2020年中考数学压轴题专题七《几何图形动点运动问题》

专题七几何图形动点运动问题
【考题研究】
几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，
通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量
关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关
系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维
能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成
的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区
分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在
各地的中考数学试卷中．
【解题攻略】
几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换（含三角形的
全等与相似）的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、
函数、数形结合、分类讨论等数学思想．
【解题类型及其思路】
动态几何特点 - 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般
与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的
特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直
角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想
和方法将几何问题转化为函数和方程问题, 利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的
性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

解题类型：
几何动点运动问题常见有两种常见类型：
（1）利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；
（2）根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为
函数和方程问题
【典例指引】
类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】
【典例指引1】在4ABC中，/ACB =45°,点D为射线BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AD ,以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF .
(1)如果AB=AC ,如图1,且点D在线段BC上运动，判断/ BAD/CAF (填'=” 或F,并证明：CFXBD
(2)如果A4AC ,且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，
此时(1)中的结论是否成立？请说明理由；
(3)设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P,若AC = 4j2, CD = 2,
求线段CP的长.
【举一反三】
如图1,点C在线段AB上，(点C不与A、B重合)，分别以AC、BC为边在AB同侧作等
边三角形ACD和等边三角形BCE ,连接AE、BD交于点P
(1)观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为;②/ APC的度数为
(2)数学思考：如图2,当点C在线段AB外时，(1)中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明
(3)拓展应用：如图3,分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,其中/ ACD = Z BCE=90° , CA=CD , CB = CE,连接AE = BD 交于点P,贝U 线段AE与BD的关系为
图1 图工图3
类型二【确定动点运动过程中的运动时间】
【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4). 牛
C-------------- |B
~ A x
(1)直接写出A点坐标(, ), C点坐标(, )；
(2)如图，D为OC中点.连接BD , AD ,如果在第二象限内有一点P m,1 ,且四边形OADP的面积是ABC面积的2倍，求满足条件的点P的坐标;
0I -A 艾
(3)如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从
点A出发.以每秒2个单位的速度沿线段AO运动，当N到达O点时，M , N同时停止运
动，运动时间是t秒t 0 ,在M , N运动过程中.当MN 5时，直接写出时间t的值.
AC、BD 相交于点O, AB，AC, AB =3, BC = 5,
点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D
运动.连结PO并延长交BC于
点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)求BQ的长，(用含t的代数式表示)
(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值
(3)当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t
的值.
类型三【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】
【典例指引3】已知矩形ABCD中，AB 10cm, BC 20cm,现有两只蚂蚁P和Q同
时分别从A、B出发，沿AB BC CD DA方向前进，蚂蚁P每秒走1cm,蚂蚁Q每秒走2cm.问：
A --------------------- \DA----------------------
B----- 5 ----- C B ----- 5 ----- C
"w
(1)蚂蚁出发后△ PBQ第一次是等腰三角形需要爬行几秒？
(2)P、Q两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ与边AB平行？
【举一反三】
如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点(AO AB)且AO、AB
的长分别是一元二次方程x23x 2 0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB: AC=1:2.
(1)求A、C两点的坐标；
(2)若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM ,设4ABM
的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围;
(3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四
边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】
【典例指引4】如图，抛物线y=ax2- 3x+c与x轴相交于点A ( - 2, 0)、B (4, 0),与
4
y轴相交于点C,连接AC, BC,以线段BC为直径作。

