(名师整理)最新中考数学专题复习《利用不等式(组)进行方案设计》精品教案

中考数学人教版专题复习：利用不等式（组）进行方案设计
考纲要求考向预测分值1. 能够利用不等式组的解集，找出
符合题意的整数解并能设计出不同的方案；
2. 具备识图、读图能力，能够正确利用图表、图象找出相关的条件，充分应用一次函数的性质求出最优化方案。

本类问题主要利用不等式结合一
次函数的性质，通过函数的增减
性讨论最优化方案，通常是多步
问题综合，难度较大，要学会分
析并要训练出综合能力。

8~10分
利用不等式（组）进行方案设计时，往往要根据题意求出不等式组的特殊解，如未知数的值只能取正整数。

做题时要善于挖掘这些隐含条件，以确定最佳方案，获取最大收益。

考查对数学的应用能力。

一般步骤：
1. 审：本类习题通常文字较多，有很多习题还具有表格或图形，要能够正确分析和理解题意，当条件较多时，要能够学会从中剥离出每一个小问题所需要用到的条件，而不是一定要记住每一个条件，要做到用到哪个条件找哪个条件。

2. 设：正确地设未知数，找出不等关系，但也有一部分题目中没有明显的不等关系，这就要求同学们能够正确分析并多角度考虑问题，不要漏写不等式，否则容易求错取值范围。

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3. 列：正确列出符合题意的不等式或不等式组，掌握正确的不等式组的解法，特别注意不等号连写到一起的不等式组，能够正确解出未知数取值范围是关键。

4. 解：从不等式（组）的解集中寻求正确的符合题意的答案通常实际问题中都是求符合题意的正整数解。

从而进行方案的设计与选择。

【注意事项】
①综合性问题中往往涉及列一次函数关系式，要正确列出关系式并正确书写自变量的取值范围。

②设计出方案后，很多题目还要求进行方案的最优化选择，解题时要注意利用函数的性质也就是一次函数的增减性进行最优化方案的选择。

示例：某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车。

上周售出1辆A型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元。

（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元。

（2）甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元。

则有哪几种购车方案？
思路分析：（1）设每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元。

则等量关系为：1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元，2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；
（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6－a）辆，则根据“购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元”得到不等式组。

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答案：解：（1）设每辆A 型车和B 型车的售价分别是x 万元、y 万元。

则⎩⎨⎧=+=+62
2963y x y x ，解得x ＝18，y ＝26。

答：每辆A 型车的售价为18万元，每辆B 型车的售价为26万元；
（2）设购买A 型车a 辆，则购买B 型车（6－a ）辆，则依题意得：
18a ＋26（6−a ）≥130，18a ＋26（6−a ）≤140，解得 2≤a≤314。

∵a 是正整数，∴a ＝2或a ＝3。

∴共有两种方案：
方案一：购买2辆A 型车和4辆B 型车；
方案二：购买3辆A 型车和3辆B 型车。

典例精析
例题1 在开展“美丽广西，清洁乡村”的活动中，某乡镇计划购买A 、B 两种树苗共100棵，已知A 种树苗每棵30元，B 种树苗每棵90元。

（1）设购买A 种树苗x 棵，购买A 、B 两种树苗的总费用为y 元，请你写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；
（2）如果购买A 、B 两种树苗的总费用不超过7560元，且B 种树苗的棵数不少于A 种树苗棵数的3倍，那么有哪几种购买树苗的方案？
（3）从节约开支的角度考虑，你认为采用哪种方案更合算？
思路分析：（1）设购买A 种树苗x 棵，购买A 、B 两种树苗的总费用为y 元，根据某乡镇计划购买A 、B 两种树苗共100棵，已知A 种树苗每棵30元，B 种树苗每棵90元可列出函数关系式。

（2）根据购买A 、B 两种树苗的总费用不超过7560元，且B 种树苗的棵数不少于A 种树苗棵数的3倍，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（3）根据（1）得出的y 与x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案。

答案：解：（1）设购买A 种树苗x 棵，购买A 、B 两种树苗的总费用为y 元，
y ＝30x ＋90（100－x ）＝9000－60x ；
（2）设购买A种树苗x棵，则B种树苗（100－x）棵，根据题意得：9000−60x≤7560，100−x≥3x，解得：24≤x≤25，因为x是正整数，所以x只能取25、24。

有两种购买树苗的方案：
方案一：购买A种树苗25棵时，B种树苗75棵；
方案二：购买A种树苗24棵时，B种树苗76棵；
（3）∵y＝9000－60x，－60＜0，∴y随x的增大而减小，又x＝25或24，
∴采用购买A种树苗25棵，B种树苗75棵时更合算。

技巧点拨：本题考查的是一元一次不等式组及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系。

例题2 某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A B
进价（元/件）1200 1000
售价（元/件）1380 1200
（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；
（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品。

购进B种商品的件数不变，而购进A
种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售。

若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？
思路分析：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解。

