高考复习数学第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

角度 sin α，cos α 的齐次式问题 [例 2] 已知tatnanα－α 1＝－1，求下列各式的值． (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα； (2)sin2 α＋sin αcos α＋2.
解：由已知得 tan α＝12. (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－ ＋31＝－53.
D．±2
5 5
所以 cos α＝－23，
则 α 为第二或第三象限角，
所以 sin α＝±
1－cos2
α＝±
5 3.
5
所以
tan
α＝csions
αα＝±－323
＝±
5 2.
答案：C
6．sin 2 490°＝________；cos－523π＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12. cos－523π＝cos 523π＝cos16π＋π＋π3＝cosπ＋π3＝ －cos π3＝－12. 答案：－12 －12
(2)sin2 α＋sin αcos α＋2＝sins2inα2＋α＋sincoαsc2oαs α＋2＝
tan2 α＋tan tan2 α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
角度 sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
[例 3] 已知 x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝15.
1．已知 a∈(0，π)，且 cos α＝－153，则 sinπ2－α· tan α＝( )
由 x∈(－π，0)，知 sin x<0，又 sin x＋cos x>0，
所以 cos x>0，所以 sin x－cos x<0，
故 sin x－cos x＝－75.
sin (2)
2x＋2sin2 1－tan x
x＝2sin
x（cos x＋sin
1－csions
x x
x）＝
2sin
xcos x（cos x＋sin cos x－sin x
2kπ＋α π＋α
(k∈Z)
－α
π－α π2－α π2＋α
sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
tan α tan α －tan α －tan α — —
1．同角三角函数关系式的常用变形． (1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. 2．诱导公式的记忆口诀． “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的 奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
新课程标准
考向预测
1.同角三角函数基
1.理解同角三角函数的基本关系
本关系式的应用
式：sin2 x＋cos2 x＝1，csions xx＝tan x．
2.诱导公式的应用
命题角度
2.借助单位圆中的三角函数线推导
3.同角三角函数基
出诱导公式
本关系式与诱导
π2±α，π±α的正弦、余弦、正切.
公式的活用
核心素养
数学运算
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1. (2)商数关系：tan α＝csions αα. 提示：平方关系对任意角都成立，而商数关系中 a≠ kπ＋π2(k∈Z)．
2．诱导公式
一
二
三
四五六
解析：tan
θ＋csions
θθ＝csions
θθ＋csions
θθ＝cos
1 θsin
θ＝2.
答案：2
题组二 易错自纠
常见误区：①用平方关系求角时，没有考虑角的象限
致误；②诱导公式记忆不熟致误．
5．已知 cos(π＋α)＝23，则 tan α＝( )
A．
5 2
B．2 5 5
C．±
5 2
解析：因为 cos(π＋α)＝23，
x）＝－22457×15＝－12745.
5
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2 α＋cos2 α＝1 可实现角 α 的正弦、余弦的 互化，利用csions αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外 两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时， 会出现两解，需根据角所在的象限判断角的符号，当角所 在的象限不明确时，要进行分类讨论． (3)当分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次式 时，往往转化为关于 tan α 的式子求解．
考点 1 同角三角函数基本关系式的应用 角度 “知一求二”问题
[例 1] 已知 x∈π2，π，tan x＝－43，则 cos(－x－π2) 等于( )
A．35
B．－35
C．－45
解析：因为 tan x＝csions xx＝－43，
D．45
所以 cos x＝－34sin x，
所以 sin2 x＋cos2 x＝sin2 x＋196sin2 x＝2156sin2 x＝1， 所以 sin2 x＝1265. 又 x∈π2，π，所以 sin x＝45， 所以 cos－x－π2＝cosπ2＋x＝－sin x＝－45. 答案：C
3．在△ABC 中：
(1)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，
tan(A＋B)＝－tan C.
(2)sin
A＋2 B＝cos
C2 ，cos
A＋2 B＝sin
C 2.
题组一 小题自测 1．tan－233π的值为( A． 3 B．－ 3 答案：A
)
C．
3 3
D．－
3 3
2．若 cos α＝13，α∈－π2，0，则 tan α 等于(
)
Байду номын сангаас
A．－
2 4
B．
2 4
C．－2 2 D．2 2
答案：C 3．已知 sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则 sin(π＋α)等于
() A．35
B．－35
C．45
D．－45
答案：D
4．(人 A 必修 4·习题改编)若 sin θcos θ＝12，则 tan θ＋
cos sin
θθ＝________．
(1)求 sin x－cos x 的值；
(2)求sin
2x＋2sin2 1－tan x
x的值．
解：(1)由 sin x＋cos x＝15，
得 sin2 x＋2sin xcos x＋cos2 x＝215，
整理得 2sin xcos x＝－2245.
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295.