M,过点C作直线CE//AB,与抛物线和。

M分别交于点D, E,点P在BC下方的抛物线上运动.
c
(i)求该抛物线的解析式；
(2)当4PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值.
【举一反三】
已知：如图.在4ABC中.AB=AC=5cm, BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度
为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动速度为1cm/s,过点P作PM BC
交AB于点M ,过点Q作QN BC,垂足为点N ,连接MQ ,若设运动时间为t(s)(0<t<3),
解答下列问题:
(1)当t 为何值时，点 M 是边AB 中点？
(2)设四边形PNQM 的面积为y(cm 2
),求出y 与t 之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻 t,使S 四边形PNQM :S^ABC=4:9?若存在，求出此时t 的值；若 不存在，说明理由； (4)是否存在某一时刻t,使四边形PNQM 为正方形？若存在，求出此时t 的值；若不存在, 请说明理由.
【新题训练】
1 .如图①， 那BC 是等边三角形，点 P 是BC 上一动点(点P 与点B 、C 不重合)，过点P
如图②，作 ND // BC 交AB 于D,则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加
条或几条线段，使图③成轴对称图形(画出一种情形即可)
2 .如图，在矩形 ABCD 中，AB=18 , AD=12，点M 是边AB 的中点，连结 DM , DM 与
AC 交于点G,点E, F 分别是CD 与DG 上的点，连结 EF ,
(3) 作 PM // AC 交 AB 于 M , PN // AB 交 AC 于 N,连接 BN 、CM .
在点P 的位置变化过程中, BN = CM 是否成立？试证明你的结论; (2)
(1)求证：CG=2AG.
(2)若DE=6,当以E, F, D为顶点的三角形与ACDG相似时，求EF的长.
⑶若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1 个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动 .在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.
3.知识链接：将两个含30。

角的全等三角尺放在一起，让两个30。

角合在一起成60。

，经过拼凑、观察、思考，探究出结论直角三角形中，30。

角所对的直角边等于斜边的一半
如图，等边三角形ABC的边长为4cm,点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P,设运动时间为x秒.
(1)请直接写出AD长.(用x的代数式表示)
(2)当那DE为直角三角形时，运动时间为几秒？
(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点.
A B T F A B F F
图1 图2
4.如图所示，已知抛物线y ax2 (a 0)与一次函数V kx b的图象相交于A( 1, 1),
B(2, 4)两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点.
(1)请求出a , k, b的值；
(2)当点p在直线AB上方时，过点P作y轴的平行线交直线AB于点C ,设点P的横坐
标为m , PC的长度为L ,求出L关于m的解析式；
(3)在(2)的基础上，设PAB面积为S ,求出S关于m的解析式，并求出当m取何值
时，S 取最大值，最大值是多少?
5 .已知：如图，在矩形 ABCD 中，AC 是对角线，AB=6cm, BC=8cm.点P 从点D 出发， 沿DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s,同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度
为2cm/s,过点Q 作QM//AB 交AC 于点M,连接PM,设运动时间为t (s) (0vtv4).解 答下列问题：
6 .在等边三角形 ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、AC (含线段AB 、AC 的端点)上的动点，且/ EDF = 120°,小明和小慧对这个图形展开如下研究：
问题初探：(1)如图1,小明发现：当/ DEB = 90°时，BE+CF=nAB,则n 的值为
问题再探：(2)如图2,在点E 、F 的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：
①DE 始终等于DF ；②BE 与CF 的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明.
成果运用：(3)若边长AB=8,在点E 、F 的运动过程中，记四边形
DEAF 的周长为L, L =
DE + EA+AF+FD,则周长L 取最大值和最小值时 E 点的位置？ 7 .如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8cm, BC=16cm,点P 从点D 出发向点A 运动，运动到
(2)是否存在某一时刻 ,/ - 15-
t,使S 四边形MQCP = S 矩形ABCD ?右存在，求出t 的值；右不存在, 32 请说明理由; (3)当t 为何值时，点 P 在/ CAD 的角平分线上
.
(1)当t 为何值时，/ CPM = 90°;
点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts.
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形;
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形;
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.
c
8 2 ->
9.如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点(点M与点C、O、
A 都不重合)，过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F,连接OE, OF.
(1)①依据题意补全图形；
②猜想OE与OF的数量关系为.
(2)小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，(1)中的猜想始终成立.
小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明( 1)中猜想的几种想法：
想法1:由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与4AE全等的三角形，从而得到相
等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；
想法2:由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的
一组4OAB和^EAB,再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以
OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想.
请你参考上面的想法，帮助小东证明( 1)中的猜想(一种方法即可).
(3)当/ADC=120时，请直接写出线段CF,AE,EF之间的数量关系是
10(1)(问题情境)小明遇到这样一个问题：
如图①，已知ABC是等边三角形，点D为BC边上中点，ADE 60, DE交等边三
角形外角平分线CE所在的直线于点E,试探究AD与DE的数量关系.
小明发现：过D 作DF //AC ，交AB 于F ,构造全等三角形，经推理论证问题得到解决. 请 直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由.
（2）（类比探究）
如图②，当D 是线段BC 上（除B,C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的 数量关系并证明你的结论.
（3）（拓展应用）
当D 是线段BC 上延长线上，且满足 CD BC （其他条件不变）时，请判断 ADE 的形
状，并说明理由.
11 .如图，直线 y= - — x+4与x 轴交于点C,与y 轴交于点B,抛物线y=ax 2+^x+c 经过
B 、
C 两点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当 ABEC 面积最大时，请求出点 E 的 坐标;
（3）在（2）的结论下，过点 E 作y 轴的平行线交直线 BC 于点M ,连接AM ,点Q 是抛
物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点
P,使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由.
备用团
12 .如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线 BP,过A 、C 、D
D 图① 10 A
B
周② 备用图
B
C
三点分别作直线 BP 的垂线段，垂足分别是 E 、F 、G.
◎ ⑸ ©
(1)如图(a)所示，当CP=3时，求线段EG 的长；
(2)如图(b)所示，当/ PBC=30。

