高考专题 新津中学高三5月月考数学试题(文科)

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
新津中学高三
5月月考数学试题（文科）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|05}A x x =<<，2
{|230}B x x x =-->，则A B =（ ） A . (0,3) B . (3,5) C . (1,0)- D .(0,3] 2．复数1
i (0)z a a a a
=
+∈≠R 且对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 3．命题“2
,x x x ∀∈≠R ”的否定是 （ ）
A ．2,x x x ∀∉≠R
B ．2,x x x ∀∈=R
C ． 2,x x x ∃∉≠R
D ．2
,x x x ∃∈=R 4．已知函数2
()f x x -=，3
()tan g x x x =+，那么 （ ） A. ()()f x g x ⋅是奇函数 B. ()()f x g x ⋅是偶函数 C. ()()f x g x +是奇函数 D. ()()f x g x +是偶函数 5．已知等比数列{}n a 中，2109a a =，则57a a + （ ）
A. 有最小值6
B. 有最大值6
C. 有最小值6或最大值6-
D.有最大值6- 6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2
π
ωϕ><
）的部分图像如图所示，
则()y f x = 的图象可由cos 2y x = 的图象（ ）
A ．向右平移
3π个长度单位 B ．向左平移3π
个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移6
π
个长度单位
7．已知抛物线:C 2
4y x =，那么过抛物线C 的焦点，长度为不超过2015
的整数的弦条数是（ ）
A ． 4024
B ． 4023
C ．2012
D ．2015 8．设0,0a b >>，若点(1,1)P 到直线(1)(1)20a x b y +++-=的距离为1，
则ab 的取值范围是（ D ） A ．)21,⎡-+∞⎣ B ．)322,⎡-+∞⎣
C ．)12,⎡+
+∞⎣
D ．)32
2,⎡++∞⎣
9．已知函数1
()ln 2
x
f x x =-（），若实数x 0满足0118
8
()log sin
log cos
8
8
f x π
π
>+，则0x 的取值范围是
（ ）
A ．(,1)-∞
B ．(0,1)
C ．(1,)+∞
D ．1
(,)2
+∞
10．已知函数22,20()1
ln
,021
x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪
=⎨<≤⎪+⎩，若()|()|g x f x ax a =--的图像与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1(0,)e
B. 1(0,)2e
C. ln 31[,)3e
D. ln 31
[,)32e
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分． 11. 已知双曲线2
2
28x y -=的实轴长为_________.
12. 已知向量(2,1)=a ,(1,3)=-b ,若存在向量c ,使得6⋅=a c ，4⋅=b c ,则c = .
13．若变量y x ,满足约束条件1,,3215x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则42x y w =⋅的最大值是 .
14、若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是 ．
15.对椭圆有结论一：椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为
(,0)F c ，过点2
(,0)a P c
的直线l 交椭圆于,M N 两点，点M 关于
x 轴的对称点为'M ，则直线'M N 过点F 。

