高一数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率 教学课件

已知坐标平面内三点 A(－1,1)、B(1,1)、C(2， 3＋1). 导学号 09024637 (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化范围．
[ 思路分析]
y2－y1 (1)利用 k＝ 及 k＝tanα 求解； x2－x1
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 2〕求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． 导学号 09024638 (1)(－3,0)、(－2， 3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)； (4)(3,0)、(3， 3)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
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第三章 直线与方程
已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线 段相交，求直线 l 的斜率的取值范围. 导学号 09024641
[ 解析]
如图所示，直线 l 绕着 P 点，从 PA 旋转到 PB
2－－3 时，与线段 AB 相交，又因为 PA 的斜率 kPA＝ ＝5， －1＋2 2－0 1 PB 的斜率 kPB＝ ＝－2，所以直线 l 的斜率的取值范围 －1－3 1 是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
(1)∵α＝45° ，∴直线 l 的斜率 k＝tan45° ＝1，
又 P1，P2，P3 都在此直线上， 1－y1 1－5 故 kP1P2＝kP2P3＝k，即 ＝ ＝1，解得 3－2 3－x2 x2＝7，y1＝0. ∴x2＋y1＝7. y (2)x表示直线 OP 的斜率，当点 P 与点 A 重合
3－0 (1)直线的斜率 k＝ ＝ 3＝tan60° ， －2＋3
此直线的斜率为 3，倾斜角为 60° . －2＋2 (2)直线的斜率 k＝ ＝0，此直线的斜率为 0，倾斜角为 0° . 5－1 9－4 (3)直线的斜率 k＝ ＝－1＝tan135° ， －2－3 此直线的斜率为－1，倾斜角为 135° . (4)因为两点横坐标都为 3，故直线斜率不存在，倾斜角为 90° .
(2)先求出 AC、BC 斜率，进而求出 k 的范围．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
(1)由斜率公式得
1－1 3＋1－1 kAB＝ ＝0.kBC＝ ＝ 3. 1－－1 2－1 3＋1－1 3 kAC＝ ＝3. 2－－1 倾斜角的取值范围是 0° ≤α<180° . 又∵tan0° ＝0，∴直线 AB 的倾斜角为 0° . ∵tan60° ＝ 3，∴直线 BC 的倾斜角为 60° . 3 又∵tan30° ＝3， ∴直线 AC 的倾斜角为 30° .
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第三章 直线与方程
[解析] 由倾斜角α∈[0°，180°)知②错； 又平行于x轴的直线的倾斜角是0°， 这样的直线有无数条，故③④错；只有①是正确的．
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第三章 直线与方程
2．已知直线过点 A(0,4)和点 B(1,2)，则直线 AB 的斜率为 导学号 09024632 (C ) A．3
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第三章 直线与方程
(2)如右图，当斜率 k 变化时，直线 CD 绕 C 点旋转，当直线 CD 由 CA 逆时 针方向旋转到 CB 时，直线 CD 与 AB 恒有交点，即 D 在线段 AB 上，此时 k 由 3 kCA 增大到 kCB，所以 k 的取值范围为[ 3 ， 3]．
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第三章 直线与方程
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第三章 直线与方程
[警示]
在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出
判断，以免漏解．
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 3〕已知直线 l 的倾斜角 α∈(60° ，150° )，求直线 l 的斜率的取值 范围． 导学号 09024640
[ 解析] 当 α＝90° 时，斜率不存在； 3 . 3
数 学
必修② ·人教A版
第三章
直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
1 2 3
自主预习学案
互动探究学案
课时作业学案
第三章 直线与方程
自主预习学案
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第三章 直线与方程
我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P的直线l的
位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线 a、b、c、…，我们可
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第三章 直线与方程
互动探究学案
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第三章 直线与方程
命题方向1 ⇨直线的倾斜角
(1)已知直线 l 的倾斜角为 β－15° ，则下列结论中正确的是( D ) A．0° ≤β<180° C．15° ≤β<180° B．15° <β<180° D．15° ≤β<195°
(2)已知直线 l1 的倾斜角为 α1，则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2 的倾斜角 α2 为 0°或180°－α1 _________________________. 导学号 09024635
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第三章 直线与方程
忽视倾斜角是90°的直线斜率不存在致误
求经过 A(m,3)、B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角 α 的取值 范围. 导学号 09024639
[ 错解]
3－2 1 由斜率公式可得直线 AB 的斜率 k＝ ＝ . m－1 m－1
1 ①当 m>1 时，k＝ >0，所以直线的倾斜角的取值范围是 0° <α<90° ； m－1 1 ②当 m<1 时，k＝ <0，所以直线的倾斜角的取值范围是 90° <α<180° . m－1
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第三章 直线与方程
[错因分析]
当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进
行分类讨论，然后对每一类分别研究 ，得出每一类结果 ，最终解决整个问
题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是 讨论斜率的正、负．也可以分为m＝1，m>1，m<1三种情况进行讨论．
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第三章 直线与方程
1．给出下列命题： 导学号 09024631 ①任何一条直线都有惟一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30° ； ③倾斜角为 0° 的直线只有一条，即 x 轴； ④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0° ≤α<180° }与直线构成的集合 建立了一一映射关系． 正确命题的个数( A ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
『规律方法』
(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类
讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行 (或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－ ∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜
角的取值范围．
[ 解析]
B．180° －α D．90° ＋α 或 90° －α
解答本题可先借助直观图形， 再利用倾
斜角的定义求解．如图，当 l 向上方向的部分在 y 轴左侧时，倾斜角为 90° ＋α；当 l 向上方向的部分 在 y 轴右侧时，倾斜角为 90° －α，故选 D．
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第三章 直线与方程
命题方向2 ⇨已知两点坐标求倾斜角和斜率
返回导为直线 l 的倾斜率为 β － 15°，所以 0°≤β － 15°<180°，即
15°≤β<195°. (2)当α1＝0°时，α2＝0°，当0°<α1<180°时，α2＝180°－α1.
