(完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 2．(2013大纲全国，理
2)3
＝( )．
A ．－8
B ．8
C ．－8i
D ．8i
3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
4．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．
A ．(－1,1)
B ．11,2⎛⎫-- ⎪
⎝
⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛
⎫+
⎪⎝⎭
(x ＞0)的反函数f －1
(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x
-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)
6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝4
3
-，则{a n }的前10项和等
于( )．
A ．－6(1－3－10)
B ．1
9(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)
7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8
(1＋y )4
的展开式中x 2y 2
的系数是( )．
A ．56
B ．84
C ．112
D ．168
8．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：2
2=143
x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．
A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋
1x 在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
是增函数，则a 的取值范围是( )．
A ．[－1,0]
B ．[－1，＋∞)
C ．[0,3]
D ．[3，＋∞)
10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．
A ．23 B
．3 C
．3 D ．1
3
11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2
＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．
A ．1
2 B
． C
D ．2
12．(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cos x sin 2x，下列结论中错误的是( )．
A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线
π
=
2
x
对称
C．f(x)
的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝
1
3
-，则cot α＝__________.
14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)
15．(2013大纲全国，理15)记不等式组
0,
34,
34
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪+≤
⎩
所表示的平面区域为D.若直线y
＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．
16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O
的半径，OK＝3
2
，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等
于__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝2
2
a，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．
18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sin A sin C
，求C
19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
(1)证明：PB⊥CD；
(2)求二面角A－PD－C的大小．
20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、
乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一
人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁
判．设各局中双方获胜的概率均为1
2
，各局比赛的结
果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：
22
22
=1
x y
a b
-(a＞0，b＞0)
的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C
.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
1
ln(1+)
1
x x
x
x
λ
(+)
-
+
.
(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；
(2)设数列{a n}的通项
111
=1+
23
n
a
n
+++，证明：a2n－a n＋
1
4n
＞ln 2.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B
解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2． 答案：A
解析：323
=13=8-.故选A. 3． 答案：B
解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2
＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4． 答案：B
解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜1
2
-.故选B. 5． 答案：A
解析：由题意知11+x
＝2y
⇒x ＝121y -(y ＞0)，
因此f －1
(x )＝1
21
x
-(x ＞0)．故选A. 6． 答案：C
解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13
n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43
-，∴a 1＝4.
∴S 10＝
101413113
⎡⎤
⎛⎫--⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.
7． 答案：D
解析：因为(1＋x )8
的展开式中x 2
的系数为28C ，(1＋y )4
的展开式中y 2
的系数为2
4C ，所以
x 2y 2的系数为22
8
4C C 168=.故选D. 8．
答案：B
解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则22
00=143x y +， 2002PA y k x =
-，10
02
PA y k x =+，于是12
2
2
0222003334244
PA PA x y k k x x -
⋅===---.
故12
31
4PA PA k k ＝－
. ∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
.故选B.
9． 答案：D
解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －
21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 2
11<23212y -⨯=⎛⎫
⎪⎝⎭
.∴a ≥3.故选D. 10． 答案：A
解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .
∵1
1BD AC
BD AA AC AA A ⊥⎫
⎪
⊥⎬⎪=⎭
1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面
11=CH BD CH C O BD C O O ⊥⎫
⎪
⊥⎬⎪⎭
CH ⊥平面C 1BD ， ∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角． 设AA 1＝2AB ＝2，则2
=
=22
AC OC
，2
222
112932=2222C O OC CC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即322
222
CH ⋅＝， ∴2
=
3
CH . ∴sin ∠HDC ＝22
3==13
HC DC .故选A.
11． 答案：D
解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22
42k k (+)
，x 1x 2＝4.①
由1122
22y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩
12122
1212124,[24].y y k x x k y y k x x x x +=(+)-⎧⎨=-(+)+⎩①
②
∵0MA MB ⋅=，
∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，
即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12． 答案：C
解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2
x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，
则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3
. 令g ′(t )＝2－6t 2
＝0，得3=t . 当t ＝±1时，函数值为0；
当3
t =43；
当33t =时，函数值为43
9
.
