Solidworks实体建模技巧教程

Solidworks实体建模技巧教程之创建正多面体
作者：无维网w_hs
我是SW板块的“不老”，看了冰大关于正多面体的帖子也想说几句。

由于本人不懂pro/e，而SW与pro/e在模型制作上和名称术语上也
有诸多不同，故在下面的贴图只提供思路，无法提供模型，希见谅。

一、关于正多面体的种类
多面体的欧拉定理是对任意多面体（不限于正多面体，甚至不必限制其面为平面或其棱为直线段等）都适用的，一般教材中很少去证明它，其实用初等的数学方法就可以容易的得到。

冰大在帖子中证明了正多面体的五种形式，通常在教科书中只是给出结果，这里我从另外一个角度给一个证明。

由欧拉定理：
顶点数+面数=棱数+2 (1)
由于是正多面体，假定每个面有n条边，每个顶点有m条相接的棱，如果我们遍列每一个面计算边的总数，由于每一条棱与两个面相接，因此显然每条棱被重复计算了一次，立即可得到：
n*面数=棱数*2 (2)
同样我们遍列每个顶点计算棱的总数，由于每一条棱与两个顶点相接，因此显然每条棱也被被重复计算了一次，故同样有：
m*顶点数=棱数*2.............................................. . (3)
代入欧拉定理有：
棱数*2/m+棱数*2/n=棱数+2
化简得：
棱数=2mn/（2m+2n-mn） (4)
由于棱数必大于零，所以有：
2m+2n-mn>0 即 (m-2)*(n-2)<4
考虑到m、n都为大于等于3的正整数，所以能够实现的（m，n）组合只有以下五种：
3、3， 3、4，
4、3， 3、5，
5、3
利用式（2）、（3）、（4）可得到：
正四面体每面边数=3，每顶点棱数=3，棱数= 6，面数= 4，顶点数=4
正六面体每面边数=4，每顶点棱数=3，棱数=12，面数= 6，顶点数=8
正八面体每面边数=3，每顶点棱数=4，棱数=12，面数= 8，顶点数=6
正十二面体每面边数=5，每顶点棱数=3，棱数=30，面数=12，顶点数=20
正二十面体每面边数=3，每顶点棱数=5，棱数=30，面数=20，顶点数=12
有趣的是我们设想将任一个正多面体的面（正多边形）中心点作为顶
点，连接每个相邻面的顶点立即得到另一个正多面体，这两个正多面体称为对偶正多面体，显然正六面体和正八面体是一组对偶正多面体，正十二面体和正二十面体是一组对偶正多面体，而正四面体的对偶正多面体即是它自己。

我们可以仅仅用一个简单的拉伸就得到正四面体、正六面体、和正八面体；也可以仅仅用一个拉伸+一个拉伸切除得到正十二面体和正二
十面体。

由于前面说过，欧拉定理也适用于曲面，因为以平面为面的多面体和以球面为面的多面体具有完全相同的拓扑结构，可以推而广之将以上结论运用到球面上，所以将球面切成全等的球面正多边形的方法也只有五种。

二、截正多面体
可以用垂直于正多面体中心到一个顶点的连线的平面削去顶点，如法炮制削去原正多面体的全部顶点，并保证生成的新多面体的全部棱长相等，可以得到有两种面组成的多面体，其中每一种面都是全等的正多边形。

其切削方法有两种，第一种是切去的棱长少于原棱长的一半，称之为截顶正多面体；另一种使截去部分的棱长正好等于原棱长的一半，称之为截半正多面体。

由于截半正四面体就是正八面体故不计入截多面体，以及对偶正多面体的截半正多面体是同样的多面体，故截正多面体共有7个，它们分别是：
截顶正四面体，4个正三角形面+4个正六边形面，12个顶点，18条棱
截顶正六面体，8个正三角形面+6个正八边形面，24个顶点，36条棱]
截顶正八面体，6个正四边形面+8个正六边形面，24个顶点，36条棱
截顶正十二面体，20个正三角形面+12个正十边形面，60个顶点，9 0条棱
截顶正二十面体，12个正五边形面+20个正六边形面，60个顶点，9 0条棱
截半正六面体(截半正八面体)，8个正三角形面+6个正四边形面，1 2个顶点，24条棱
截半正十二面体(截半正二十面体)，20个正三角形面+12个正五边形面，30个顶点，60条棱
其中截顶正二十面体和截半正十二面体由于与足球和达文西球有着相同的拓扑构造而格外著名。

利用了截正多面体的特性，也可以很容易的作出它们的模型，下面是仅仅用一个扫描+一个扫描切除做出截顶正二十面体的例子。

由于对偶正多面体和相对应的截正多面体的内在关系，给我们提供了一些很有趣的特性，下面是一个仅仅用一个移动面就可以很方便地在正十二面体、截顶正十二面体、截半正十二面体、截顶正二十面体、正二十面体之间相互转换的例子。

三、正多面体和球
前两节所说的五种正多面体和七种截正多面体都可以有相同拓扑的
球体与之对应，这里仅仅选了与截半正六面体、截半正十二面体相对应的十四面球、达文西球以及与截顶正二十面体相对应的足球作一个介绍。

前两者由于其截半的共性，因此其球面多面体的每一条棱都在球体的大圆上，自然有着很有趣的特性；后者是大家都很喜欢的足球，各论坛做法颇多，看看下面的做法是否喜欢。

最后再介绍一种由球面正三角形、球面正四边形、球面正五边形三种面组成的62面球，它也是由正十二面体派生而成。