九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦第3课时锐角的余弦课件新版湘教版
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湘教版九年级数学上册第4章4.1《正弦和余弦》精品PPT教学课件
AB DE
α
α
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∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
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小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
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由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
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新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
万向思维精品图书
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
α
α
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∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
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小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
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由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
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新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
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∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
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从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
最新湘教版九年级数学上册精品课件-4.1正弦和余弦(第3课时)
B
2019/8/31
A
C
3
单击此处编母版标题样式
讲授新课
余弦
•合单作击探此究处编辑母版文本样式 • 如第二图级所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，
• 第三级
其中∠A =• ∠第四D级，∠C =∠F = 90°，则 • 第五级
AC AB
DF DE
成立吗？为什么？
B E
A
2019/8/31
cos
A
A的邻边 斜边
=
b c
sin 2
A cos2
A
a
2
c
b
2
c
a2 b2 c2
c2 c2
1
2019/8/31
16
单击此处编母版标题样式
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角 (•注单意•击第数此二形处级结编合辑，母构版造文直本角样三式角形). 2.sinA、• 第c三os级A是一个比值（数值）.
2.学会用计算• 第器五级求锐角的余弦值或根据余弦值求锐
角．
2019/8/31
2
单击此处编母版标题样式
导入新课
问题引入
• 单如击图此，处在编辑Rt母△版AB文C本中样，式∠C＝90°，当锐角 A 确定•时第，二∠级 A的对边与斜边的比就随之确定.
• 第三级
此时，• 第其四• 级他第五边级 之间的比是否也确定了呢？
=
a c
sinA=cosB
2019/8/31
12
单击此处编母版标题样式
典例精析
•例单2•击第计此二算处级：编c辑os3母0°版文－本3c样os式60°+ 2cos245°
2019/8/31
A
C
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余弦
•合单作击探此究处编辑母版文本样式 • 如第二图级所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，
• 第三级
其中∠A =• ∠第四D级，∠C =∠F = 90°，则 • 第五级
AC AB
DF DE
成立吗？为什么？
B E
A
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cos
A
A的邻边 斜边
=
b c
sin 2
A cos2
A
a
2
c
b
2
c
a2 b2 c2
c2 c2
1
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1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角 (•注单意•击第数此二形处级结编合辑，母构版造文直本角样三式角形). 2.sinA、• 第c三os级A是一个比值（数值）.
2.学会用计算• 第器五级求锐角的余弦值或根据余弦值求锐
角．
2019/8/31
2
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问题引入
• 单如击图此，处在编辑Rt母△版AB文C本中样，式∠C＝90°，当锐角 A 确定•时第，二∠级 A的对边与斜边的比就随之确定.
• 第三级
此时，• 第其四• 级他第五边级 之间的比是否也确定了呢？
=
a c
sinA=cosB
2019/8/31
12
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典例精析
•例单2•击第计此二算处级：编c辑os3母0°版文－本3c样os式60°+ 2cos245°
4.1 正弦和余弦 课件湘教版初三数学上册
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝4日望星的期人二。二〇二〇年七月十四日2020年7月14日星期二 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成20功:35。7.14.202020:357.14.202020:3520:35:127.14.202020:357.14.2020
角的对边
斜边
α
根据 “在直角三角形中，30°角所对的直角边
等于斜边的一半”，容易得到
sin
30°=
1 2
.
例题探究
例1 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3， AB=5.
（1）求sinA的值； （2）求sinB的值.
解：∠A的对边BC=3，斜边AB=5.
于是
sinA
=
BC AB
=
76、人生生命贵太相过知短，暂何，用今金天与放钱弃。了明20天.7.不14一20定.7能.1得42到0.。7.184时。3250分280时年375月分1144日-J星ul期-2二07二.14〇.2二02〇0年七月十四日
花一样美丽，感谢你的阅读。 87、勇放气眼通前往方天，堂只，要怯我懦们通继往续地，狱收。获的20季:35节2就0:3在5前:12方7.。142.02.072.104T2u0e.s7d.1a4y2, 0Ju.7ly.1144。, 2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十 四日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3520:35:127.14.2020Tuesday, July 14, 2020
cos= sin( -). sin= cos( -).