∴g (t )max ＝3
9
，
即f (x )43
.故选C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：22解析：由题意知cos α＝2
121sin 193
α--=-=-. 故cot α＝
cos =22sin α
α
14．答案：480
解析：先排除甲、乙外的4人，方法有4
4A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，
有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有42
45A A 480⋅=(种)．
15．答案：1
,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12
BC k =
，k AC ＝4，
∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，
则
1
2
≤a ≤4. 16．答案：16π
解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，
则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.
又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE ＝2R .
又OK ⊥EK ，∴3
2
＝OE R ∴R ＝2.
∴S ＝4πR 2
＝16π.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：设{a n }的公差为d .
由S 3＝22a 得3a 2＝2
2a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得2
2S ＝S 1S 4.
又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，
故(2a 2－d )2
＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．
若a 2＝0，则d 2＝－2d 2
，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；
若a 2＝3，则(6－d )2
＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．
解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2
＝－ac .
由余弦定理得cos B ＝
2221
22
a c
b a
c +-=-， 因此B ＝120°.
(2)由(1)知A ＋C ＝60°，
所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A
＋C )＋2sin A sin C ＝
1+22=， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，
因此C ＝15°或C ＝45°. 19．
(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．
过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .
连结OA ，OB ，OD ，OE .
由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，
所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .
因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .
(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .
又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .
取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .
连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD. 所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．
连结AG，EG，则EG∥PB.
又PB⊥AE，所以EG⊥AE.
设AB＝2，则AE
＝EG＝1
2
PB＝1，
故AG
3.
在△AFG中，FG
＝1
2
CD=
，AF=，AG＝3，
所以cos∠AFG
＝
222
2
FG AF AG
FG AF
+-
=⨯⨯
因此二面角A－PD－C
的大小为πarccos
3
-.
解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．
以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
设|AB|＝2，则A
(，0,0)，D(0，
-，0)，C
(
，，0)，P(0,0
)．PC＝
(2，
，2
-)，PD＝(0，，)．
AP＝
，0)，AD＝，，0)．
设平面PCD的法向量为n1＝(x
，y，z)，则n
1·
PC＝(x，y，z)·(
2，2
-)＝0，
n1·PD＝(x，y，z)·(0，，)＝0，
可得
2x－y－z＝0，
y＋z＝0.
取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－
1,1)．
设平面PAD的法向量为n
2＝(
m，p，q)，则n2·AP＝(m，p，q，0)＝0，n2·AD
＝(m，p，q
，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.
取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n
2＝(1,1，－1)．
于是cos〈n1，n2〉＝12
12
||||
=
·
n n
n n
.
由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π-
20．
解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝
1
4
.
(2)X的可能取值为0,1,2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝
1
8
，P(X＝2)＝P(
1
B·B3)＝P(
1
B)P(B3)＝
1 4，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝
115
1
848
--=，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋
2·P(X＝2)＝9
8
.
21．
(1)解：由题设知c
a
＝3，即
22
2
a b
a
+
＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，求得x=
由题设知，=a2＝1.
所以a＝1，b＝
(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝
2
2
6
8
k
k-
，x1·x2＝
2
2
98
8
k
k
+
-
.
于是|AF1|
(3x1＋1)，
|BF1|
3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝
2
3 -.
故
2
2
62
83
k
k
=-
-
，解得k2＝
4
5
，从而x1·x2＝
19
9
-.
由于|AF2|
1－3x1，
|BF2|
3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22．
(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝
2
2
12
1
x x
x
λλ
(-)-
(+)
，f′(0)＝0.
若
1
2
λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.
若
1
2
λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.
综上，λ的最小值是1
2
.
(2)证明：令
1
2
λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，
即
2
ln(1) 22
x x
x
x
(+)
>+
+
．
取
1
x
k
=，则
211
>ln
21
k k
k k k
++
(+)
.
于是
21
2
111
422(1)
n
n n
k n
a a
n k k
-
=
⎡⎤
-+=+
⎢⎥
+
⎣⎦
∑
＝2121
211
ln
21
n n
k n k n
k k
k k k --
==
++
>
(+)
∑∑
＝ln 2n－ln n＝ln 2.