时，四边形 ABCF 的面积；
(3)如图(c)所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形 AECG 的面积S 是否存在最大 值？如果存在，请求出/ PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说 明理由. 13 .已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD , ACB 90 , AB 10cm, BC 8cm, OD 垂直平分AC .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点Q
从 点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运
动.过点P 作PE AB ,交BC 于点E ,过点。

作QF //AC ,分别交AD , OD 于点F , G .
(1)当t 为何值时，点E 在 BAC 的平分线上？
2
(2)设四边形PEGO 的面积为S cm ,求S 与t 的函数关系式
⑶连接OE , OQ ,在运动过程中，是否存在某一时刻
t,使OE OQ ?若存在，求出t 的
值；若不存在，请说明理由. 14 .已知：如图1,矩形OABC 的两个顶点A, C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是(8, 2),点P 是边BC 上的一个动点，连接 AP,以AP 为一边朝点B 方向作正方形 PADE,连接
OP 并延长与 DE 交于点 M,设CP=a (a>0).
(1)请用含a 的代数式表示点 P, E 的坐标.
连接OP, EG .设运动时间为t s 0 t 5 ,解答下列问题
:
D A D A n
(2)连接OE,并把OE绕点E逆时针方向旋转90。

得EF.如图2,若点F恰好落在x轴的
正半轴上，求a与EM-的值.
DM
(3)①如图1,当点M为DE的中点时，求a的值.
②在①的前提下，并且当a>4时，OP的延长线上存在点Q,使得EQ+Y2PQ有最小值，
2
请直接写出EQ+工2 PQ的最小值.
2
15.如图，边长为6的正方形ABCD中，E,F分别是AD,AB上的点，AP BE, P为垂足.
(1)如图①，AF=BF, AE=2J3,点T是射线PF上的一个动点，则当"BT为直角三角形时，求AT的长；
(2)如图②，若AE AF ,连接CP,求证：CP FP .
16.边长相等的两个正方形ABCO、ADEF如图摆放，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，ED交线段OC于点G, ED的延长线交线段BC于点P,连AG ,已知OA长为J3 .
(1)求证：AOG ADG ;
(2)若1 2 , AG=2 ,求点G的坐标；
(3)在(2)条件下，在直线 PE 上找点M,使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形, 求出点M 的坐标.
17 .定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做
梦想四边形"。

如矩形、等腰梯形都是 梦想四
AD//BE, BC CE ,
ABC 1050。

请判断四边形 ABCD 是否为 梦想四边形”，并说明理由;
(2)如图2,直线y Y3x 6与*轴、y 轴分别交于 A B 两点。

点P 、Q 分别是线段
3
A 出发以每秒2个单位长度的速度向点
B 运动，P 、Q 两点同时出发，设运动时间为 t 秒。

当四边形BOPQ 为梦想四边形”时，求t 的值；
(3)如图3,抛物线y ax 2 bx c 与x 轴交于A B 两点，与y 轴交于点C ,直线y x 与 抛物线交于点
D , AC 、BD 的延长线相交于点
E 。

