第二章恒定电场

表明 1 导体表面是一条电流线。
γ2
∴ D 2 n − D1n = ε 2 E 2 n = σ
图2.3.2 导体与理想介质分界面
γ1
表明 2 导体与理想介质分界面上必有恒定（动态 平衡下的）面电荷分布。
E1t = E2t
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。 若 γ 1 → ∞ （理想导体），导体内部电场为零， 电流分布在导体表面，导体不损耗能量。 导体周围介质中的电场E2 = E2t e x + E2ne y
S
J = γE
∇ 2ϕ = 0
D1n = D 2 n
E1t = E 2 t
I = ∫ J ⋅dS S E1t = E 2 t J 1n = J 2 n
表2 两种场对应物理量 静电场 (ρ = 0) 导电媒质中恒定电场（电源外）
E E
ϕ
D J I
q
ε
γ
两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过对 一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。
s L s
即
G γ = C ε
静电系统的部分电容可与多导体电极系统的部分电导相互比拟。（自学）
媒质的电导率为 γ ，介电常数为 ε 。
例2.5.1 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为R1、R2，长度为l ,中间 解法一 设 直接用电流场的计算方法
I→J= I 2πρ l
R1
→E=
J
γ
=
I 2πρ lγ
1 2
→ ∞ ，则 α 2 ≈ 0
它表明，只要 α1 ≠
π
2
，电流线垂直于良导体表面穿出，良导体表面近似为等位面。
b） 媒质1是导体，(γ 1 ≠ 0 ) 媒质2是理想介质 (γ 2 = 0) 情况。
Q γ 2 = 0 J2 = 0
Q E2n = J 2n ≠0
∴ J2n = J1n = 0
E1n = J1n
1 ∂ 2ϕ 2 ∇ ϕ2 = 2 =0 2 ρ ∂φ
2
(γ 2 区域）
场域边界条件
图2.3.3 不同媒质弧形导电片
ϕ
φ =0
= 0,
γ1
ϕ2
φ=
π
2
,
= U0
衔接条件
ϕ1 = ϕ2
∂ϕ1 ∂ϕ π = γ 2 2 , (φ = ) ρ ∂ϕ ρ ∂ϕ 4
电位 电场强度 电荷面密度 E, σ 与
4γ 2U 0 (γ 1 − γ 2 )U 0 ϕ1 = φ+ , π (γ 1 + γ 2 ) γ1 +γ 2
图2.2.2 恒定电流的形成
2.2.2 电源电动势与局外场强
设局外场强为 Ee =
fe q
，则电源电动势为 ε = ∫ Ee ⋅ dl
l
(V )
电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。 考虑局外场强E e
J = γ (E + Ee)
因此
∫ (E + E
l
e
) ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E e ⋅ dl
∂q ∂t
散度定理
∂ = 0 ∂t
∫ J ⋅ dS = 0
S
∫ ∇ ⋅ J dV = 0
V
∇⋅ J = 0
恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。
∫
l
E⋅ dl = 0
斯托克斯定理
∫(∇×E)⋅ dS = 0
s
恒定电场是无旋场。
3. 恒定电场（电源外）的基本方程
∫
s
J ⋅ dS = 0
∇⋅ J = 0
γU0 γU h R (−eφ ) ⋅ hdρ(−eφ ) = 0 ln 2 S R ρθ θ R1 I γh R2 G= = ln (S m) U0 θ R1
2.5.2 接地电阻
安全接地与工作接地的概念 接地器电阻 接地电阻 接地器与土壤之间的接触电阻 土壤电阻（接地电阻以此电阻为主） 1. 深埋球形接地器 解：深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无 限大区域 (γ ) 的孤立圆球的电流场相似。 解法一 直接用电流场的计算方法