所以
2
1
ln2
4
n n
a a
n
-+>.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷I)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2
－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．
A ．A ∩
B ＝ B ．A ∪B ＝R
C ．B ⊆A
D ．A ⊆B
2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．
A ．－4
B ．45-
C ．4
D ．4
5
3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．
A ．简单随机抽样
B ．按性别分层抽样
C ．按学段分层抽样
D ．系统抽样
4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：22
22=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)5则C 的渐近线方程为( )．
A ．y ＝14x ±
B ．y ＝13x ±
C ．y ＝1
2x
± D ．y ＝±x
5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．
A ．[－3,4]
B ．[－5,2]
C ．[－4,3]
D ．[－2,5] 6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
A ．500π3cm3
B ．866π
3cm3
C ．1372π3cm3
D ．2048π3cm3
7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(
)．
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m
展开式的二项式系数的最大值为a ，(x
＋y )2m ＋1
展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过
点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．
A ．22=14536x y +
B ．22=13627x y +
C ．22=12718x y +
D ．22
=1189x y +
11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，
，若|f (x )|≥ax ，则a 的
取值范围是( )．
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，
n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝
2n n c a +，c n ＋1＝2
n n
b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列
C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.
14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和
2133n n S a =+
，则{an}的通项公式是an ＝_______.
15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.
16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB
，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝
1
2
，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .
18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．
19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取
1
件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为
1
2
，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．
20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2
＋y 2
＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.
21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x
(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；
(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D . (1)证明：DB ＝DC ；
(2)设圆的半径为1，BC ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．
23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程为45cos ,
55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.
(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫
-
⎪⎢⎣
⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国卷I 新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B
解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.
∴集合A 与B 可用图象表示为：
由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B. 2． 答案：D
解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，
∴55(34i)34
i 34i (34i)(34i)55
z +=
==+--+. 故z 的虚部为4
5
，选D.
3． 答案：C
解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4． 答案：C
解析：∵c e a ==，∴2222
22
54c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2
，1=2
b a ±.
∴渐近线方程为1
2
b y x x a =±±.
5．
答案：A
解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．
若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2
，其对称轴为t ＝2.
故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]． 综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A. 6． 答案：A
解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．
BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，
由R 2＝(R －2)2＋42
，得R ＝5， 所以球的体积为
34500π5π33
=(cm 3)，故选A. 7．
答案：C
解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，
∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.
∵S m ＝ma 1＋
12m m (-)×1＝0，∴11
2
m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴1
32
m m --+=.
∴m ＝5.故选C. 8． 答案：A
解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2
×4×1
2
＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9． 答案：B
解析：由题意可知，a ＝2C m
m ，b ＝21C m
m +， 又∵13a ＝7b ，∴2!21!
13=7!!!1!
m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即
1321
71
m m +=
+.解得m ＝6.故选B. 10． 答案：D
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，
∴22
1122
22
2222
1,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②
①－②，得
1212121222
=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)
+， 即2
121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)
， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，
而1212y y x x --＝k AB ＝011=312
-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2
－b 2
＝9，∴a 2
＝18，b 2
＝9.
∴椭圆E 的方程为
22
=1189
x y +.故选D. 11． 答案：D
解析：由y ＝|f (x )|的图象知：
①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.
②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2
－2x .
故由|f (x )|≥ax 得x 2
－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立．
当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a . ∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]． 12． 答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2
解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，
∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2
.
又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ， ∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )， 0＝
1
2
t ＋1－t . ∴t ＝2.
14．答案：(－2)n －1
解析：∵21
33
n n S a =
+，① ∴当n ≥2时，1121
33n n S a --=+.②
①－②，得122
33
n n n a a a -=-，
即1
n n a
a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝121
33
a +，
∴a 1＝1.
∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1
. 15．
答案： 解析：f (x )＝sin x －2cos x
x x ⎫
⎪⎭，
令cos α
sin α
＝-
则f (x )
α＋x )，
当x ＝2k π＋π
2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )
即θ＝2k π＋π
2
－α(k ∈Z )，
所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫
- ⎪⎝⎭＝sin α
＝=. 16．答案：16
解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，
∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，
即15164,
0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨
=-(-+)⎩
解得8,15.
a b =⎧⎨=⎩
∴f (x )＝－x 4
－8x 3
－14x 2
＋8x ＋15.