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第三章 直线与方程
『规律方法』 1.求直线的倾斜角
(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或
图示
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第三章 直线与方程
范围
0° ≤α<180°
倾斜程度 (1) 用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的___________
作用 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是： 直线上的 (2) 倾斜角 ，二者缺一不可 一个定点以及它的__________
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第三章 直线与方程
2．斜率(倾斜角为α)
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 4〕 (1)已知某直线 l 的倾斜角 α＝45° ， 又 P1(2， y1)、 P2(x2,5)、 P3(3,1)
7 是此直线上的三点，则 x2＋y1＝_________.
y (2)已知 A(3，－1)，B(1,2)，P(x，y)是线段 AB 上的动点，则x的取值范围是 1 － ，2 3 _________________. 导学号 09024642
4．(2016· 诸城高一检测)已知交于点 M(8,6)的四条直线 l1、l2、l3、l4 的倾斜角 之比为 1︰2︰3︰4， 又知 l2 过点 N(5,3)， 求这四条直线的倾斜角. 导学号 09024634
[ 解析]
6－3 ∵k2＝kMN＝ ＝1， 8－5
∴直线 l2 的倾斜角为 45° . 又∵l1、l2、l3、l4 的倾斜角之比为 1︰2︰3︰4， ∴这四条直线的倾斜角分别为 22.5° 、45° 、67.5° 、90° .
定义 记法 范围 公式 作用 α≠90° α＝90°
正切值 叫做这条直线的斜率 一条直线的倾斜角 α 的_________
斜率不存在 斜率 k＝tanα
R ______
y2 －y1 x2 －x1 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率为 k＝________
用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度
[ 正解] 当 m＝1 时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角为 α＝90° .
3－2 1 当 m≠1 时，由斜率公式可得 k＝ ＝ . m－1 m－1 1 ①当 m>1 时，k＝ >0，所以直线倾斜角的取值范围是 0° <α<90° . m－1 1 ②当 m<1 时，k＝ <0，所以直线倾斜角的取值范围是 90° <α<180° . m－1
以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同．怎样描述这种“倾斜程 度”的不同．
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第三章 直线与方程
1．倾斜角
当直线 l 与 x 轴相交时， 取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向____ 上 定义 方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角． 规 定
0° 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为____.
1 y y y 1 时，x取最小值－3，当点 P 与点 B 重合时，x取最大值 2.所以x∈－3，2.
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第三章 直线与方程
1．下图中，α 能表示直线 l 的倾斜角大小的是 导学号 09024643 ( C )
A．①
B．①②
C．①③
D．②④
[解析] ①③中直线的倾斜角为α，故选C．
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第三章 直线与方程
2．已知 P1(3,5)、P2(－1，－3)，则直线 P1P2 的斜率 k 等于 导学号 09024644 (A ) A．2
其它方法求之； (2)先求出直线的斜率k，再由k＝tanα，求倾斜角α.
2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：
α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.对应的斜率k的值依次 为0，正值，不存在，负值．
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 1〕一条直线 l 与 x 轴相交，其向上方向与 y 轴正方向所成的角 为 α(0° ＜α＜90° )，则其倾斜角为( D ) 导学号 09024636 A．α C．180° －α 或 90° －α
[ 解析]
B．2
2－4 直线 AB 的斜率 k＝ ＝－2. 1－0
C．－2
D．不存在
45° 导学号 09024633 3． 一条直线的斜率等于 1， 则此直线的倾斜角等于_______.
[ 解析] 设倾斜角为 α，则 tanα＝1，又∵0° ≤α<180° ，∴α＝45° .
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第三章 直线与方程
当 α∈(60° ，90° )时，k∈( 3，＋∞)； 当
α∈(90° ，150° )时，k∈ －∞，－
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第三章 直线与方程
数形结合思想与代数式的几何意义
y2－y1 y－3 由于经过 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点的直线的斜率 k＝ (x ≠x )， 因此， x2－x1 1 2 x＋1 y 的几何意义为动点 P(x，y)与定点 A(－1,3)连线的斜率，x表示动点 P(x，y)与原点 O(0,0)连线的斜率．