四边形ABDC 为梦想四边形”，且满 足：① OC 2 ;② ACD BDC ;③ OD 2 OBgOC ;④ BD 2DE 。

一- 2
，升 1263 点P X O , y 0是抛物线y ax bx c 上的一点，t y x O,右t m ----------------- 值成立，求m
1010 的最小值。

18 .综合与实践探究几何元素之间的关系
问题情境：四边形ABCD 中，点。

是对角线AC 的中点，点E 是直线AC 上的一个动点(点
OA AB 上的动点，点 P 从点O 出发以每秒33个单位长度的速度向点 A 运动，点Q 从点
A 1350, 边形 (1)如图1,在四边形ABCD 中，E 是CD 边上的一点,
E与点C, O, A都不重合)，过点A, C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F, G,连接
OF, OG.
(1)初步探究：
如图1,已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证AF BG；
(2)深入思考：请从下面A, B两题中任选一题彳^答，我选择题.
A.探究图1中OF与OG的数量关系并说明理由;
B.如图2,已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究
OF与OG的数量关系并说明理由；
(3)拓展延伸：请从下面AB两题中任选一题作答，我选择题.
如图3,已知四边形ABCD为矩形，且AB 4 , BAC 60 .
A.点E在直线AC上运动的过程中，若BF BG ,则FG的长为.
B.点E在直线AC上运动的过程中，若OF // BC ,则FG的长为.
19.如图，在ABC中，C 90 , BC 2, AC 4,点P是线段CB上任意一点，
过点P作PE / /AB交AC于点E ,过点E作EF / /BC交AB于点F ,过点F作FG // AC 交BC于点G .设线段CP的长为x 0 x 2
(1)用含x的代数式表示线段PG的长.
(2)当四边形PEFB为菱形时，求x的值.
(3)设CEP与矩形CEFG重叠部分图形的面积为y,求y与x之间的函数关系式.
(4)连结PF、EG ,当PF与EG垂直或平行时，直接写出x的值.
【典例指引】
类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】
【典例指引1】在4ABC中，/ACB =45°,点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD ,以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF .
（1）如果AB=AC ,如图1,且点D在线段BC上运动，判断/ BAD/CAF （填'=” 或F,并证明：CFXBD
（2）如果A4AC ,且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P,若AC = 4j2, CD = 2, 求线段CP的长.
图2
【答案】（1）=,见解析；（2） AB^AC时，CFXBD的结论成立，见解析；（3）线段CP
的长为1或3
【解析】
【分析】
(1)证出/ BAC = / DAF =90°,得出/BAD = / CAF ；可证△ DAB FAC (SAS),得ZACF = /ABD =45°,得出 / BCF= / ACB+ / ACF =90°.即CFXBD .
(2)过点A 作AG LAC 交BC 于点G,可得出AC = AG ,易证△GAD^^CAF (SAS), 得出/ ACF = / AGD =45°, / BCF = / ACB+ / ACF = 90°.即CFXBD .
(3)分两种情况去解答. ①点D在线段BC上运动，求出AQ=CQ = 4.即DQ = 4-2=2, 易证
△AQDs^DCP,得出对应边成比例，即可得出CP=1;②点D在线段BC延长线上
运动时，同理得出CP=3.
【详解】
(1)①解：/BAD = /CAF,理由如下：
•••四边形ADEF是正方形
/ DAF = 90°, AD = AF
,. AB=AC, /BAC = 90°
••• / BAD+ / DAC = / CAF+ / DAC = 90°
/ BAD = / CAF
故答案为：=
AB AC
②在△ BAD 和△ CAF 中, BAD CAF