类比该结论，对双曲线有结论二，根据结论二知道：双曲
线22':13x C y -=的右焦点为F ，过点3
(,0)2
P 的直线与双曲线'C 右支有两交点,M N ，若点N 的坐标是(3,2)，则在直线NF 与双曲线的另一个交点坐标是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）
某校随机抽查部分学生的政治成绩进行统计分析．已知统计出的成绩频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,80,100,已知低于60分的人数是6人. （1）求x 与被抽查的学生人数n ；
（2）现从被抽查低于60分的学生中随机选取2人进行访谈，求这2人在同一分数组的概率
.
A
B
C
D A 1B 1
C
1
17、（本小题满分12分）
在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知222sin sin C sin sin sin C B +=A +B ．
()1求角A 的大小；()2若1
cos 3
B =
，3a =，求c 值． 18．（本小题满分12分）
如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中, 12AB AA ==，3
ACB π
∠=，点D 是
线段BC 的中点.
（Ⅰ）求证：1A C ∥平面1AB D ；
（Ⅱ）当三棱柱111ABC A B C -的体积最大时，求直线1A D 与平面1AB D 所成角θ的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S 且满足条件：
242
1
n n S n S n +=+（n *∈N ）． ()1求数列{}n a 的通项公式； ()2若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有
11
1n n n n
b b +T -+=T +（n *∈N ），13b =，证明：数列{}1n b -是等
比数列；又21
1
n n n a c b +=
-，求数列{}n c 的前n 项和W n ． 20．（本小题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -，直线l 的方程是4x =，点P
是椭圆C 上动点（不在x 轴上），过点2F 作直线2PF 的垂线交直线l 于点Q ，当1PF 垂直x 轴时，点Q 的坐标是(4,4).
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）判断点P 运动时，直线PQ 与椭圆C 的公共点个数，并证明你的结论.
21．（本小题满分14分） 已知函数ln ()a x b
f x x
+=
（其中20a a ≤≠且），函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线过点(3,0). （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 与函数2
()2g x a x x
=+--
的图像在(0,2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围.
新津中学高三5月月考数学试题答案（文科）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 答案
B
B
D
A
C
A
B
D
B
C
11. 4 12. （2,2） 13.512 14.10 15.92(,)55
-
17. 解：（1）由正弦定理可得222b c a bc +=+，
由余弦定理：2221cos 22b c a A bc +-==，因为(0,)A π∈，所以3
A π
=.
（2）由（1）可知，3sin 2A =
， 因为1
cos 3
B =，B 为三角形的内角，所以22sin 3B =， 故sin sin()sin cos cos sin
C A B A B A B =+=+31122322
23236
+=
⨯+⨯=
由正弦定理
sin sin a c
A C =
，得332226sin 1sin 633
2
a c C A +==⨯=+. 18.（Ⅰ）证明：记11A B
AB O =，OD 为三角形1A BC 的中位线，
1A C ∥OD ，⊆OD 平面1AB D , ⊄C A 1平面1AB D ，
z
y
x
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
所以1A C ∥平面1AB D ………4分
（Ⅱ）当三棱柱111ABC A B C -的底面积最大时，体积最大，
22242cos
23
AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC π
==+-⋅⋅≥⋅-⋅=⋅
当AC BC =，三角形ABC 为正三角形时取最大值
设点1A 到平面1AB D 的距离为d ，由1111A AB D C AB D B ACD V V V ---==得
111132
3635AB D S d AD DB d d ⋅=⋅=⇒=
△ 1
22355sin 357d A D θ=== （另解）（Ⅱ）依题意，如图以D 为原点，直线DA ，DC 分别为x,y 轴建立空间坐标系， 则),2,0,3(),2,1,0(),0,1,0(),0,0,3(11A B B A -- 设面D AB 1的法向量为(,,)n x y z =，
⎪⎩⎪⎨
⎧=+-=⋅==⋅0
20
31z y DB n x DA n 设1,2==z y ，)1,2,0(=∴n ， )2,0,3(1=∴DA 3535
2|
||||||,cos |sin 111=
⋅==∴n DA n DA n DA θ 19.解：2
133,1)
(1
24)1(211
1
2122===+==∴∈++=*a a a a a S S n N n n n S S n n 得结合，则当
∴ n d n a a a a d n =-+==-=)1(1112，所以)(*∈=N n n
a n
(2)由
n n n n n
n n n b T b T b T b T +=+-=++-++111
11可得
所以121-=-+n n n b T T ，121-=+n n b b ，)1(211-=-+n n b b 所以}1{-n b 是等比数列且112b -=，
2=q 公比 ∴ n n n n q b b 222)1(1111=⨯=-=---∴ 12+=n n b
∴ n
n n n n n n b a c )2
1()12(212112⋅+=+=-+=
∴ n n n n c c c c W )21
()12()21(7)21(5)21(332321⨯+++⨯+⨯+⨯=++++=
利用错位相减法，可以求得25
52n n
n W +=-.
20.解：（Ⅰ）由已知得1c =，当1PF x ⊥轴时，点2
(1,)b P a
-，
由220F P F Q ⋅=得2
(2)(41)40b a
--+=222302320b a a a ⇒-=⇒--=, 解得2a =，3b =，所以椭圆C 的方程是22
143
x y +=。

（Ⅱ）设点00(,)P x y ，则2222220000003134123434
x y x y y x +=⇒+=⇒=-，设点(4,)Q t ， 由220F P F Q ⋅=得：00(1)(41)0x y t --+=，所以00
3(1)
x t y --=，
所以直线PQ 的方程为：000000
3(1)4
3(1)4x y y x x x y y -+
-=
--+
，即20000043(1)[3(1)]4x y y x y x x -+-=+--， 即20000043
3(1)[33(1)]44x y y x x x x -+-=
-+--，化简得：00143
x x y y +=， 代入椭圆方程得：2222
0000(43)2448160y x x x x y +-+-=，化简得：220042403
x x x y -+-=，
判别式△22
0016(1)043
x y =+-=，所以直线PQ 与椭圆有一个公共点。

21.解：（1）ln ()a x b f x x +=
，12
ln (1),'()|x a b a x
f b f x a b x
=--∴===- ()(1)y b a b x ∴-=--，切线过点(3,0)，2b a ∴=
22
ln (ln 1)
'()a b a x a x f x x x
--+==- ① 当(0,2]a ∈时，1(0,)x e ∈单调递增，1
(,)x e ∈+∞单调递减
② 当(,0)a ∈-∞时，1(0,)x e ∈单调递减，1
(,)x e
∈+∞单调递增
（2）等价方程
ln 22
2a x a a x x x
+=+--在(0,2]只有一个根 即2
(2)ln 220x a x a x a -++++=在(0,2]只有一个根
令2
()(2)ln 22h x x a x a x a =-++++，等价函数()h x 在(0,2]与x 轴只有唯一的交点
(2)(1)
'()x a x h x x
--∴=
① 当0a <时，()h x 在(0,1)x ∈递减，(1,2]x ∈的递增
当0x →时，()h x →+∞，要函数()h x 在(0,2]与x 轴只有唯一的交点
(1)0h ∴=或(2)0h <，1a ∴=-或2
ln 2a <- ②当(0,2)a ∈时，()h x 在(0,)2a x ∈递增，(,1)2
a x ∈的递减，(1,2]x ∈递增
()(1)102
a
h h a >=+>，当0x →时，()h x →-∞，484()20h e e e ---=--< ()h x ∴在(0,)2
a
x ∈与x 轴只有唯一的交点
③当2a =，()h x 在(0,2]x ∈的递增
484()20,(2)2l n 20
f e e e f ---=--<=+> ()h x ∴在(0,2]x ∈与x 轴只有唯一的交点
故a 的取值范围是1a ∴=-或2
ln 2
a <-
或02a <≤.。