由f ′(x )＝－4x 3－24x 2
－28x ＋8＝0，
得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2
易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－
2上为增函数，在(－2
∴f (－2＝[1－(－22
][(－22
＋8(－2)＋15]
＝(－8－－＝80－64＝16.
f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.
f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]
＝(－8＋＋＝80－64＝16.
故f (x )的最大值为16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．
解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.
在△PBA 中，由余弦定理得PA 2
＝11732cos 30424
+
-︒=.
故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.
在△PBA sin sin(30)
α
α=
︒-，
cos α＝4sin α.
所以tan α＝
4，即tan ∠PBA ＝4
. 18．
(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .
由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .
因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，
故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．
以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .
由题设知A (1,0,0)，A 1(0
，3，0)，C (0,0
，B (－1,0,0)．
则BC ＝(1,0
，1
BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，
． 设n ＝
(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，
则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n 即0,
30.
x x y ⎧=⎪
⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．
故cos 〈n ，1AC 〉＝
11A C A C
⋅n n ＝5
-
. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为
5
. 19．
解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以
P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)
＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝
41113
161616264
⨯+⨯=
. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且
P (X ＝400)＝41111161616-
-=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14
. 所以X 的分布列为
EX ＝111400+500+80016164
⨯
⨯⨯＝506.25. 20．
解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P
(x ，y )，半径为R .
(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，
所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22
=143
x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线
C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，
所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.
所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2
＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则
1
||||QP R
QM r =，
可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)． 由l 与圆M
，
解得k ＝4
±
.
当k ＝4时，将4y x =
代入22
=143
x y +， 并整理得7x 2
＋8x －8＝0，
解得x 1,2＝
47
-±.
所以|AB |2118|7
x x -=.
当k =|AB |＝187
.
综上，|AB |＝|AB |＝18
7
.
21．
解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.
而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x
(cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.
(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x
(x ＋1)．
设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2
－4x －2，
则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x
－1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.
令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.
①若1≤k ＜e 2
，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．
而F (x 1)＝2x 1＋2－2
1x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.
故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．
②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2
)．
从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．
③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2
)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．
综上，k 的取值范围是[1，e 2
]． 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．
(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .
而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .
又因为DB ⊥BE ，
所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .
(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG
设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF
. 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2
＝25，
即C 1：x 2
＋y 2
－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入x 2＋y 2
－8x －10y ＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2
－2y ＝0.
由2222
810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.
x y =⎧⎨=⎩
所以C 1与C 2
交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
24．
解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
--≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．
(2)当x ∈1,22a ⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.
所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
都成立． 故2
a -≥a －2，即43a ≤.
从而a 的取值范围是41,3⎛
⎤- ⎥⎝
⎦
.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2
＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．
A ．{0,1,2}
B ．{－1,0,1,2}
C ．{－1,0,2,3}
D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．
A ．－1＋i
B ．－1－I
C ．1＋i
D ．1－i
3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．
A ．13
B ．13-
C ．19
D ．1
9-
4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )．
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2
的系数为5，则a ＝( )．
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．
A ．1111+23
10+++
B ．1111+2!3!
10!+++
C ．1111+23
11+++
D ．1111+2!3!
11!+++
7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是
(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．
8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞c ＞
b D ．a ＞b ＞c
9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥(-)⎩
若z ＝2x ＋y 的最
小值为1，则a＝( )．
A．1
4 B．
1
2 C．1 D．2
10．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．
A．(0,1) B
．
1
1,
22
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭ C
．
1
1
23
⎛⎤
-
⎥
⎝⎦ D．
11
,
32
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD
⋅
＝__________.
14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若
取出的两数之和等于5的概率为
1
14
，则n＝__________.
15．(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若
π1
tan
42
θ⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，则sin θ＋
cos θ＝__________.
