《志鸿优化设计》2022年高考数学(苏教版)一轮复习教学案：第12章曲线与方程、数学归纳法12.1曲

《志鸿优化设计》2022年高考数学（苏教版）一轮复习教学案：第12章曲线与方程、数学归
纳法12．1曲线与方程 12．1 曲线与方程
考纲要求
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
1．曲线的方程与方程的曲线
假如曲线C 上点的坐标(x ，y)差不多上方程f(x ，y)＝0的________，且以方程f(x ，y)＝0的解(x ，y)为坐标的点都在________上，那么，方程f(x ，y)＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f(x ，y)＝0的曲线．
2．平面解析几何研究的两个要紧问题
(1)依照已知条件，求出表示曲线的方程；
(2)通过曲线的方程研究曲线的性质．
3．求动点的轨迹方程的一样步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设所求轨迹上任一点P(x ，y)．
(3)列式——列出动点P 所满足的关系式．
(4)化简——化方程f(x ，y)＝0为最简形式．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程．
4．两条曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组______，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的______条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，确实是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
1．方程x2＋xy ＝x 表示的曲线是__________．
2．过圆外一点P 作圆x2＋y2＝1的两条切线PM 和PN(M ，N 为切点)，若∠MPN ＝π2，则动点P 的轨迹是______．
3．已知定点A(1,2)，B(－1,2)，动点P 与A ，B 两点连线的斜率k1，k 2满足k1＝k2＋4，则动点P 的轨迹方程是__________．
4．(2021江苏苏锡常镇四市调研)已知点M 与双曲线x216－y29＝1的左、
右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为__________．
5．若动直线y ＝kx ＋1与椭圆x25＋y2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范
畴是________．
[来源:1]
求轨迹有哪些常用方法？
提示：(1)直截了当法：假如动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x ，y 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直截了当法．用直截了当法求动点轨迹的方程一样有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤．若方程的化简是恒等变形，则最后的证明能够省略．
(2)待定系数法：若已知条件告诉了我们曲线的种类或方程的具体形式，可先设出曲线的方程，再确定其中的参数．
(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或不易直截了当求出，但形成轨迹的动点P(x ，y)却随另一动点Q(x ′，y ′)的运动而有规律地运动，且动点Q 的轨迹已给定或容易求得，则可先将x ′，y ′表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法．
(4)参数法：求轨迹方程有时专门难直截了当找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x ，y 之间建立起联系，然后再消去参数得出动点的轨迹方程．
一、直截了当法求曲线方程
【例1】在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为A(0，－1)，B(0,1)．平面内两点G ，M 同时满足：
①G 为△ABC 的重心，②|MA
→|＝|MB →|＝|MC →|，③GM →∥AB →. 求顶点C 的轨迹E 的方程．
方法提炼
(1)用直截了当法求轨迹方程的步骤为：建系(若题中已有坐标系，该步骤省略)，设点，列方程化简，其关键是依照条件列出方程来．
(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，余外的点要去掉，遗漏的点要补上．
请做针对训练1
二、相关点法(代入法)求轨迹方程
【例2】设A 是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM ＝mD A(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C.求曲线C 的方程，判定曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．
方法提炼
在上述问题中，动点A(主动点)在已知曲线上运动，动点M(被动点)依靠点A 的运动而运动，这种求轨迹问题所应用的方法称为“相关点法”．
其差不多步骤为：
(1)设点：设被动点坐标为(x ，y)，主动点坐标为(x0，y0)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝f x ，y ，y0＝g x ，y ； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
请做针对训练2
三、定义法求轨迹方程
【例3】已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆F ：⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．
方法提炼
若由题意能判定出动点的运动轨迹能满足某种曲线的定义，则可用待定系数法设出所求曲线的方程，再确定其中的差不多量即可．
请做针对训练3
在高考中对本节内容的考查以解答题为主，同时常常是压轴题，题目一样综合性较强，运算量较大，难度偏大，具有较强的区分度．要紧侧重以下几个方面：(1)相交弦问题，要紧是根与系数关系的应用．(2)最值问题，要紧是把几何最值问题转化为函数和差不多不等式的最值问题来求解．(3)
存在性问题，一样先假设存在，若能求出符合题目要求的结论，则证明存在；若不能求出，则证明不存在．
[来源:学|科|网]
1．已知点F(1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为坐标平面上的动点，过点P 作
直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP
→·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．
2．设圆C ：(x －1)2＋y2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
3．(2021江苏南通数学学科基地密卷(一))已知双曲线x22－y2＝1的两个
焦点为F1，F2，P 为动点，若PF1＋PF2＝4.
(1)求动点P 的轨迹E 的方程；
(2)若A1(－2,0)，A2(2,0)，M(1,0)，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R ，Q 两点，直线A1R 与A2Q 交于点S.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．解 曲线C
4．(1)公共解 无解 (2)充要
基础自测
1．两条直线 解析：方程变为x(x ＋y －1)＝0，
则x ＝0或x ＋y －1＝0.
