《大学物理》课后解答题 第五章静电场

第五章 真空中的静电场
一、思考讨论题
1、电场强度与电势有什么关系？试回答下列问题，并举例说明： （1）场强为零的地方，电势是否一定为零？ （2）电势高的地方，场强是否一定大？ （3）电势相等处，场强是否一定相等？
（4）已知某一点的电势，可否求出该点的场强？反之如何？ 解：
（1）不一定。

比如两同种点电荷连线中点，场强为零，电势不为零。

（2）不一定。

匀强电场，场强处处相等，而电势不等。

（3）不一定。

点电荷产生的电场线中，电势相等的地方场强方向不一样。

（4）都不可以求。

2、已知某一高斯面所包围的空间内
0=∑q ，能否说明穿过高斯面上每一部分的电通量都
是0？能否说明高斯面上的场强处处为0？
解：由高斯定理∑⎰=
⋅=q S d E S
1
εψ ，0=∑q 仅指通过高斯面的电通量为零，并非场
强一定在高斯面处处为零（高斯面外的电荷也在高斯面上各点产生场强）。

3、已知某高斯面上处处
E =0，可否肯定高斯面内0=∑q ，可否肯定高斯面处处无电
荷？
解：可以肯定。

高斯面上处处
E =0，0=⋅⎰S d E S
，由高斯定理必有0=∑q 。

4、如图1.1所示，真空中有A 、B 两均匀带电平板相互平行并靠近放置，间距为d （d 很小），面积均为S ，带电分别为+Q 和－Q 。

关于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律应有：
2
024d
Q f πε=
； 又有人说，根据f QE =，应有：S
Q f 02ε=。

他们说得对吗？你认为f 应等于多少？
解：（1）2
024d
Q f πε=
是错误的，因为库仑定律只适用于
点电荷，两个带电平板不能直接用库仑定律计算。

（2）S
Q f 02ε=
也错误。

因为用s
q
E 0ε=
计算的场强是两带电平板产生的合场强，而
Eq F =中的场强是一个带电板的电荷量乘以另一个所产生的场强，而不是合场强。

电荷与
图1.1
自身产生的场强作用力恒为零。

正确答案是：S
q q S q
Edq F 02
022εε=
⋅==⎰ 5、在无限大带电平面和无限长带电直线的电场中，确定各点电荷时，可否选无穷远处为0
势点？为什么？
解：不能。

因为如果选无穷远处为0势点，根据电势定义计算，积分都是发散的，场中各点的电势都是无限大，无意义。

6、无限大均匀带电平板的电荷面密度为σ，与板相距为a 处有一点电荷q ，欲求q 至平板垂线的中点P 处的电势p ϕ，有人用电势叠加法来求：
000p 42)22(2
4εσπεεσπεϕa
q a a q -
=⋅-
+⋅
=
请分析以上结果是否正确。

解：不正确。

二、课堂练习
1、一细玻璃棒被弯成如图1.2所示的形状，已知棒上的电荷线密度为λ，试求，半圆圆心
O 处的场强
E O 。

解：如图示，有：
3210E E E E ++=
显然，031=+E E ，y e E E 22= 故，y e E E 20=
R
d R R Rd E 00
02
02sin 4sin 41πελ
θθπελθθ
λπεπ
π
=
==⎰
⎰
2132102ϕϕϕϕϕϕ+=++=
2440
201ln x dx R
R
πελ
πελϕ==⎰
0244ελ
πεθλϕπ
==⎰
R Rd
所以，0
00422ελπελϕ+=ln
图1.2
2、如图1.3所示，无限大均匀带电平板，厚度为d ，电荷体密度为ρ，求板内外的场强分布。

解：方法1用高斯定理 2d x <
2ε∆ρ∆∆x S S E S E =+ x E 0
ερ
=
2d x >
ε∆ρ∆∆Sd S E S E =+ d E 0
2ερ=
取原点为0电势点，
已知板内场强分布为：x E 0
1ερ=
板外为：0
22ερd
E =
则有：200
121x xdx x ερερϕ-==
⎰ ⎪⎭⎫
⎝⎛<<-22
d x d x d
dx d x
0222ερερϕ-==⎰
)2(d x ≥
方法2利用叠加原理： 如图示，在x 处取厚度为
dx 的薄层平板，其电荷面密度 为dx ρσ=，该带电薄层在 其两侧产生的均匀电场 强度的大小为：
022ερεσdx dE ==
dE 的方向垂直薄层两侧版面向外。

板层中央：
022200
20=-=-=⎰⎰-d d dx
dx E E E ερερ右左
板内：（2
0d
x <
<）处 x dx dx E E E d x x
d 0
202022ερ
ερερ=-=-=⎰⎰-右左
方向沿x 正向。

同理可得板内（02<<-
x d ）处，x E 0
ερ
-=，方向与坐标轴正向相反。

板外任意点：02
2022ερερd
dx E d d ==
⎰-
方向垂直两侧版面向外。

3、如图1.4所示，两个均匀带电的同心球面，半径分别为R 1和R 2，带电量分别为q 1和q 2，分别求图示中Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ区内电场分布。

解：由高斯定理： Ⅰ，)(011R r E <= Ⅱ，)(41
212
1
02R r R r E <<=
επε
Ⅲ，)(4122
103R r r
E >+=
εεπε
由电势定义：
⎰
⎰==r
dq d 04πεϕϕ
可得： Ⅰ，)R r (R q R q 1202101144<+
=
πεπεϕ
Ⅱ，)R r R (R q r
q 212
02
01244<<+
=
πεπεϕ
Ⅲ，)R r (r
q q 202
134>+=
πεϕ
2
图1.4
4、在半径为R ，电荷密度为ρ的均匀带电球体中的挖去以'O 点为中心，'R （'R <R ）为半径的球形空腔，且O 与'O 相距为a （如图），求： （1）P 点的场强。

（2）空腔内任一点Q 的场强？=Q E
解：由电场叠加原理知，此球体的电场等于 带正电的球体和空腔且以体电荷密度相等的 负电荷充满的带电球体的电场的叠加。

在P 点，
（1）()r
203203a r 33⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-'-=ερερR r R P （2）()
a 3r -r 30
0ερ
ερ==-+Q E
5、如图2.6所示，电偶极子
p ql =，且电场中P 点距电偶极子r l >>。

求：
（1）O ϕ的P 点的电势ϕ；
（2）P 点的场强 E (用分量 E r 和
E θ表示)。

解：（1）取极坐标系，设P 离+q 和-q 的距离分别为+r 和-r ，P 点电势为点电荷q ±产生电势的叠加，
-
+
-+
=
r q
r q P 0044πεπεϕ
由于，l r >>, 所以，近似有：
θc o s
2l r r r r r ≈-≈⋅+--+
图1.5
图1.5
图2.6
所以，P 点电势：
3
02044r r cos ql P πεπεθϕ⋅=
=
（2）P 点场强：
30204cos 24cos r p r p r r V E r πεθ
πεθ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂-= 30204sin 4cos 11r
p r p r V r E πεθπεθθθθ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂-
= 所以，总场强的大小为： 1c o s 3423
022+=
+=θπεθr p E E E r。