例3 求cos30°，cos60°，cos45°的值．
角的对边
斜边
α
根据 “在直角三角形中，30°角所对的直角边
等于斜边的一半”，容易得到
sin
30°=
1 2
.
例题探究
例1 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3， AB=5.
（1）求sinA的值； （2）求sinB的值.
解：∠A的对边BC=3，斜边AB=5.
于是
sinA
=
BC AB
=
76、人生生命贵太相过知短，暂何，用今金天与放钱弃。了明20天.7.不14一20定.7能.1得42到0.。7.184时。3250分280时年375月分1144日-J星ul期-2二07二.14〇.2二02〇0年七月十四日
花一样美丽，感谢你的阅读。 87、勇放气眼通前往方天，堂只，要怯我懦们通继往续地，狱收。获的20季:35节2就0:3在5前:12方7.。142.02.072.104T2u0e.s7d.1a4y2, 0Ju.7ly.1144。, 2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十 四日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3520:35:127.14.2020Tuesday, July 14, 2020
cos= sin( -). sin= cos( -).
例3 求cos30°，cos60°，cos45°的值．
湘教版九年级上册第4章锐角三角函数(小结与复习) (共18张PPT)
∠α的对边 BC = = sinα= AB 斜边 ∠α的邻边 AC = = AB
B
a c
c
A
α
a
C
b cosα= c 斜边 ∠α的对边 BC a tanα= = = AC ∠α的邻边 b
b
sinα，cosα，tanα分别叫作角α的正弦、余弦 、正切。锐角的正弦、余弦、正切统称为锐 角三角函数．
应该注意的几个问题: （1）sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的， ∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 （2）sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。 （3）sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关， 而与直角三角形的边长无关。 2. 特殊角( 30°，45°，60°)的三角函数值 α 30° 1 2 √3 2 √3 3 45° √2 2 √2 2 1 60° √3 2 1 2 √3 要熟记特殊 角的三角函 数值。
A
的水平距离）是6m，斜坡上相邻 两树间的坡面距离为 3√5在河 的岸边选择B、C两点，在对岸选择 一个目标点A，测得∠BAC=75°, ∠ACB=45°，BC=48m, 则河宽 72-24√3 米。 B
A
D
C
9、在△ABC中，∠A≠ ∠ B，∠C=90°有下列结论： (1).sinA>sinB (2).sin² A+sin² B=1 (3).sinA=sinB (4)若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA也扩大为原来
F A B
30°
东
轮船从A到D的速度为:60÷2.35=25.53 所以至少增加6海里/小时.
二、解直角三角形及其应用 1. 在直角三角形中，除直角外的5个元素，只要知道 其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其 余的3个未知元素，这叫作解直角三角形. 2、解直角三角形依据： (1) 三边之间的关系：a2+b2=c2
B
a c
c
A
α
a
C
b cosα= c 斜边 ∠α的对边 BC a tanα= = = AC ∠α的邻边 b
b
sinα，cosα，tanα分别叫作角α的正弦、余弦 、正切。锐角的正弦、余弦、正切统称为锐 角三角函数．
应该注意的几个问题: （1）sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的， ∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 （2）sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。 （3）sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关， 而与直角三角形的边长无关。 2. 特殊角( 30°，45°，60°)的三角函数值 α 30° 1 2 √3 2 √3 3 45° √2 2 √2 2 1 60° √3 2 1 2 √3 要熟记特殊 角的三角函 数值。
A
的水平距离）是6m，斜坡上相邻 两树间的坡面距离为 3√5在河 的岸边选择B、C两点，在对岸选择 一个目标点A，测得∠BAC=75°, ∠ACB=45°，BC=48m, 则河宽 72-24√3 米。 B
A
D
C
9、在△ABC中，∠A≠ ∠ B，∠C=90°有下列结论： (1).sinA>sinB (2).sin² A+sin² B=1 (3).sinA=sinB (4)若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA也扩大为原来
F A B
30°
东
轮船从A到D的速度为:60÷2.35=25.53 所以至少增加6海里/小时.
