函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)

专题02函数的应用(知识梳理)
第一节 函数与方程
1．函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系
方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图象
与x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)
(x 1,0) 无交点 零点个数 2
1
[小题体验]
1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)
答案：B
2．(教材习题改编)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______． 答案：1
3．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________． 答案：⎣
⎡⎦⎤－1，－1
2
1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横
坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
[小题纠偏]
1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝
1
2(x－2)2，则方程f(x)＝1
2的所有实数根之和是()
A．2 B．3 C．5 D．8
解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x<2时，两根之和是2，
x>2时，由1
2(x－2)2＝
1
2，解得x＝3，
故方程f(x)＝1
2的所有实数根之和是5，故选C.
2．给出下列命题：
①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；
②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；
③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；
④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．
答案：③④
考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选B∵a>1,0<b<1，f(x)＝a x＋x－b，
∴f(－1)＝1
a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，
由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．
解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0，
又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
答案：存在
[谨记通法]
确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点，如“题组练透”第2题．
考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()
A．0B．1
C．2 D．3
解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图
所示：
由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤0，
log 2
x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的
零点的
个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1， 由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫
12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12
.
若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝1
4；
若f (x )＝12，则x ＝－1
2
或x ＝ 2.
综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.
[由题悟法]
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
[即时应用]
1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3x
，x ≤1，log 1
3x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故
函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.
2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，－1<x ≤1，
f x －2＋1，1<x ≤3，则函数
g (x )＝f (f (x ))－2在区间(－
1,3]上的零点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C ∵函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，－1<x ≤1，
f x －2＋1，1<x ≤3，
∴当－1＜x ≤1时，1
2
<f (x )≤2，
当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝f (x －2)＋1＝2x －
2＋1∈⎝⎛⎦⎤32，3； 设h (x )＝f (f (x ))，
①当－1<x ≤0时，h (x )＝22x ，2<h (x )≤2， ∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝0； ②当0<x ≤1时，
h (x )＝22x －2＋1，3
2<h (x )≤2，
∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝1； ③当1<x ≤3时，h (x )＝22x －
2＋1－2＋1， 2
2
＋1<h (x )≤3，g (x )有一个零点； 综上，函数g (x )在区间(－1,3]上有3个零点，故选C. 考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a |x －2|－a ，其中a ＞0，且为常数．若函数y ＝f (f (x ))有10个零点，则a 的取值范围是________．
解析：当x ≥0时，令f (x )＝0，得|x －2|＝1， 即x ＝1或x ＝3.
因为f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (x )的零点为x ＝±1或x ＝±3. 令f (f (x ))＝0， 则f (x )＝±1或f (x )＝±3.
因为函数y ＝f (f (x ))有10个零点，
所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝±1和y ＝±3共有10个交点．由图可知1＜a ＜3.
答案：(1,3)
[由题悟法]
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
[即时应用]
1．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤
12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－1
4∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1
4，2. 答案：⎣⎡⎦
⎤－1
4，2 2．(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2＋3x －2＝0的解可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝2
x
的图象交点的横坐标．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点
⎝⎛⎭
⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，方程x 4＋ax －4＝0的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4
x 的交点的横坐标，而曲线y ＝x 3＋a 是由函数y ＝x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实数根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭
⎫x i ，4
x i
(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，如图，结
合图象可得⎩⎪⎨
⎪⎧ a >0，
－23＋a >－2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a <0，
23＋a <2，解得a <－6或a >6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6)∪(6，＋∞)．
答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)
第二节 函数模型及其应用
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函 数模型 f (x )＝k
x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型
f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型
f (x )＝ba x ＋c
(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c
(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)
函数 性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化
随x 的增大 逐渐表现为 随x 的增大 逐渐表现为
随n 值变化 而各有不同
与y轴平行与x轴平行
值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x
3.解函数应用问题的4步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
以上过程用框图表示如下：
[小题体验]
1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()
答案：B
2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．
答案：200
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
[小题纠偏]
1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
答案：D
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．
答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一
段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安
全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)
时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角
坐标系．
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．
设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.
(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，
方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)
将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.
即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.
(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.
由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．
令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1
h
2[x －(2＋h )]2＋4，
则⎩⎨⎧
f 5＝－1
h 2
3－h 2
＋4≥0，
f
6＝－1
h
2
4－h
2＋4≤0.
解得1≤h ≤4
3
.
故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤1，43. [由题悟法]
二次函数模型问题的3个注意点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
[即时应用]
A ，
B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．
(1)求x 的取值范围；
(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；
(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋5
2
(100－x )2(10≤x ≤90)．
(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003， 所以当x ＝
1003时，y min ＝50 000
3
. 故核电站建在距A 城100
3 km 处，能使供电总费用y 最少．
考点二 函数y ＝x ＋a
x
模型的应用重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝
k
3x ＋5
(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k 的值及f (x )的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．
解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，
因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5
(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5
－10≥2 6x ＋10·f(8003x ＋5)－10＝70(万元)， 当且仅当6x ＋10＝
8003x ＋5， 即x ＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．
[由题悟法]
应用函数y ＝x ＋a x
模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x
叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x
的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x
的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x
求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]
“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 50x ＋250
(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简；
(2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？
解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，
∵C (0)＝k 250
＝4， ∴k ＝1 000，
∴y＝0.2x＋
1 000
50x＋250
×4＝0.2x＋
80
x＋5
(x≥0)．
(2)y＝0.2(x＋5)＋80
x＋5－1≥20.2×80－1＝7，
当x＋5＝20，即x＝15时，y min＝7，
∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．
考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)
A．2018年B．2019年
C．2020年D．2021年
解析：选B法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由
130(1＋12%)n＞200，得 1.12n＞20
13，两边取常用对数，得n＞
lg 2－lg 1.3
lg 1.12≈
0.30－0.11
0.05＝
19
5，∴n≥4，
∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以a n＝130×1.12n－
1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞lg 2－lg 1.3
lg 1.12，又
lg 2－lg 1.3
lg 1.12≈
0.3－0.11
0.05＝3.8，
则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
[由题悟法]
指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．
[即时应用]
某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭
⎫12t －a ，t >1， 当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，
由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.
所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，
解得116
≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916
(小时)．。