浙江省金华市中考数学复习专题之三角形综合题

浙江省金华市中考数学复习专题之三角形综合题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、解答题 (共40题；共108分)
1. （3分） (2020八上·石景山期末) 如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点.作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E.连接EC并延长，交射线AD于点F.
（1）补全图形；
（2）求∠AFE的度数；
（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明.
2. （3分） (2017八下·仙游期中) 已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．
（1）填表：
三边a、b、c
3、4、52
5、12、134
8、15、176
（2）如果，观察上表猜想： ________ (用含有m的代数式表示)．
（3）证明（2）中的结论．
3. （3分）(2018·镇江) 如图
（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为________°．
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．
（画一画）
如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
（算一算）
如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG= ，求B′D的长；
（验一验）
如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B 分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．
4. （3分） (2016九上·思茅期中) 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M 是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．
5. （3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，把四边形对折，使点A、C重合，折痕EF分别交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF．
（2）说明：点E与F关于直线AC对称．
6. （3分）(2019·本溪模拟) 已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC 于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2 ，直接写出线段BF的范围．
7. （3分）(2017·苏州模拟) 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．
8. （2分） (2019八上·越秀期末) 如图，AC与BD相交于点E ， AC＝BD ，AC⊥BC ，BD⊥AD ．垂足分别是C、D ．
（1）若AD＝6，求BC的长；
（2）求证：△ADE≌△BCE．
9. （3分）(2017·峄城模拟) 如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD 且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB= ，AB=3，求BD的长．
10. （3分）(2019·广州模拟) 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
11. （3分） (2018八上·青山期末) 如图，BC⊥CD，∠1＝∠2＝∠3，∠4＝60°，∠5＝∠6.
（1） CO是△BCD的高吗？为什么？
（2）求∠5、∠7的度数.
12. （3分）(2019·营口模拟) 某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚.已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示.
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？
13. （2分）(2018·上海) 已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF=AE﹣BE；
（2）联结BF，如课 = ．求证：EF=EP．
14. （3分）(2017·苏州模拟) 如图，已知Rt△ABD中，∠A=90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠ABD=30°，BE=3，求弧CD的长．
15. （3分）如图，已知A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（1，1），点P为线段OB上一动点（不包括点O），CD⊥CP 交x轴于点D，当P点运动时：
（1）求证：∠CPO=∠CDO；
（2）求证：CP=CD；
（3）下列两个结论：①AD﹣BP的值不变；②AD+BP的值不变，选择正确的结论求其值．
16. （3分）(2018·深圳模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F，AE，CF 分别与BD交于点G和H，且AB= ．
（1）若tan∠ABE =2，求CF的长；
（2）求证：BG=DH．
17. （3分） (2018八上·姜堰期中) 在△ABC中，AB=13，AC=5，BC边上的中线AD=6，点E在AD的延长线上，且AD=DE．
（1）试判断△ABE的形状并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
18. （1分） (2017八下·平定期中) 如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．
19. （3分） (2016九上·门头沟期末) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，AC= ．
（1）以点B为旋转中心，将△ABC沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，请画出变换后的图形；
（2）求点A和点A′之间的距离．
20. （3分） (2018八上·镇平期末) 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系，位置关系．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=13，DE=10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
21. （3分） (2016八下·红桥期中) 在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，∠ADE=∠CBF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若DF=BF，求证：EF⊥BD．
22. （3分） (2020八上·中山期末) 如图，已知△ABC中，∠BAC=23°，∠BCA=125°。

（1）尺规作图：作AC的垂直平分线，交BC的延长线于点D(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）连接AD，求∠BAD的度数。

23. （3分） (2018八上·天河期末) 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a，以OC为一边作等边△OCD，连接AD.
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当OA=OD时，求a的值
24. （2分）已知：如图，CE⊥AB，DF⊥AB，AF=BE，CE=DF．
求证：
（1）∠A=∠B；
（2）AC∥DB．
25. （3分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）
求证：AB=CD．
（2）
若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
26. （3分） (2017九上·黑龙江月考) 如图，在等边△ABC 内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将线段AD绕点A旋转到AE，使∠DAE=∠BAC，连接EC．
（1）求CE的长；
（2）求cos∠CDE的值．
27. （2分）如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若AE= BC，求证：四边形ABFC为矩形．
28. （2分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
（1）直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标；
（2）求的长（结果保留π）．
29. （3分）(2018·温州) 如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在上．
（1）求证：AE=AB．
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= ，BE=2，求BC的长．
30. （2分） (2017八上·西华期中) 如图，在△ABC中，AB =AC=2，∠B = 40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE = 40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA = 115°时，∠BAD= ________°，∠DEC = ________°，当点D从点B向点C运动时，∠BDA 逐渐变________（填“大”或“小”）．
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．
31. （3分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量有两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）
当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；
（2）
直接写出每分进水，出水各多少升．
32. （1分）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
33. （3分） (2019九上·珠海开学考) 如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG。

（1）求证：矩形DEFG是正方形。

（2）当点E从A点运动到C点时；
①求证：∠DCG的大小始终不变；
34. （2分）(2018·龙东模拟) 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
35. （3分）(2017·奉贤模拟) 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=8，sin∠BCD=
，CE平分∠BCD，交边AD于点E，联结BE并延长，交CD的延长线于点P．
（1）求梯形ABCD的周长；
（2）求PE的长．
36. （2分） (2018八下·太原期中) 综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．
（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：
从A，B两题中任选一题作答我选择________题
A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；
②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；
B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；
②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．
37. （2分）(2017·霍邱模拟) 两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）角度，如图2所示．
（1）利用图2证明AC=BD且AC⊥BD；
（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．
38. （3分）(2019·汇川模拟) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣ x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒.
（1）当t= 秒时，点Q的坐标是________；
（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.
39. （4分） (2016九上·越秀期末) 如图1，已知矩形ABCD的宽AD=8，点E在边AB上，P为线段DE上的一动点（点P与点D，E不重合），∠MPN=90°，M，N分别在直线AB，CD上，过点P作直线HK AB，作PF⊥AB，垂足为点F，过点N作NG⊥HK，垂足为点G
（1）求证：∠MPF=∠GPN
（2）在图1中，将直角∠MPN绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当MF=NG时，△MPN是什么特殊三角形？在图2中用直尺画出图形，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当∠EDC=30°时，设EP＝ｘ，△MPN的面积为S，求出S关于ｘ的解析式，并说明S 是否存在最小值？若存在，求出此时ｘ的值和△MPN面积的最小值；若不存在，请说明理由。

40. （3分）如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，⊙O的半径r=1，∠B=30°，
（1）劣弧DE的长．
（2）证明：AD=AE．
（3）求：劣弧DE、切线AD、AE所围成的面积S．
参考答案一、解答题 (共40题；共108分)
1-1、
1-2、
1-3、
2-1、
2-2、
2-3、3-1、
4-1、4-2、5-1、
5-2、
6-1、
6-2、
6-3、
7-1、7-2、
8-1、8-2、
9-1、
9-2、10-1、
10-2、10-3、
11-1、11-2、12-1、12-2、
12-3、13-1、
13-2、14-1、
14-2、15-1、
15-2、15-3、
16-1、16-2、
17-1、17-2、
18-1、19-1、19-2、
20-1、20-2、
20-3、21-1、21-2、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、
24、答案：略
25-1、25-2、26-1、
26-2、27-1、
27-2、28-1、28-2、29-1、
29-2、30-1、30-2、
30-3、31-1、31-2、
33-1、
33-2、
34-1、
34-2、
34-3、
35、答案：略
36-1、
37-1、
37-2、38-1、。