山东省济宁市第二中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题
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山东省济宁市第二中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题
一、选择题(每题5分,共60分) 1、数列
{}n a 中,若12a =,123n n a a +=+,则10a =( )
A .29
B .2563
C .2569
D .2557 2、不等式
11
2
x <的解集是( )。
A . (),2-∞ B . ()2,+∞ C . ()0,2 D . ()(),02,-∞⋃+∞ 3、等差数列的前项和为,,且
,则
的公差
( )
A .1
B .2
C .3
D .4
4、设等差数列{}
n a 的前n 项和是
n
S ,公差d 不等于零.若
1
a ,
2
a ,
5
a 成等比数列,则
A .
10
a d >,30dS > B .1
a d
>,30dS < C .
10
a d <,30dS > D .10a d <,30
dS <
5、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共
灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A .281盏 B .9盏 C .6盏 D .3盏 6、已知等比数列{}
n a 的各项均为正数,前n 项和为
n
S ,若
2644
2,S 6a S a =-=,则5a =( )
A .4
B .10
C .16
D .32
7、两个等差数列
{}n a 和{}n b 其前n 项和分别S 为n S ,n
T
,且
72
3
n n S n T n +=+,则220
715a a b b ++=( )
A .14924
B .94
C .37
8 D .7914
8、若数列{}n a 满足:()*1119,3n n a a a n +==-∈N ,而数列{}n a 的前n 项和最大时n 的值
为( )
A .6
B .7
C .8
D .9
9、若,,a b c ∈R ,且a b >,则下列不等式一定成立的是( ) A. a c b c +≥- B. 2
()0a b c -≥ C. ac bc >
D.
b b
c a a c
+≤+ 10、已知0x >,0y >,若2282y x m m x y +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( )
A .4m ≥或2m ≤-
B .2m ≥或4m ≤-
C .42m -<<
D .24m -<< 11、已知数列{a n }的前n 项和122
n n S +=-,则
22212n a a a +++=
( )
A. 2
4(21)n
-
B. 1
2
4(21)n -+
C. 4(41)3
n -
D.
14(42)
3
n -+ 12、已知数列的前项和为,,若存在两项,使得,则的
最小值为( )
A .
B .
C .
D . 二、填空题(每题5分,共20分)
13、函数()(1)()f x ax x b =-+,如果不等式()0f x >的解集为(-1,3),那么a+b= 14、若的定义域为
,则实数的取值范围是____.
15、当
()
1,3x ∈时,不等式2
40x mx -+>恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.
16、已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且3log (1)1n S n +=+,则数列{a n }的通项公式为 . 三、解答题(共70分) 17、已知,
,直线
经过点
.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值.
18、设等比数列{}n a 满足132420,
10
a a a a +=+=.
(1)令123n n
T a a a a =,求n T ;
(2)令
2log n n
b a =,求数列
{}n n a b 的前n 项和n S .
19、在等差数列
中,
其前
项和为
.
(1)求的最小值,并求出的最小值时的值;(2)求.
20、解关于x的不等式
2(2)20() ax a x a R +--≥∈
(其中a<0)
21、已知等差数列{a n}中,2a2+a3+a5=20,且前10项和S10=100.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和.
22、已知正项数列的前n项和为
.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)记,求数列的前2n项和.
数学答案
1、D
2、D
3、A
4、A
5、D
6、C
7、A
8、 B
9、B 10、C 11、C 12、C 13、-4 14、
15、4m < 16、8,123,2
n n
n a n =⎧=⎨
⨯≥⎩
17、已知,,直线经过点.
(1)求的最小值;(2)求的最小值.
因为直线过点,所以.
(1)因为,
,所以
,当且仅当,即,时取等号,从
而,即的最小值为8.
(2),
当且仅当
,即时取等号,从而
最小值为9.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值,考查转化思想及1的运用,属于基础题. 18、设等比数列{}n a 满足132420,
10
a a a a +=+=.
(1)令123n n
T a a a a =,求n T 的最大值;
(2)令
2log n n
b a =,求数列
{}n n a b 的前n 项和n S .
(1)设等比数列
{}n a 首项为1a ,公比为q ,
所以23111120,10a a q a q a q +=+=,解得:116,1,2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以5
12
n n a -=
,当
5
11
2
n n a -=
≥时,解得:5n ≤,
所以
123451
a a a a a >>>>=,
671a a >>>
,
所以n T 的最大值为45168421024T T ==⨯⨯⨯=.
(2)由(1)知2log n n
b a =251log 52n n -==-,则5
1(5)()2n n n a b n -⋅=-⋅, 435
11
1
4()3()(5)()22
2n n S n ---=⋅+⋅+
+-⋅,
两边同时乘以1
2得: 324
1111
4()3()(5)()222
2n n S n ---=⋅+⋅++-⋅,
两式相减得:
435411111
4()[()()](5)()22222n n n S n ----=⋅-++--⋅
314
11()[1()]
122416(5)()1212n n n ----=⨯---⋅- 14
11
6416[1()](5)()22n n n --=----⋅ 4
1
48(3)()2n n -=+-⋅
所以
()59632n
n S n -=+-⋅.
【点睛】
等比数列前n 项积达到最大,主要是根据各项与1的大小进行比较;错位相减法进行求和时,
要注意最后得到的常数的准确性,即本题中的96必需确保没有算错,其它项可以合并,也可以不合并. 19、在等差数列
中,
其前项和为.
(1)求的最小值,并求出的最小值时的值; (2)求.
【详解】
(1)在等差数列中,
,所以3
,即
,所以
,,
,因为对称轴为
,所以当或时,的最
小值为-630. (2)由(1)知,当
时,
,当
时,
,
当时,,
当时,
,
综上
【点睛】
本题主要考查了等差数列前n 项和最小值的求法,数列的各项绝对值的和的求法,解题时要注意分类讨论思想的合理运用,属于中档题.
20、解关于x 的不等式
2(2)20()ax a x a R +--≥∈ 【详解】
()()()222120
ax a x x ax +--=+-≥
①当0a =时,
()()()12210x ax x +-=-+≥(],1x ⇒∈-∞-
②当0a >时,
()()120x ax +-≥(]2,1,x a ⎡⎫
⇒∈-∞-+∞⎪
⎢⎣⎭ ③当20a -<<时,
()()120x ax +-≥2,1x a ⎡⎤
⇒∈-⎢⎥
⎣⎦ ④当2a =-时,
()()()2
12210x ax x +-=-+≥{}
1x x ⇒=-
⑤当2a <-时,
()()120x ax +-≥21,x a ⎡⎤
⇒∈-⎢⎥
⎣⎦ 【点睛】
本题考查含参数不等式的求解问题,要通过二次项系数、开口方向、实根个数和大小确定参数不同取值下的解集.
21、已知等差数列{an}中,2a2+a3+a5=20,且前10项和S10=100. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn =,求数列{bn}的前n 项和.
【详解】
(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d .
由已知得
解得
所以数列{a n}的通项公式为a n=1+2(n-1)=2n-1.
(2)b n=,
所以.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
22、已知正项数列的前n项和为.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)记,求数列的前n项和Rn;
(3)记,求数列的前2n项和.
【详解】
(1)证明:正项数列{an}的前n项和为.
∴,相减可得:=--,
化为,
∵,
∴,
时,,,,解得,
满足上式.
即,.
数列为等差数列,首项为1,公差为1.
(2)解:由(1)可得:..
数列的前项和.
(3)解:.
.
数列的前项和.
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.。