静电场
=
图2.4.1
+
γ 2 为空气
(γ 2 = 0) , 则
(τ ′ =
ε1 − ε 2 2ε 2 τ , τ ′′ = τ) ε1 + ε 2 ε1 + ε2
静电场与恒定电流场的镜像法比拟
若 γ 1 为土壤 (γ1 ≠0),
I ′ = I , I ′′ = 0 。
2. 恒定电场便于实验—某些静电场问题可用恒定电流场实验模拟 实验模拟方法 固体模拟 液体模拟 （媒质为固体，如平行板静电场造型） （媒质为液体，如电解槽模拟）
∂ϕ2 ∂ϕ2 =γ 2 γ1 ∂n ∂n
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程 的解答（边值问题）。 恒定电场中是否存在泊松方程？
例2.3.2
试用边值问题求解电弧片中电位、电场及面电荷的分布？
0 解：选用圆柱坐标，边值问题为： 0 1 ∂ ∂ϕ 1 1 ∂ 2ϕ1 ∂ 2ϕ 1 2 ∇ ϕ1 = (ρ )+ 2 + = 0 (γ 1 区域） 2 2 ∂ρ ∂z ρ ∂ρ ρ ∂φ
l l
=0+ε =ε
局外场 Ee 是非保守场。
图2.2.3 电源电动势与局外场 强
2.3 恒定电场的基本方程 • 分界面上的衔接条件 • 边值问题 2.3.1 恒定电场的基本方程
1. J的散度 电荷守恒定律 在恒定电场中 故 2. E的旋度 所取积分路径不经过电源，则 得
∫ J ⋅ dS = −
S
E1 = − 4γ 2U0 eφ π (γ 1 +γ 2 )ρ E2 = − 4γ 1U0 eφ π (γ 1 +γ 2 )ρ
4γ 1U 0 ϕ2 = φ π (γ 1 + γ 2 )
σ = ε0 E1 −ε0 E2 =
4ε0U0 (γ 1 -γ 2 ) π (γ 1 +γ 2 )ρ
φ无关，是 ρ的函数。
1. 直接用电流场计算
I γ U I 设 U( 或ϕ ) → E → J = γ E → I = ∫ J ⋅ dS → G = U 2. 静电比拟法
设 I→ J → E=
J
→ U = ∫ E ⋅ dl → G =
当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电比拟法，由电容计算电导。
C Q U ∫sD⋅ ds ∫LE⋅ dl ε∫sE⋅ ds ε = = = = G I U ∫ J ⋅ ds ∫ E⋅ dl γ ∫ E⋅ ds γ
第二章
恒定电场
基本概念： • 电介质中的静电场 • 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场 • 通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场 基本物理量
J
欧姆定律
J 的散度
基本方 程 边值问题
E 的旋度
边界条件
电位
一般解法
电导与接地电阻
图 2.0.2
恒定电场的知识结构框图
特殊解（静电比拟 ）
2.1 导电媒质中的电流 2.1.1电流强度
U = ∫ E ⋅ dl = ∫
R2
I 2πρlγ
dρ =
I 2πγ l
ln
R2 R1
电导
图2.5.1 同轴电缆横截面
G =
I U
=
2 πγ l R2 ln R1
解法二
静电比拟法
绝缘电阻
R=
1 1 R = ln 2 G 2πγ l R1
由静电场解得
2 πε l C = , R2 ln R1
2 πγ l G = R2 ln R1 ,
2.4.2 静电比拟的条件 • 两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）; • 相应电极的电压相同;
1 件 r = ε1 时，则这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。
• 若两种场中媒质分布片均匀，只要分界面具有相似的几何形状，且满足条
r 2
ε2
1.
