(完整版)14.2.命题、定理与证明综合训练学案

第14．2节《命题与证明》综合训练学案
主备人：汪剑
学习目标：
1、掌握命题、命题的结构、形式，命题的种类；
2、公理、定理的概念；
3、初步掌握证明的一般步骤；
4、掌握三角形的内角和定理及其推理、三角形的外角和定理，并能简单运用
知识回顾：
1、研究几何问题时，从观察和实验得到的认识，有时会有，难以使人确信=其结果一定正确。

因此，就得在观察的基础上有理有据地。

这就是说，要判断数学命题的真假，需要作必要的。

2、在逻辑学中，凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做。

正确的命题叫，错误的命题叫。

要说明一个命题是假命题，只要举出个反例。

3、以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的（或题设），q是这个命题的的（或结论）。

4、将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为，其中的一个叫做，另一个叫做原命题的。

5、在数学命题的研究中，为了确认某些命题是真还是假，需要对命题的正确性进行论证。

在论证过程中，必须追本求源，最后，只能确定几个不需要再作论证，其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题，作为判断其他命题真假的依据，这些作为原始根据的真命题称为；有些命题的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判定其他命题真假的依据，这样的真命题叫做；推理的过程叫做。

6、在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先，根据条件，并在图形上标出；再结合图形，写出、；然后，分析关系，找出；最后有条理地写出。

7、三角形的内角和等于。

推论1：直角三角形的两锐角。

8、由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的。

推论2：三角形的一个外角等于与它的和。

推论3：三角形的一个外角任何一个内角。

9、由公理、定理直接得出的真命题叫做。

10、为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫，在平面几何中，常用线表示。

当堂训练：
1、判断下列语句是不是命题 （1）延长线段AB （ ）
（2）两条直线相交，只有一交点（ ） （3）画线段AB 的中点（ ） （4）若|x|=2，则x=2（ ） （5）角平分线是一条射线（ ） 2、选择题
（1）下列语句不是命题的是（ ）
A 、两点之间，线段最短
B 、不平行的两条直线有一个交点
C 、x 与y 的和等于0吗？
D 、对顶角不相等。

（2）下列命题中真命题是（ ）
A 、两个锐角之和为钝角
B 、两个锐角之和为锐角
C 、钝角大于它的补角
D 、锐角小于它的余角
（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。

其中假命题有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 3、分别指出下列各命题的题设和结论。

（1）如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c （2）同旁内角互补，两直线平行。

4、分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。

（1）两点确定一条直线； （2）等角的补角相等； （3）内错角相等。

5、已知：如图AB ⊥BC ，BC ⊥CD 且∠1=∠2，求证：BE ∥CF
证明：∵AB ⊥BC ，BC ⊥CD （已知）
∴ = =90°（ ）
∵∠1=∠2（已知） ∴ = （等式性质） ∴BE ∥CF （ ）
6、已知：如图，AC ⊥BC ，垂足为C ，∠BCD 是∠B 的余角。

求证：∠ACD=∠B 。

证明：∵AC ⊥BC （已知）
∴∠ACB=90°（ ） ∴∠BCD 是∠DCA 的余角
∵∠BCD 是∠B 的余角（已知） ∴∠ACD=∠B （ ） 7、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：AD ∥BE 。

证明：∵AB ∥CD （已知） C A
B D
E F
1 2
B D A
C A D
2
∴∠4=∠ （ ） ∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠ （ ） ∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF （ ） 即∠ =∠ ∴∠3=∠ （ ） ∴AD ∥BE （ ）
8、已知，如图，AB ∥CD ，∠EAB+∠FDC=180°。

求证：AE ∥FD 。

9、已知：如图，DC ∥AB ，∠1+∠A=90°。

求证：AD ⊥DB 。

10、如图，已知AC ∥DE ，∠1=∠2。

求证：AB ∥CD 。

11、已知，如图，AB ∥CD ，∠1=∠B ，∠2=∠D 。

求证：BE ⊥DE 。

12、求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。

D A B
C E F G A B
C
D
E 1 2 A B C
D E
1 2
A
B
C
D
1
【练习答案】
1、（1）不是（2）是（3）不是（4）是（5）是
2、（1）C （2）C （3）B
3、（1）题设：a∥b，b∥c结论：a∥c
（2）题设：两条直线被第三条直线所截的同旁内角互补。

结论：这两条直线平行。

4、（1）如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线
（2）如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等。

（3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等。

5、∠ABC=∠BCD，垂直定义，∠EBC=∠BCF，内错角相等，两直线平行。

6、垂直定义；余角定义，同角的余角相等。

7、∠BAE 两直线平行同位角相等
∠BAE （等量代换）等式性质
∠BAE，∠CAD，∠CAD（等量代换）
内错角相等，两直线平行。

8、证明：∵AB∥CD
∴∠AGD+∠FDC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠EAB+∠FDC=180°（已知）
∴∠AGD=∠EAB（同角的补角相等）
∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行）
9、证明：∵DC∥AB（已知）
∴∠A+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
即∠A+∠ADB+∠1=180°
∵∠1+∠A=90°（已知）
∴∠ADB=90°（等式性质）
∴AD ⊥DB （垂直定义） 10、证明：∵AC ∥DE （已知）
∴∠2=∠ACD （两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=∠ACD （等量代换）
∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） 11、证明：作EF ∥AB ∵AB ∥CD ∴∠B=∠3（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠B （已知）
∴∠1=∠3（等量代换）
∵AB ∥EF ，AB ∥（已作，已知）
∴EF ∥CD （平行于同一直线的两直线平行） ∴∠4=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠2=∠4（等量代换）
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角定义） ∴∠3+∠4=90°（等量代换、等式性质） 即∠BED=90°
∴BE ⊥ED （垂直定义）
12、已知：AB ∥CD ，EG 、FR 分别是∠BEF 、∠EFC 的平分线。

求证：EG ∥FR 。

证明：∵AB ∥CD （已知）
∴∠BEF=∠EFC （两直线平行，内错角相等） ∵EG 、FR 分别是∠BEF 、∠EFC 的平分线（已知） ∴2∠1=∠BEF ，2∠2=∠EFC （角平分线定义） ∴2∠1=2∠2（等量代换） ∴∠1=∠2（等式性质）
∴EG ∥FR （内错角相等，两直线平行）
A B
C D E 1 2
4 3 R A B C D
E F
G
1 2。