（2）由（1）得A商品购进数量，再求出B商品的售价。

答案：解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，
根据题意得：1200x＋1000y＝360000，（1380−1200）x＋（1200−1000）y＝60000，
化简得：6x＋5y＝1800，9x＋10y＝3000，
解得：x＝200，y＝120。

答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件。

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（2）由于第二次A商品购进400件，获利为（1380－1200）×400＝72000（元）
从而B商品售完获利应不少于81600－72000＝9600（元）
设B商品每件售价为z元，则120（z－1000）≥9600，解之得z≥1080
所以B种商品最低售价为每件1080元。

技巧点拨：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解。

准确地解不等式组是需要掌握的基本能力。

例题3 湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排15辆汽车装运A、B、C三种不同品质的椪柑120吨到外地销售，按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆都不少于3辆。

（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑的车辆数为y辆，根据下表提供的信息，求出y与x之间的函数关系式；
椪柑品种 A B C
每辆汽车运载量
10 8 6
（吨）
每吨椪柑获利（元）800 1200 1000
（2）在（1）条件下，求出该函数自变量x的取值范围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案；
（3）为了减少椪柑积压，湘西州制定出台了促进椪柑销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销客户，按每吨50元的标准实行运费补贴。

若要使该外地运销客户所获利润W（元）最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润W（元）的最大值？
思路分析：（1）等量关系为：车辆数之和＝15，由此可得出x与y的关系式；
（2）关系式为：装运每种脐橙的车辆数≥3；
（3）总利润为：装运A种椪柑的车辆数×10×800＋装运B种椪柑的车辆数×8×1200＋装运C种椪柑的车辆数×6×1000＋运费补贴，然后按x的取值来判定。

答案：解：（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，
则装C种椪柑的车辆是（15－x－y）辆。

则10x＋8y＋6（15－x－y）＝120，
即10x＋8y＋90－6x－6y＝120，则y＝15－2x；
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（2）根据题意得：x≥3，15−2x≥3，15−x−（15−2x）≥3，解得：3≤x≤6。

则有四种方案：A、B、C三种的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆；或4辆、7辆、4辆；或5辆、5辆、5辆；或6辆、3辆、6辆；
（3）W＝10×800x＋8×1200（15－2x）＋6×1000[15－x－（15－2x）]＋120×50＝－5200x ＋150000，
根据一次函数的性质，当x＝3时，W有最大值，是－5200×3＋150000＝134400（元）。

应采用A、B、C三种的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆。

技巧点拨：本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装载的几种方案是解决本题的关键。

提分宝典
解方案设计类问题中常见问题
文字阅读问题主要是分析不清题里的前后关系，特别是文字一多，很多同学就乱了，出现各数数据混乱使用，不能与生活常识相联系，特别是经济活动中出现的成本、售价、利润问题，不能落实到答卷上:
不等式的问题（1）忽略题中的
关键词语、条件，
对题意的理解有
偏:
如：2011年考题中第二问中“若该小区预计投资金
额超过10万元而不超过11万元，则共有几种建造
方案？”有非常多的同学将超过列成了大于等于而
不是大于。

（2）不等式组解
出解非整数的问
题
可能有很多同学对方案的最主要印象就是整数解，
因此在解不等式的时候，自然而然地将不等式的解
取成了整数，如：不等组的解集：30≤m＜
3
100
，
很多同学将值取成了30≤m＜33，产生错误。

（3）解完不等式
取整数解的问题
不强调未知数的正整数特点，而直接产生方案的问
题。

设计方案问题主要是求出不等式的解集后，不认真分析方案，从而产生如2010年“20≤y≤25”有几种方案？很多同学会认为是五种这样的问题。

一次函数的问题主要集中在最后利用K的正负讨论函数增减性的问题上，一是不强调
K的正负与增减性关系，二是不清楚性质而取不出正确值。

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同步测试
1. 为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，我区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大。

在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种。

科学研究表明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄），可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益。

现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄（垄数为正整数），它们的占地面积、产量、利润分别如下：
占地面积（m2/垄）产量（千克/垄）利润（元/千克）
西红
30 160 1.1
柿
7
草莓15 50 1.6
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2. 为响应国家“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的号召，我市某村计划建造A、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题。

两种型号沼气池的占地面积、使用农户数见下表：
型号
占地面积
（单位：m2/个）
使用农户数（单位：户/个）
A 15 18
B 20 30
户。

共有（）种满足条件的方案。

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3. 某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个。

已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。

符合题意的组建方案有（）种。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 我市为创建全国卫生城市，有关部门计划购买甲、乙两种名贵树苗，栽种在入城大道的两侧，已知买甲种树苗、乙种树苗各1棵共需220元；买甲种树苗3棵，乙种树苗1棵共需420元，资料提示：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%。

市相关部门研究决定：购买甲、乙两种树苗共800棵，购买树苗的钱数不得超过86500元，且这批树苗的成活率不低于92%，共有（）种购买方案。

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
5. 在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元。