2.4.3 静电比拟的应用 静电场便于计算—— 用静电比拟方法计算恒定电场
2.4 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 2.4.1 静电比拟
表1 两种场所满足的基本方程和重要关系式 静电场
∇×E =0
∇⋅D =0 D = εE
(ρ = 0)
→ E = −∇ ϕ
导电媒质中恒定电场（电源外）
∇×E =0
∇⋅J = 0
→ E = −∇ ϕ
∇ 2ϕ = 0
q = ϕ D = ∫ D ⋅ dS
2.1.4 焦尔定律的微分形式 导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。可以证明其功率的体密度为
p = J⋅ E
（W/m 3 ）
——焦耳定律的微分形式
电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即
P = UI = I 2 R
（W）
——
焦耳定律的积分形式
2.2 电源电势与局外场强
2.2.1 电源 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非 静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬到A极板 。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电 能装置称为电源。
J = ρv
电流
I=
A m2
亦称电流密度
∫
S J ⋅ dS
图2.1.2
电流面密度
2. 电流线密度 分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流。
K = σv
电流
Am
I = ∫ (K ⋅ en )dl
l
en 是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量
工程意义： • 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布； • 媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电 流线密度表示,如图示； • 交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流 趋於表面分布，可用电流线密度表示。 3、线电流
图2.3.3 载流导体表面的电场
2.3.3 恒定电场的边值问题 由基本方程出发 ∇ × E = 0 → E = −∇ϕ
∇ ⋅ J = 0 → ∇ ⋅ (γE) = γ∇ ⋅ E = −γ∇ ⋅ ∇ϕ + E ⋅ ∇γ = 0
J = γE
γ = 常数
得
∇2ϕ = 0
分界面衔接条件
拉普拉斯方程
ϕ1 = ϕ2
tanα1 γ 1 = tanα2 γ 2
图2.3.1
电流线的折射
例2.3.1 两种特殊情况分界面上的电场分布。
γ 2 = γ = 10 −2 s / m 。 解：a ) 媒质1是良导体，γ 1 = 5 × 10 s / m ，媒质2是不良导体, 土壤
7
由折射定理得
tan α tan α
1 2
=
γ γ
图2.1.3 电流线密度及其通量
τ 分布的线电荷沿着导线以速度 v 运动形成的电流I = τv 。
图2.1.4
媒质的磁化电流
4. 元电流的概念： 元电流是指沿电流方向上一个微元段上的电流，
vdq → vρdv , vτds , vτdl
即 Jdv, Kds, Idl 。 2.1.3 欧姆定律的微分形式 电场是维持恒定电流的必要条件。可以证明
工程近似 在两种场的模拟实验中，工程上往往采用近拟的边界条件处理方法 静电场——电极表面近似为等位面； 恒定电流场——电极表面近似为等位面（ 条件 γ 电极 工程上的实验模拟装置。 图示恒定电流场对应什么样的静电场？比拟条件？
>> γ
媒质
）。
图2.4.2
静电场平行板造型
2.5 电导与接地电阻 2.5.1 电导的计算
∇× E = 0
J =γ E
∫
e
E ⋅ dl = 0
• 恒定电场是无源无旋场。
2.3.2
分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件
∫ E ⋅ dl = 0 ∫ J ⋅ dS = 0
L S
⇒ E1t = E2t ⇒ J1n = J2n
说明分界面上电场强度的切向分量是连续的， 电流密度法向分量是连续的。 折射定律为
单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
I =
dq dt
A
I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。
2.1.2 恒定电场的基本物理量——电流密度
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒 质中，它与电场强度方向一致。 1.电流面密度 ρ 分布的体电荷以速度v作匀速运动形成的电流。
图2.1.1 电流面密度矢量
图2.5.3深埋球形接地器
∞ I J I I I →U = I→J = →E= = dr = ∫a 4πγr 2 4πγa γ 4πγr 2 4πr 2 R =1 4πγa
C ε = 关系式得 则根据 G γ
绝缘电阻
同轴电缆电导
R2 R= ln 2πργ l R1
1
ϕ 例2.5.2 求图示电导片的电导，已知给定 φ = 0 时， = 0 ; φ = θ 时 ,ϕ = U 0 。
ϕ 解：取圆柱坐标系，= ϕ (φ ) ，边值问题：
1 ∂ 2ϕ ∇ ϕ = 2 2 =0 ρ ∂φ
2
ϕ φ =0 = 0 , ϕ φ =θ = U0
方程通解为
ϕ = C1φ + C2 ，代入边界条件，可得
U0
电位函数 ϕ = (
图2.5.2 弧形导电片
θ
)φ ,
E = −∇ϕ =
− ∂ϕ U eφ = − 0 eφ ρ∂φ ρθ
电流密度
J = γE = −
R2
1
γU0 eφ ρθ
电流 电导
I = ∫ J ⋅ dS = ∫
图2.1ห้องสมุดไป่ตู้6
J与E之关系 E
J =γE
欧姆定律的微分形式。
式中 γ 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。 • • 恒定电流场与恒定电场相互依存。电流J与电场E方向一致。 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即 U=RI
• 在各向同性导电媒质中，电位移矢量D 线与电流密度J 线方向是否一致？ • 电流线密度K = γ E 是否成立？