《电路分析》——动态电路时域分析

iL(0+)= iL(0－) 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
注意:
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
《电路分析》——动态电路时域分 析
LC
L iL(0)
+
C uC(0)
-
LC
(a) 稳态时 的L和C
(b) 换路前有储能 的L和C
(c) 换路前无 储能的L和C
第5章 动态电路的时域分析
重点
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和
全响应求解； 3. 稳态分量、暂态分量求解； 4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
《电路分析》——动态电路时域分 析
由电源和电阻器构成的电阻性网络，是用代 数方程来描述的，求解过程不涉及微分方程。
0
t
零输入响应
《电路分析》——动态电路时域分 析
5.3.2 一阶RC电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所 产生的电压和电流。
已知 uC (0－)=U0 ; uS =0
t
uc (t) U0e RC t 0
ic (t)
U0 R
e
t RC
t0
《电路分析》——动态电路时域分
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
e(t)
t0
(3)高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
an
d
n f (t) dt n
an1
d
n1 f (t) dt n1
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
e(t)
t0
《电路分析》——动态电路时域分 析
动态电路的分析方法
（1）根据KVl、KCL和VCR建立微分方程 （2）求解微分方程
《电路分析》——动态电路时域分 析
动态电路的两个简单例子
《电路分析》——动态电路时域分 析
电容电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uC
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充 电完毕，电路达到新的稳定状态
(t →)
i
i = 0 , uC= Us
Us
R+
《电路分析》——动态电路时域分
K为任意常数析，将由初始条件确定。
常数K的确定 : 得
若已知初始条件 f (t0 ) F0
e f (t ) F 《电at路0 分析》—p 析—动0 态电路时0域分
代入
(2)二阶电路
二阶电路中有二个动态元件,描述电 路的方程是二阶线性微分方程。
a2
d 2 f (t) dt 2
U0
+自由分量(暂态解)
0
U0 -US
稳态解
uc
u" C
u' C
全解
t
暂态解
特点：物理概念清《晰电路分析》——动态电路时域分
析
（2）着眼于因果关系
特点：便于叠加计算
t
t
uC (t) US (1 e ) U0e
(t 0)
零状态响应
零输入响应
全响应= 零状态响应 + 零输入响应
K(t=0) R
R1 i2
i3
R2
R3
CL
iC(0)i2(0)0
(2) 由换路定律
uC(0+)= uC(0－) iL(0+)= iL(0－)
uC(0)uC(0)4V iL (0 ) iL (0 ) i3 (0 ) 2
(3) 由0+等效电路求
i2(0)uSR uC 2(0)18 241
《电路i 分1 析( 0 》 —) 析— 动态i2 电( 路0 时 域) 分 i3 ( 0 ) 1 2 3
例
求 iC(0+) , uL(0+)
解 由0－电路得：
L iL
+ uL –
iC+
IS
K(t=0)
R
C
uC
–
IS R
0－电路
0+电路 IS
+ uL – R
iL(0+) = iL(0－) = IS
iC
+ R IS –
uC(0+) = uC(0－) = RIS
由0＋电路得：
iC (0 )
Is
RI S R
具有储能元件的电路为动态电路。动态电路 用微分方程来描述 。
含储能元件的电路在发生换路后，会从换路 前的稳定状态转换到换路后的稳定状态。这个过 程，称为过渡过程。
过渡过程的时间是极为短暂的，也常称这一 过程为瞬态过程。由于这短暂的过程对控制系统、 计算机系统、通讯系统关系重大，所以将是我们 分析、讨论的重点。
求电流i和电压dtdu80微分方程的通解为dtdudtdu562如图rlc并联电路1建立电路的运动方程并与rlc串联电路比较dtdigldtglslcslc82特征根可能出现以下三种情84最后得到电感电流和电容电压sincos85由此可得sin0586求二阶电路全响应的步骤564一般二阶电路分析t为变量列出两个微分方程2利用微分算子s和1s将微分方程变换为两个代数方程3联立求解两个代数方程得到解改写为形式再反变换列出二阶微分方程87563kvldtdidtdi2h3hdtdidt101122dtdidtdtdi88564电路瞬态过程是振荡性的还是非振荡性的与输入及初始状态无关当电路的固有频率为复数时瞬态过程是振荡的
K=U0 - US
稳态解 uC' = US t
暂态解 uC Ke
=RC
《电路分析》——动态电路时域分
析
全响应的两种分解方式
uC t uCp t uCh t uS (u0 us )et RC
t0
强制分量(稳态解)
自由分量(暂态解)
（1） 着眼于电路的两种工作状态
uc
US
= 全响应 强制分量(稳态解)
– U S uc
US
R
i
第三个稳定状态
前一个稳定状态 0 有一过渡期
t1第二个稳定状态 t
过渡状态
《电路分析》——动态电路时域分 析
电感电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uL
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uL = 0
L K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
(t →)
0
uL(0+)= - RIS
《电路分析》——动态电路时域分 析
例5.1.3 求K闭合瞬间流过它的电流值。
解 （1）确定0－值
iL (0
)
iL (0
)
200 200
1A
uC (0 ) uC (0 ) 100V
i1 + u
S
R1
S
i
iL R2
+ u
C
i
C
C
+ uL L
i
S
（2）给出0＋等效电路
ik
电路中只有一个动态元件,描述电路的方 程是一阶非齐次常系数微分方程。
df (t) af (t) g(t) dt
通解 f (t) f p (t) fh (t)
f (t) af (t) 0 dt
设齐次方程的解 fh (t) est
特解
代入齐次微分方程 sest a est 0
sa
fh (t) eat
可见电感电流发生了跃变。根据磁链守恒
L1iL1 0 L2iL20 L1iL1 0 L2iL20
由上两式解得
iL1 0
iL2 0
L1iL10
L1
L2iL2 0
L2
2 11
1
A
uC 0 uC 0 6 V
《电路分析》——动态电路时域分 析
5.2 常系数微分方程经典解法
(1)一阶电路
i
uL= 0, i=Us /R
Us
R+
uL
–
L
i
US
?