故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y －1＝0.
2．圆x2＋y2＝2 解析：依题意，四边形OMPN 为正方形，因此OP 2＝(2OM)2＝2，即x2＋y2＝2. 3．y ＝2x2(x ≠±1) 解析：设P(x ，y)，则由y －2x －1＝y －2x ＋1
＋4，得y ＝2x2(x ≠±1)． 4．x2＋y2＋26x ＋25＝0 解析：由题意得x ＋52＋y2x －52＋y2＝49
，即9x2＋90x ＋25×9＋9y2＝4x2－40x ＋25×4＋4y2，化简得x2＋y2＋26x ＋25＝0.
5．m ≥1且m ≠5 解析：由题意知直线l 与y 轴的交点P(0,1)恒在椭圆内，因此m ≥1(m ＞0)，解得m ≥1.
因为m ≠5，
因此m ≥1且m ≠5.
考点探究突破
【例1】解：设C(x ，y)，
∵G 为△ABC 的重心，
∴点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 3. ∵由|MA →|＝|MB →|知点M 在x 轴上，
∴由③知点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0. 由|MB →|＝|MC →|，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 32＋y2， 化简整理得x23＋y2＝1(x ≠0)．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
【例2】解：如图，设M(x ，y)，A(x0，y0)，
则由DM ＝mDA(m>0，且m ≠1)，可得x ＝x0，|y|＝m|y0|，
因此x0＝x ，|y0|＝1m |y|.①
因为点A 在单位圆上运动，
因此x20＋y20＝1.②
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x2＋y2m2＝1(m>0，且m ≠1)．
因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，
因此当0<m<1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点的坐标分别为(－1－m2，0)，(1－m2，0)；当m>1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m2－1)，(0，m2－1)．
【例3】解：如图，连结PA ，
依题意可知PA ＝PB.
∴PA ＋PF ＝PB ＋PF ＝BF ＝2.
∴点P 的轨迹为以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，长半轴长为1的椭圆．其方程可设为x21＋y2b2＝1.
又∵c ＝12，a ＝1，
∴b2＝a2－c2＝34.
故点P 的轨迹方程为x2＋43y2＝1.
演练巩固提升
针对训练
1．解：设点P(x ，y)，则Q(－1，y)，由QP QF ⋅＝FP FQ ⋅，得(x ＋1,0)·(2，－y)＝(x －1，y)·(－2，y)，化简得C ：y2＝4x ，故动点P 的轨迹C 的方程为y2＝4x.
2．解：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，则CP ⊥OQ.
方法一：直截了当法．设OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则MP ＝12OC ＝12，得方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y2＝14，其中0<x ≤1. 方法二：定义法．
∵∠OPC ＝90°，
∴动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，且其方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y2＝14(0<x ≤1)．
方法三：代入法． 设弦与圆C 的另一交点为Q(x1，y1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x12y ＝y12⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x1＝2x ，y1＝2y. 又∵(x1－1)2＋y21＝1， ∴(2x －1)2＋(2y)2＝1(0<x ≤1)，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y2＝14(0<x ≤1)． 3．解：(1)由题意知F1(－3，0)，F2(3，0)， ∵PF1＋PF2＝4，
∴动点P(x ，y)必在以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆上，即a ＝2. 又∵c ＝3，b2＝a2－c2＝1，
∴动点P 的轨迹E 的方程为x24＋y2＝1.
(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1.
①取m ＝0时，由题意可得R ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，直线A1R 的方程是y ＝36x ＋33，直线A2Q 的方程是y ＝32x －3，
则直线A1R 与A2Q 的交点为S(4，3)．
若R ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，Q ⎝
⎛⎭⎪⎫1，32，由对称性可知交点为S2(4，－3)． 若点S 在同一条直线上，则直线为l ：x ＝4.
②以下证明关于任意的m(m ≠0)，直线A1R 与直线A2Q 的交点S 均在直线l ：x ＝4上． 由⎩⎨⎧
x24＋y2＝1，x ＝my ＋1得(my ＋1)2＋4y2＝4，即(m2＋4)y2＋2my －3＝0.[来
源:Z+xx+k ][来源:学§科§网] 记R(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝－2m m2＋4，y1y2＝－3m2＋4
. 设A1R 与l 交于点S0(4，y0)，
由y04＋2＝y1x1＋2，得y0＝6y1x1＋2
. 设A2Q 与l 交于点S ′0(4，y ′0)，
由y ′04－2＝y2x2－2，得y ′0＝2y2x2－2. ∵y0－y ′0＝6y1x1＋2－2y2x2－2 ＝6y1my2－1－2y2my1＋3x1＋2x2－2 ＝4my1y2－6y1＋y2x1＋2x2－2
＝－12m
m2＋4
－
－12m
m2＋4
x1＋2x2－2
＝0，
∴y0＝y′0，即S0与S′0重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x＝4上．。