AD AF
BAD^A CAF (SAS)
.•.CF= BD
. B= / ACF
. B+/ BCA =90°
•./ BCA+ / ACF =90°
•./ BCF = 90°
•••CFXBD
(2)如图2所示：AB^AC时，CFXBD的结论成立.
:
理由如下
过点A作GA ±AC交BC于点G
GAD^A CAF (SAS),
・ ./ ACF = / AGD =45°,
/ BCF = / ACB+ / ACF = 90°
・ ••CFXBD .
(3)过点A 作AQ ，BC 交CB 的延长线于点 Q ,
①点D 在线段BC 上运动时，如图3所示：
・ . / BCA = 45°
・ •.△ ACQ 是等腰直角三角形
・ .AQ = CQ=匹 AC = 4
DQ = CQ - CD = 4- 2 = 2
・ . AQ ±BC, /ADE = 90°
・ •• / DAQ+ / ADQ = / ADQ+ / PDC = 90°
/ DAQ = / PDC
・ . / AQD = / DCP=90°
・ .△ DCP^A AQD
.CP CD 口口 CP 2
… = ,即 =—
则 / GAD = / CAF = 90 + / CAD
・. / ACB =45°
・ ./ AGD =45°
.•.AC =AG
AG AC
在△ GAD 和△ CAF 中，
GAD CAF , AD AF
DQ AQ 2 4
解得：CP=1
②点D在线段BC延长线上运动时，如图4所示:
・. / BCA = 45°
・•.AQ = CQ = 4
，DQ = AQ+CD =4+2 = 6
・. AQ ±BC 于Q
Q= / FAD = 90°
•./C' AF= Z C CD=90°, /AC F= / CC D
/ ADQ = / AFC
则△AQD S MC F
•••CFXBD
AQD^A DCP
CP CD 日0 CP 2
DQ AQ 6 4
解得：CP=3
综上所述，线段CP的长为1或3.
【名师点睛】
此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判
定与性质以及直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解
题的关键.
【举一反三】
如图1,点C在线段AB上，(点C不与A、B重合)，分别以AC、BC为边在AB同侧作等
边三角形ACD和等边三角形BCE ,连接AE、BD交于点P
(1)观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为;②/ APC的度数为
(2)数学思考：如图2,当点C在线段AB外时，(1)中的结论①，②是否仍然成立？若
成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明
(3)拓展应用：如图3,分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直
角三角形BCE,其中/ ACD = Z BCE=90° , CA=CD , CB = CE,连接AE = BD 交于点P,贝U 线段AE与BD的关系为
【答案】(1) AE=BD . /APC=60 ；(2)成立，见详解；(3) AE=BD
【解析】
【分析】
(1)观察猜想：①证明△ACE^^DCB (SAS),可得AE=BD , / CAE= / BDC ;
②过点C向AE, BD作垂线，由三角形全等可得高相等，再根据角分线判定定理，推出PC 平分/APB,即可求出/APC的度数；
(2)数学思考：结论成立，证明方法类似；
(3)拓展应用：证明△ACE^^DCB (SAS),即可得AE=BD.
【详解】
解：(1)观察猜想：结论：AE=BD . Z APC=60 .
理由：①.「△ADC, ^ECB都是等边三角形，
.•.CA=CD , /ACD=/ECB=60 , CE=CB , / ACE= / DCB ,
ACE^ADCB (SAS), .•.AE=BD ;
.•.PH=PI
②由①得/EAC= / BDC,
• . / AOC= / DOP,
• ./APB= / AOC+ /EAC=180 -60 = 120 °.
过过点C 向AE , BD 作垂线交于点F 与G
• ••由①知△ACE^A DCB
• .CF=CG
• •.CP 为/APB 的角平分线
• •• Z APC= 1
APB 60。

