人教版 九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 课时训练(含答案)

人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数
课时训练
一、选择题
1. 小敏用一根长为
8 cm 的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是( )
A ．4 cm 2
B ．8 cm 2
C ．16 cm 2
D ．32 cm 2
2. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场
ABCD ，其中∠C ＝120°.若新建
墙BC 与CD 的总长为12 m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( )
A ．18 m 2
B ．18 3 m
2
C ．24 3 m 2
D.45 32 m 2
3. 如图，铅球运动员掷铅球的高度
y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y
＝－112x 2＋23x ＋5
3，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A ．6 m
B ．12 m
C ．8 m
D ．10 m
4. 如图，利用一面墙，其他三边用
80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30
米，则围成矩形场地的最大面积为( )
A ．800平方米
B ．750平方米
C ．600平方米
D ．2400平方米
5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球运动时间t(单位：s )之间的函
数关系如图所示．有下列结论：
①小球在空中经过的路程是40 m ；②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s .
其中正确的是()
A．①④B．①②C．②③④D．②③
6. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图(示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是()
A．此抛物线的解析式是y＝－1
5x
2＋3.5
B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)
C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D．篮球出手时离地面的高度是2 m
7. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y
＝4x－1
2x
2刻画，斜坡可以用一次函数y＝
1
2x刻画，下列结论错误的是()
A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 m B．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势
C．小球落地点距点O的水平距离为7 m
D．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同
8. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取()
A．30 B．25 C．20 D．15
二、填空题
9. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.
10. （2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t－6t2，则汽车从刹车到停止所用时间为__________秒．
11. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.
12. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是
s＝60t－3
2t
2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．
13. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解
析式为y＝－1
9(x－6)
2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为
________________．
14. 某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：
(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；
(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．
给出下列结论：
∠这种文化衫的月销量最小为100件；
∠这种文化衫的月销量最大为260件；
∠销售这种文化衫的月利润最小为2600元；
∠销售这种文化衫的月利润最大为9000元．
其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)
15. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.
16. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．
三、解答题
17. 怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，每份售价分别为20元，18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？
(2)该店为了增加利润，准备降低A 种菜品的售价，同时提高B 种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品每份的售价每降0.5元可多卖出1份，B 种菜品每份的售价每提高0.5元就少卖出1份，如果这两种菜品每天的销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？
18. （2020·河北）用承重指数W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量。