根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，则方案费用最低。

6. 某地区为筹备30周年庆，利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆，且搭配一个A种造型
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的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是300元，则符合题意的搭配方案中成本最低方案的成本是。

7. 某中学为了奖励平时工作认真、业绩突出的教师，今年“五•一”小长假期间，将组织50名教师分散到A、B、C三个景点游玩。

三个景点的门票费如下表：
景点 A B C
门票单价（元）30 55 75
学校欲购买的A种票张数为x，C种票张数为y。

（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）设购买门票总费用为W（元），求出W与x之间的函数关系式；
（3）若每种票至少购买一张，且A种票不少于10张，则共有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A、B、C三种票的张数。

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试题答案
1. B 解析：根据题意，列不等式组得：15x＋30（24−x）≤540，10≤x≤14，
解得：12≤x≤14，∴整数x为12、13、14，所以草莓可以共种植12、13、14垄三种方案。

分别为：①草莓12垄，西红柿12垄；
②草莓13垄，西红柿11垄；
③草莓14垄，西红柿10垄。

故选B。

2. A 解析：设该村计划修建A种沼气池x个，则修建B种沼气池（20－x）个，
由题意，得15x＋20（20−x）≤365，18x＋30（20−x）≥492，解得：x≥7，x≤9，∴7≤x≤9。

∵x为整数，∴x＝7，8，9。

∴有3种修建方案：
方案1：修A种沼气池7个，B种沼气池13个，
方案2：修A种沼气池8个，B种沼气池12个，
方案3：修A种沼气池9个，B种沼气池11个。

答案为A。

3. C 解析：设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30－x）个。

由题意，得80x＋30（30−x）≤1900，50x＋60（30−x）≤1620，化简得50x≤1000，10x≥180，
解这个不等式组，得18≤x≤20。

由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20。

当x＝18时，30－x＝12；当x＝19时，30－x＝11；当x＝20时，30－x＝10。

故有三种组建方案：
方案1：中型图书角18个，小型图书角12个；
方案2；中型图书角19个，小型图书角11个；
方案3：中型图书角20个，小型图书角10个。

答案选择C。

4. B 解析：设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵需y元，根据题意得：
x＋y＝220，3x＋y＝420，解得：x＝100，y＝120。

设购买甲树苗a棵，乙树苗（800－a）棵，根据题意得：
90%a＋（800−a）×95%≥800×92%，100a＋120（800−a）≤86500，解得：475≤a≤480，
方案1：甲种475棵时，乙种325棵；方案2：甲种476棵时，乙种324棵；
方案3：甲种477棵时，乙种323棵；方案4：甲种478棵时，乙种322棵；
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方案5：甲种479棵时，乙种321棵；方案6：甲种480棵时，乙种320棵。

答案选择B。

5. 购进电脑17台，购进电子白板13台
解析：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：x＋2y＝3.5，2x＋y＝2.5，
解得：x＝0.5，y＝1.5。

设需购进电脑a台，则购进电子白板（30－a）台，根据题意得：
0.5a＋1.5（30−a）≤30，0.5a＋1.5（30−a）≥28，解得：15≤a≤17，
∵a只能取整数，∴a＝15，16，17。

∴有三种购买方案：
方案1：需购进电脑15台，则购进电子白板15台，
方案2：需购进电脑16台，则购进电子白板14台，
方案3：需购进电脑17台，则购进电子白板13台。

方案1：15×0.5＋1.5×15＝30（万元），
方案2：16×0.5＋1.5×14＝29（万元），
方案3：17×0.5＋1.5×13＝28（万元）。

∵28＜29＜30，∴选择方案3最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台时最省钱。

6. 11700 解析：设搭配A种造型x个，则B种造型为（50－x）个，依题意得
80x＋50（50−x）≤3490，40x＋90（50−x）≤2950，
解这个不等式组得：31≤x≤33，
∵x是整数，∴x可取31，32，33。

∴可设计三种搭配方案：
方案1：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个，
方案2：A种园艺造型32个，B种园艺造型18个，
方案3：A种园艺造型33个，B种园艺造型17个。

由于B种造型的造价成本高于A种造型成本，
所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案3，成本最低，最低成本为
33×200＋17×300＝11700（元）。

故答案为11700。

7. 解：（1）∵欲购买的50张票中，B种票张数是A种票张数的3倍还多1张，
设需购A种票张数为x，C种票张数为y，
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∴x＋3x＋1＋y＝50，整理得出：y＝－4x＋49；
（2）根据三种门票的单价为：A种30元，B种55元，C种75元，
∴W＝50x＋55（3x＋1）＋75（－4x＋49）＝－105x＋3730；
（3）由题意得出：x≥10，3x＋1≥1，−4x＋49≥1，解得：10≤x≤12，故共有3种购票方案，即A种10张，B种31张，C种9张；
A种11张，B种34张，C种5张；
A种12张，B种37张，C种1张。

根据A种票价最低，即购买A种门票越多，费用越低，故购票费用最少时，购买A种票12张，B种票37张，C种票1张。

12。