； 2
(2)数学思考：结论仍然成立.
①••• △ ADC , △ ECB 都是等边三角形， .•.CA=CD , /ACD=/ECB=60 , CE=CB , / ACE= / DCB
ACE^A DCB (SAS),
.•.AE=BD ；
②由①得/AEC= / DBC,
• •• / CEA+ / PEB=Z CBD+ / PEB=60 , ・ ./APB=/CBD+ /CBE+/PEB=120 .
过过点P 向AC , BC 作垂线交于点 H 与I
•••由①知△ACE^A DCB
••.CP 为/APB 的角平分线
，/APC=1 APB 60。

； 2
(3) ■「△ADC, ^ECB 都是等腰直角三角形，
，
CA=CD , /ACD=/ECB=90 , CE=CB ,
・ ./ ACB+ / BCE= ZACB+ ZACD
/ ACE= / DCB
ACE^A DCB (SAS),
.•.AE=BD.
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题.
类型二【确定动点运动过程中的运动时间】
【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).
Xi
C-------------- |B
~ A工
(1)直接写出A点坐标(, ), C点坐标(, )；
(2)如图，D为OC中点.连接BD , AD ,如果在第二象限内有一点P m,1 ,且四边形OADP的面积是ABC面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；
o\ ~
(3)如图，动点 M 从点C 出发，以每钞1个单位的速度沿线段 CB 运动，同时动点 N 从 点A 出发.以每秒2个单位的速度沿线段 AO 运动，当N 到达O 点时，M , N 同时停止运 动，运动时间是t 秒t 0 ,在M , N 运动过程中.当MN 5时，直接写出时间t 的值. 【解析】
【分析】 (1)根据矩形的性质和直角坐标系中点的确定，即可求出 A 点坐标和C 点坐标；
(2)根据四边形 OADP 的面积是 ABC 面积的2倍，列出关于 m 的方程，解方程即可求 出点P 的坐标；
(3)由题意表示出 ON=6—2t, MC=t,过点M 作ON 得垂线ME 交OA 于点E, 根据勾股定理列出关于 t 的方程，求解即可
(3)
【详解】
(1) •长方形OABC的项点B的坐标是(6,4),
BC=6 , AB=4 ,
•.OA=6, OC=4,
••A (6,0) C (0,4)；
(2)连接PD, PO,过点P作PEXOD,交OD于点E,
••• BC=6 , AB=4 ;
c 1 ______ 1八…
••• Szx ABC = - AB BC = - 6 4=12 , 2 2 •••四边形OADP的面积是ABC面积的2倍,
，四边形OADP的面积是24,
S四边形OADP =Sz\ OAD-S AODP=
1_ _ 1 -
-OA OD+ —PE OD=24
22
••.D为OC中点，
•.OD=2;
••• P m,1是第二象限的点,
PE= 一m,
1 1 _ 一一
. .可列方程为 - 6 2+- 2 ( - m)=24 ；解得m= - 18,
2 2
・•. P 18,1
，ME=4, EN=6 —3t
又・•. MN 5,
2 c
，根据勾股定理可列万程为42+ 6- 3t =52,解方程得t=1或t=3
•.当t=1 或t=3时，MN 5.
【名师点睛】
本题考查了矩形的性质和直角坐标系中点的确定，勾股定理等，利用方程思想解决问题是解
题的关键
【举一反三】如图，？ABCD的对角线AC、BD相交于点O, AB ±AC , AB =3, BC = 5, 点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动.连结PO并延长交BC于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)求BQ的长，(用含t的代数式表示)
(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值
(3)当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值.
【答案】(1) BQ = 5-t； (2) 5 秒;(3) t=16.
2 5
【解析】
【分析】
(1)利用平行四边形的性质可证△APO^^CQO,则AP = CQ,再利用BQ BC CQ即可得出答案；
(2)由平行四边形性质可知AP// BQ,当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，建立一个关于t的方程，解方程即可求出t的值；
(3)在Rt^ABC中，由勾股定理求出AC的长度，进而求出AO的长度，然后利用VABC 的面积求出EF 的长度，进而求出OE的长度，而AE可以用含t的代数式表示出来，最后在RtVAOE中利用勾股定理即可求值.
【详解】
解：(1)二.四边形ABCD是平行四边形，
.•.OA = OC, AD // BC,
・./ PAO= / QCO,
/ AOP = / COQ ,
・•.△APOQCQO (ASA),
.-.AP=CQ = t,
・.BC = 5,
BQ = BC-CQ=5 - t;
(2).AP//BQ,
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t=5-t,
,5
2，
・♦・当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形；
2
(3) t= 16
5
••AC =,BC 2 AC 2 .52 32 4
••AO = CO= 1AC = 2,
2 . 1 — — 1 . —
Q S VABC ABgAC BCgEF
2 2
ABgAC BCgEF
••-3X4=5XEF,
••• EF 12
OE
.「OE 是AP 的垂直平分线,
••AE= 1AP = 2 由勾股定理得： 1 ，八 。