实验
室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W 与木板厚度x （厘米）的平方成正比，当x =3时，W =3. （1）求W 与x 的函数关系式.
（2）如图14，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗），设薄板的厚度为x 厘米，Q =W 厚-W 薄. ①求Q 与x 的函数关系式； ②x 为何值时，Q 是W 薄的3倍？
【注：（1）及（2）中的①不必写x 的取值范围】
人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数
课时训练-答案
一、选择题
1. 【答案】A [解析] 设矩形的一边长为x cm ，则另一边长为()4－x cm ，故矩形的面积S ＝x ()4－x ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，S 最大值＝4.故矩形的最大面积为4 cm
2.
2. 【答案】C [解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 则四边形ADCE 为矩形，∠DCE ＝∠CEB ＝90°， 则∠BCE ＝∠BCD －∠DCE ＝30°.
设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.
在Rt∠CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－1
2x)m ， ∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2＝(6 3－32x)m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12x ＝(12x ＋
6)m ，
∴梯形ABCD 的面积＝1
2(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x) ＝－3 3
8x 2＋3 3x ＋18 3 ＝－3 3
8(x －4)2＋24 3.
∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.
即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选C.
3. 【答案】D
[解析] 把y ＝0代入y ＝－112x 2＋23x ＋53，得－112x 2＋23x ＋5
3＝0，
解得x 1＝10，x 2＝－2.又∵x ＞0，∴x ＝10. 故选D.
4. 【答案】B
[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x 米，则垂直于墙的边长
为80－x
2米，围成矩形场地的面积为y 平方米， 则y ＝x ·
（80－x ）2＝－12x 2＋40x ＝－12
(x －40)2
＋800. ∵a <0，∴x <40时，y 随x 的增大而增大，由于墙长为30米，∴0<x ≤30，∴当x ＝30时，y 取得最大值，为－1
2×(30－40)2＋800＝750.
5. 【答案】D [解析] ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；
③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确； ④设函数解析式为h ＝a(t －3)2＋40， 把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40. 解得a ＝－40
9
，
∴函数解析式为h ＝－40
9
(t －3)2＋40.
把h ＝30代入解析式，得30＝－40
9(t －3)2＋40，
解得t ＝4.5或t ＝1.5，
∴小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s 或4.5 s ，故④错误．故选D.
6. 【答案】A
[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴可设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋3.5.
∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a ＝－15.∴y ＝－1
5x 2＋3.5.可见选项A 正确．
由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B 错误． 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C 错误．
将x ＝－2.5代入抛物线的解析式，得y ＝－1
5×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m 可见选项D 错误． 故选A.
7. 【答案】A
[解析] 令y ＝7.5，得4x －1
2x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A
错误．
由y ＝4x －12x 2得y ＝－1
2(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．
联立y ＝4x －12x 2与y ＝1
2x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72
.∴抛物线与直线的交点坐标为
(0，0)，⎝ ⎛
⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．
由对称性可知选项D 正确．
综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.
8. 【答案】C
[解析] 如图，设BE ＝CF ＝x cm ，则EF ＝(80－2x )cm.∵△EFM 和
∠CFN 都是等腰直角三角形，
∴MF ＝2
2EF ＝(40 2－2x )cm ，FN ＝2CF ＝2x cm ，
∴包装盒的侧面积＝4MF ·FN ＝4·2x (40 2－2x )＝－8(x －20)2＋3200， 故当x ＝20时，包装盒的侧面积最大．
二、填空题
9. 【答案】144 【解析】∠围墙的总长为50 m ，设3间饲养室合计长x m ，则饲
养室的宽＝48－x 4 m ，∴总占地面积为y ＝x·48－x 4＝－1
4x 2＋12x(0＜x ＜48)，由y
＝－14x 2＋12x ＝－14(x －24)2＋144，∵x ＝24在0＜x ＜48范围内，a ＝－1
4<0，∴在0＜x≤24范围内，y 随x 的增大而增大，∴x ＝24时，y 取得最大值，y 最大＝144 m 2.
10. 【答案】2.5．
【解析】令s ＝0，得15t －6t 2＝0，解得t 1＝2.5，t 2＝0（不合题意，舍去），故答案为2.5．
11. 【答案】75
[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为
27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－30
2×（－3）＝5时，S 最大，S
最大值
＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲
养室总占地面积最大为75 m 2.
12. 【答案】20
[解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －3
2t 2
＝－3
2(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.
13. 【答案】y ＝－1
9(x ＋6)2＋4
14. 【答案】①②③
[解析] 由题意知，当70≤x≤150时，y ＝－2x ＋400，
∵－2＜0，∴y 随x 的增大而减小，
∴当x ＝150时，y 取得最小值，最小值为100，故①正确； 当x ＝70时，y 取得最大值，最大值为260，故②正确； 设销售这种文化衫的月利润为W 元，
则W ＝(x －60)(－2x ＋400)＝－2(x －130)2＋9800， ∵70≤x≤150，
∴当x ＝70时，W 取得最小值，最小值为－2(70－130)2＋9800＝2600，故③正确；
当x ＝130时，W 取得最大值，最大值为9800，故④错误． 故答案为①②③.
15. 【答案】0.5 [解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐
标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y ＝ax 2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a ＝2，h ＝0.5.
16. 【答案】1.6
秒 【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t ＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒， 所以此时第一个小球抛出后t ＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．
三、解答题
17. 【答案】
解：(1)设该店每天卖出A ，B 两种菜品分别为x 份，y 份． 根据题意，得⎩⎨⎧20x ＋18y ＝1120，
（20－14）x ＋（18－14）y ＝280，
解得⎩⎨⎧x ＝20，y ＝40.
20＋40＝60(份)．
答：该店每天卖出这两种菜品共60份．
(2)设A 种菜品每份的售价降0.5a 元，即每天卖出(20＋a)份，总利润为w 元．因为两种菜品每天的销售总份数不变，所以B 种菜品每天卖出(40－a)份，每份售价提高0.5a 元．
则w ＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40－a) ＝(6－0.5a)(20＋a)＋(4＋0.5a)(40－a) ＝(－0.5a 2－4a ＋120)＋(－0.5a 2＋16a ＋160) ＝－a 2＋12a ＋280 ＝－(a －6)2＋316.
当a ＝6时，w 最大，w 最大值＝316.
答：这两种菜品一天的总利润最多是316元．
18. 【答案】
解：（1）设W =kx 2.把x =3，W =3代入，得3=9k ,解得k =13.∴W =1
3
x 2.
（2）①Q =13（6-x ）2-13x 2=13 x 2-4x +12-1
3
x 2=-4x +12.
②由题意，得-4x +12=3×1
3
x 2，解得x 1=2,x 2=-6（不合题意，舍去）.∴x =2.
【解析】本题考查了函数的图像和性质，观察函数图像是正确解题的前提．（1）分别将x =-3和x =3代入函数表达式261
x
y x =
+即可；（2）①该函数图像是中心对称图形，不是轴对称图形，故①错误；由函数图像的最高点和最低点可确定它的最大值和最小值，进而可知②正确；观察函数图像可知当x ＜-1或x ＞1时，图像从左向右是下降的，即y 随x 的增大而减小；当-1＜x ＜1时，图像从左向右是上升的，y 随x 的增大而增大．故③正确；（3）2
6211x x x >-+的解集即2
61
x
y x =+的图像在y =2x -1的图像上方时x 的取值范围.
亲爱的读者：
纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行！
+读书不觉已春深，一寸光阴一寸金；少壮不努力,老大徒伤悲。

唯有努力，方得成功，之所谓吃得苦中苦，才得分数优
春去燕归来，新桃换旧符。

在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。