16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分
别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB
＝
2
AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(
单位：
t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T 表示为X 的函数；
(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，
求T 的数学期望．
20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平
面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22
22=1x y a b
+(a ＞b
＞0)右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，
P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2
.
(1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．
21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x
－ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P ，
Q 都在曲线C ：2cos ,
2sin x t y t
=⎧⎨
=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，
M 为PQ 的中点．
(1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：
(1)ab ＋bc ＋ac ≤1
3
；(2)2221a b c b c a ++≥.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 答案：A
解析：解不等式(x －1)2
＜4，得－1＜x ＜3，即M ＝{x |－1＜x ＜3}．而N ＝{－1,0,1,2,3}，所以M ∩N ＝{0,1,2}，故选A. 2． 答案：A 解析：2i 2i 1i =
1i 1i 1i z (+)=-(-)(+)＝22i 2
-+＝－1＋i. 3．
答案：C
解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.
∵q ≠1时，S 3＝31(1)
1a q q
--＝a 1·q ＋10a 1，
∴311q q
--＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4
＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19
.
4． 答案：D
解析：因为m ⊥α，l ⊥m ，l α，所以l ∥α.同理可得l ∥β.
又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D. 5． 答案：D
解析：因为(1＋x )5
的二项展开式的通项为5C r r x (0≤r ≤5，r ∈Z )，则含x 2
的项为22
5C x ＋
ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2
，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.
6．
答案：B
解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1；
当k ＝2时，12T =
，1=1+2S ； 当k ＝3时，123T =⨯，11
1+223S =+⨯；
当k ＝4时，1234T =⨯⨯，111
1+223234
S =++⨯⨯⨯；…；
当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，111
1+2!3!10!
S =+++，k 增加1变为11，满足k
＞N ，输出S ，所以B 正确．
7． 答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：
则它在平面zOx 上的投影即正视图为，故选A.
8． 答案：D
解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3
a =
=+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 2
1lg 7lg 7c ==+，因
为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2
lg 7lg 5lg 3
<<，即c ＜b ＜a .故选D. 9． 答案：B
解析：由题意作出1,
3
x x y ≥⎧⎨
+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，
作直线2x ＋y ＝1，因为直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y ＝a (x －3)过点(1，－1)，代入得12
a =，所以1
2
a =
. 10．
答案：C
解析：∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．
11． 答案：C
解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2
p
＝5，则x 0＝5－
2
p . 又点F 的坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)2p x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭＋(y －y 0)y ＝0.
将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即2
02
y －4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.
由2
0y ＝2px 0，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，解之得p ＝2，或p ＝8.
所以C 的方程为y 2
＝4x 或y 2
＝16x .故选C.
12． 答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2
解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE ＝(1,2)，BD ＝(－2,2)，所以2AE BD ⋅=.
14．答案：8
解析：从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2
C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以
221C 14n
=，即24111142
n n n n ==
(-)(-)，解得n ＝8.
15．答案：5
- 解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛
⎫+=
= ⎪-⎝
⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得2
10cos 19
θ=.
因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ，sin θ＋cos θ＝.
16．答案：－49
解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109
102
a d ⨯＋
＝10a 1＋45d ＝0，① S 15＝11514
152
a d ⨯+
＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，2
3
d =，
所以S n ＝2(1)2110
32333
n n n n n --+⨯=-.
令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-
，220
'()3
f n n n =-. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或20
3
n =.
当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3
n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而
n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知及正弦定理得
sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故
sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ， 又B ∈(0，π)，所以π4
B =. (2)△AB
C 的面积12sin 24
S ac B ac =
=. 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2
－π2cos 4
ac .
又a 2＋c 2
≥2ac ，故422
ac ≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立．
因此△ABC 面积的最大值为2+1.
18．
解：(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ，
所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝
2
2
AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .
设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．
设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，
则10,0,CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110,
220.
x y x z +=⎧⎨+=⎩ 可取n ＝(1，－1，－1)．
同理，设m 是平面A
1CE 的法向量，
则10,0,
CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝(2,1，－2)． 从而cos 〈n ，m 〉＝3
||||3
=
·n m n m ， 故sin 〈n ，m 6即二面角D －A 1C －E 619．
解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000， 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.。