US/R
UL
有一过渡期 前一个稳定状态 0
t1 新的稳定状态 t
过渡状态
《电路分析》——动态电路时域分 析
(t →)
i
K未动作前，电路处于稳定状态
R+
Us
uL L
uL= 0, i=Us /R
–
K断开瞬间
i
i = 0 , uL =
R+
Us
K
uL L
a1
dx dt
a0 x
US
t
a0 x US
dx 0 dt
《电路分析》——动态电路时域分 析
5.3 一阶RC电路的响应
5.3.1 一阶RC电路的电路方程 例
T<0时，电路处于稳态，由电容VCR
aS R
+ b+
u
u
0
S
+
i
C
u C
uC (0 ) u0
T>0时，电路处于动态，由KVL
Ri uc (t) uS (t)
本章 采用
时域分析法
经典法 状态变量法 卷积积分 数值法
复频域分析法
拉普拉斯变换法 状态变量法 付氏变换
《电路分析》——动态电路时域分
工程中高阶微分方程应用析计算机辅助分析求解。
稳态分析和动态分析的区别
稳态
动态
恒定或周期性 换路发生很长时间后状态 微分方程的特解
任意 换路发生后的整个过程 微分方程的一般解
i
K(t=0) R
i
US
= +uR–
C
+
uC
–
US
+ +uR– C
+
uC
–
uC (0－)=U0
uC (0－)=0
K(t=0) R
i
+uR–
C
+
uC
–
uC (0－)=U0
《电路分析》——动态电路时域分 析
u C U S(1 et) U 0 et
零状态响应
uc
全响应
(t 0 )
零输入响应
US
U0
零状态响应
uC
C
U S uc
US
–
R?
i
前一个稳定状态
有一过渡期
0
t1新的稳定状态
过渡状态
t
《电路分析》——动态电路时域分
析
(t <t2)
i
K未动作前，电路处于稳定状态
R+Usu来自 Ci = 0 , uC= Us
–
K动作后很长时间，电容放电完毕，
(t = t2)
i
电路达到新的稳定状态
R+
K
uC C
i = 0 , uC = 0
RC
duc (t) dt
uc (t)
uS
(t)
u (0 ) u (0 ) u 根据换路定则
《电路分析》——动态电路时域分
C
析C
0
根据上节介绍的一阶微分方程的求解方法,可得此 微分方程的通解为:
uC t uCp t uCh t uS Ket RC
由起始值定K uC (0－)=U0 uC (0+)=K+US=U0
初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值
《电路分析》——动态电路时域分 析
（2）换路定律
qc (0+) = qc (0－) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， uC (0+) = uC (0－) 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
L (0+)= L (0－) 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
电容与电感在稳态和换路前的等效模型
《电路分析》——动态电路时域分 析
（3）求电路初始值的一般步骤
(1) 由0－电路（一般为稳定状态）求 uC(0－)或iL(0－)
(2) 由换路定律
qc (0+) = qc (0－) uC (0+) = uC (0－) 得uC(0+)或iL(0+)
L (0+)= L (0－)
2. 动态电路的基本概念
• 换路：电路的接通、切断、短路、电路参数的突 然改变、电路连接方式的突然改变、电源输出的 突然改变等，通称为换路。
• 换路定则：网络在t0时换路，换路后的t0+ ，
对C：只要|iC|≤M(有限量)，vC不会跳变； 对L：只要|vL|≤M(有限量)， iL不会跳变。
• 电路的初始条件： t = t0+ 时电路变量的值称为电 路的初始状态，这些初始状态也就是求解该电路 的微分方程所必需的初始条件。因此，确定电路 的初始条件是很重要的。
–
注意工程实际中的 过电压过电流现象
《电路分析》——动态电路时域分 析
5.1 动态电路的初始条件
1. 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点：
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变 化过程称为电路的过渡过程。
《电路分析》——动态电路时域分 析
uC(0－)=0
iL(0－)=0
+
u S
uR (0 ) uS uC (0 ) uS 20 V
iR
iL
i C+
L
C
u C
S
(2) 由换路定律
uC(0+)= uC(0－)=0
iL(0+)= iL(0－)=0 (3) 由0+等效电路求
i(0
)
uR
(0 R
)
uS R
20 2 10
iC (0 ) i(0 ) iL (0 ) 2
解 (1)由0－电路,电感短路，
电容开路得：
uC 0
R3 R1 R3
uS
310 23
6V
iL10
uS R1 R3
10 23
2A
iL2 0 0
i L1
iL2
R1 L1
L2
R2
S
+
+
u S
0.1F u C
R3
(2)换路之后，S断开，有
iL1 0 iL20
《电路分析》——动态电路时域分 析
《电路分析》——动态电路时域分 析
3. 电路的初始条件 (1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t=0时刻进行 0－ 换路前一瞬间 0＋ 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
0－0 0＋
f (0 ) f (0 )
t
f (0 ) lim f (t) t0 t0
f (0 ) lim f (t) t0 t0
《电路分析》——动态电路时域分 析
例 5.1.2
t = 0时闭合开关k 求 iL(0+)、uC(0+)、i1(0+)、 i2(0+)、 i3(0+)
t0 S
解 (1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－) i1
iL(0)i3(0)i1(0)R 1u SR 32A