-t, /AEO = 90 , 2
AE 2+OE 2= AO 2,
1 2
6 2 (1t) (6) t 16 或 t
5 22
—(舍去)
5
、“ 16 •••当t 一秒时，点O 在线段AP 的垂直平分线上.
5 本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及动点问题, 及勾股定理是解题的关键.
掌握平行四边形的判定及性质， 以 类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】
如图,
. AB =3, BC=5,
【典例指引3】已知矩形ABCD中，AB 10cm, BC 20cm,现有两只蚂蚁P和Q同
时分别从A、B出发，沿AB BC CD DA方向前进，蚂蚁P每秒走1cm,蚂蚁Q每秒走
2cm.问:
(1)蚂蚁出发后△ PBQ第一次是等腰三角形需要爬行几秒？
(2) P、Q两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ与边AB平行？
【答案】(1)蚂蚁出发后4PBQ第一次是等腰三角形需要爬行！0秒；(2) P、Q两只蚂蚁
3
最快爬行20秒后，直线PQ // AB
【解析】
【分析】
(1)首先设蚂蚁出发后△ PBQ第一次是等腰三角形需要爬行t秒，可得方程：10-t=2t,解此方程即可求得答案；
(2)首先设P、Q两只蚂蚁最快爬行x秒后，直线PQ//AB,可得方程：x-10=50-2x,解此
方程即可求得答案.
【详解】
(1)设蚂蚁出发后4PBQ第一次是等腰三角形需要爬行t秒，
・•・四边形ABCD是长方形，
・./ B=90° ,
.•.BP=BQ,
・. AP=tcm,BQ=2tcm,则PB=AB- AP=10-t(cm),
・•.10- t=2t,
解得：t= 130,
・•・蚂蚁出发后△ PBQ第一次是等腰三角形需要爬行竽秒;
(2)设P、Q两只蚂蚁最快爬行x秒后，直线PQ // AB,
•. AD // BC,
••・四边形ABPQ是平行四边形，
，AQ = BP, ・•・x-10=50-2 x,
解得：x=20,
P、Q两只蚂蚁最快爬行20秒后，直线PQ // AB ；
【名师点睛】
此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质. 此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方
程思想的应用.
【举一反三】
如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点(AO AB)且AO、AB 的长分别是一元二次方程x23x 2 0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB: AC=1:2.
(1)求A、C两点的坐标；
(2)若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM ,设4ABM 的面积为S,点M 的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四
边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
……，、S 2:3 t(0 t 2x3)，、…一一一
【答案】(1) A(1 , 0), C(-3, 0); (2) (3)存在，点Q的坐标
S t 2 V3(t> 2V3)
为(-1 , 0), (1, 2), (1,-2), (1, .
3
【解析】
【分析】
(1)根据方程求出AO、AB的长，再由AB : AC=1:2求出OC的长，即可得到答案；
(2)分点M在CB上时，点M在CB延长线上时，两种情况讨论S与t的函数关系式；
(3)分AQ=AB,BQ=BA,BQ=AQ 三种情况讨论可求点
【详解】
(1) x 2
3x 2 0, (x-1) (x-2) =0, • •X i =1, x 2=2, • .AO=1 , AB=2 , • •
A(1
, 0)
, OB
J AB 2
OA 2
J22
12
B
• .AB ： AC=1:2, • .AC=2AB=4 ,
• •.OC=AC-OA=4-1=3 , • •・C(-3, 0). (2) .OB V3,OC 3,
BC 2 OB 2 OC 2 ( . 3)2 32 12, . AC 2
42 16, AB 2
22 4, AC 2 AB 2 BC 2,
・•.△ABC 是直角三角形，且 /ABC=90 ,
由题意得：CM=t , BC= 2 v 3,
当点 M 在 CB 上时,S - 2(273 t) 2M t (0 2
②当点M 在CB 延长线上时， S 1
2(t 273) t
S
综上，
S
(3)存在，
①当AB 是菱形的边时，如图所示， 在菱形 AP 1Q 1B 中，Q 1O=AO=1 , Q 1(-1 , 0), 在菱形 ABP 2Q 2 中，AQ 2=AB=2 , Q 2(1 , 2), 在菱形 ABP 3Q 3 中，AQ 3=AB=2 ,
Q 3(1 , -2)；
②当AB 为菱形的对角线时，如图所示, 设菱形的边长为x,则在Rt^AP 4O 中,
Q 的坐标.
t 273),
2M (t> 2V3)
2.3 t(0 t 2.3) t 2 s/3(t> 2 而。