 1 19 xijk 4 (k 1,2, , n j ; j 1,2,,19) i 1 19 n j 40 xijk 45 (i 1,2,19) j 1 k 1 z i 1 (i 1,4,6,12,16); z i 0 (i 2,5,7,10) xijk 0or1; y ij 0or1; z i 0or1
问题相关的假设： 1）除了要求去评定A题或B题的评委外，其他的评委无其 他特殊要求； 2）每个评委不可以对同一试卷评阅两次及以上。
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
3 问题的分析、建模及求解 3.1 问题分析及建模 本课题研究数学建模竞赛试卷如何在评卷教师间的分配问 题，分配过程中要求通过回避性原则和广泛性原则来体现分配 的公平性。 1）回避性原则：每名评委需尽可能回避本校答卷 为了实现回避性，我们以各个评委改到本校答卷的数量和为 第一评价（目标）函数，力求使得各个评委评到本校试卷的数 量和尽可能的小，即
序 号 0101 0111 0121 0201 0303 0407 0507 0606 0706 0805 选 题 A A A A A B A A A B 序 号 0102 0112 0122 0202 0304 0408 0508 0607 0707 0806 选 题 B B B B B A A B A B 序 号 0103 0113 0123 0203 0305 0409 0509 0608 0708 0807 选 题 B A B A A B B A B B 序 号 0104 0114 0124 0204 0306 0410 0510 0609 0709 0808 选 题 A B B B B A B A B B 序 号 0105 0115 0125 0205 0401 0501 0511 0610 0710 0809 选 题 A A B B A B A A A A 序 号 0106 0116 0126 0206 0402 0502 0601 0701 0711 0810 选 题 B B A B B A B B A A 序 号 0107 0117 0127 0207 0403 0503 0602 0702 0801 0811 选 题 B A A A A B A B A B 序 号 0108 0118 0128 0208 0404 0504 0603 0703 0802 0812 选 题 A A B A A A B A B B 序 号 0109 0119 0129 0301 0405 0505 0604 0704 0803 0813 选 题 B B B A A A A B B A 序 号 0110 0120 0130 0302 0406 0506 0605 0705 0804 0814 选 题 B B A B B A B A A A
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
0815 B 0816 B 0817 A 0818 B 0819 B 0820 B 0901 B 0902 A 0903 A 0904 B 0905 B 0906 A 0907 A 0908 A 0909 A 0910 B 1001 B 1002 A 1003 B 1004 A
上面就是我们评卷分配方案所要达到的目标。同时，在分配 时还需满足下列限制条件： 1）每个评委评判一个学校的试卷数不能超过该校的总卷 数，不评阅该校的老师的对该校的评卷数为0，即：
x
k 1
nj
ijk
yij n j (i 1,2, ,19; j 1,2, ,19)
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
min 2 x jjk
j 1 k 1
19
nj
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
2）广泛性原则：评委评阅的学校数尽可能多 为了实现广泛性，我们以所有评委评阅的学校个数之和为 第二评价（目标）函数，力求使得所有评委评阅的学校个数之 和尽可能的大，即
max 1 y ij
i 1 j 1 19 1j ：表示 j 校的试卷总数，j=1,2,…,19 Aj ：表示 j 校的A题的试卷数，j=1,2,…,19 Bj ：表示 j 校的B题的试卷数，j=1,2,…,19
0 , j校的k号卷为A题卷 , (k 1,2, , n j ; j 1,2,,19)； SJ jk 1 ，j校的k号卷为B题卷
1105
B
1106
B
1107
A
1108
A
1109
B
1110
B
1201
A
1202
B
1203
B
1204
B
1205
B
1206
A
1207
A
1208
B
1209
B
1210
A
1301
A
1302
A
1303
A
1304
A
1305
B
1306
B
1307
A
1308
B
1309
B
1310
B
1311
B
1312
A
1313
A
1314
B
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
5）每份试卷需经过四位不同的评委评阅，即：
x
i 1
19
ijk
4 (k 1,2, , n j ; j 1,2, ,19)
nj
6）每个老师评阅的试卷数在40到45之间，即：
40 xijk 45 (i 1,2, 19)
j 1 k 1
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
1 问题描述 随着数学建模竞赛的不断深入，参与数学建模竞赛的学生越 来越多，而竞赛评卷的公平性日益引起大家的关注，成为一个 重要的竞赛中的焦点问题。现有一赛区19所学校205个参赛队 参加全国甲组（本科组）全国大学生数学建模竞赛，数据如下 表(其中：数字前两位代表学校，后两位数字代表试卷编号)：
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
3.2 问题的求解 由于上面建立的广义指派0-1规划模型含有两个目标函数，因 此本模型是一个多目标规划问题，这里通过加权的方法将此双 目标规划转化成单目标规划问题来求解。考虑到评阅试卷的回 避性与评阅试卷的广泛性同样重要，因此将两个目标函数的权 系数均取值为1/2，这样化成的单目标函数为：