二、解直角三角形及其应用 1. 在直角三角形中，除直角外的5个元素，只要知道 其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其 余的3个未知元素，这叫作解直角三角形. 2、解直角三角形依据： (1) 三边之间的关系：a2+b2=c2
【最新湘教版精选】湘教初中数学九上《4.1正弦和余弦》PPT课件 (5).ppt
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形相似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
1.教师提出问题，学生测量比较后寻找规律. 2.以小组为单位学生根据所学相似形知识探索、证明得 出规律，教师稍作总结. 在△ABC中，∠C=90°. 我们把锐角A的对边与斜边的比叫做弦记作sinA.
即sinA= A的对边= a . 斜边 c
例如：当∠A=30°时，sinA=sin30°= 1 .
2
当∠A=45°时，sinA=sin45°= 2 .
2
教师根据上面学生回答总结得出概念，学生理解认识概念、
写法意义.
理解认识30°、45°角的正弦值.
本节学了哪些内容?你有哪些认识和收获? (正弦概念及正弦求法) 教师引导学生自我总结，学会梳理知识体系，加深认识， 自我提升.
1.请同学们测量手中一副三角板中30°、45°角所对的边 与斜边的长度，求出它们的比值，结合所学同组内学生交流，能 发现什么规律?
规律：不论三角板大小，30°、45°、60°角的对边与斜 边的比值是个固定值.
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
第四章 锐角三角函数
4.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
正确理解认识正弦概念，会根据边长求出正弦值.
引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边 与斜边的比值是固定值的事实.
一、创设情境，导入新课
1.你知道直角三角形有哪些特殊的性质吗? 2.有一个2锐角是30°的直角三角形有哪些性质特点? 3.有一个锐角是45°的直角三角形有那些性质特点? 教师提出问题，学生复习回答，尝试发现直角三角 形中的某些规律.教师汇总归纳，引入新课.
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1.请同学们测量手中一副三角板中30°、45°角所对的边 与斜边的长度，求出它们的比值，结合所学同组内学生交流，能 发现什么规律?
规律：不论三角板大小，30°、45°、60°角的对边与斜 边的比值是个固定值.
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形相似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
1.教师提出问题，学生测量比较后寻找规律. 2.以小组为单位学生根据所学相似形知识探索、证明得 出规律，教师稍作总结. 在△ABC中，∠C=90°. 我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sinA).
如：∠A的正弦记作sinA.
即sinA= A的对边= a . 斜边 c
例如：当∠A=30°时，sinA=sin30°= 1 .
2
当∠A=45°时，sinA=sin45°= 2 .
2
教师根据上面学生回答总结得出概念，学生理解认识概念、
写法意义.
理解认识30°、45°角的正弦值.
本节学了哪些内容?你有哪些认识和收获? (正弦概念及正弦求法) 教师引导学生自我总结，学会梳理知识体系，加深认识， 自我提升.
第四Байду номын сангаас 锐角三角函数
4.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
正确理解认识正弦概念，会根据边长求出正弦值.
引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边 与斜边的比值是固定值的事实.
一、创设情境，导入新课
1.你知道直角三角形有哪些特殊的性质吗? 2.有一个2锐角是30°的直角三角形有哪些性质特点? 3.有一个锐角是45°的直角三角形有那些性质特点? 教师提出问题，学生复习回答，尝试发现直角三角 形中的某些规律.教师汇总归纳，引入新课.
湘教版2020年初三上册数学4.1 正弦和余弦 课件
解：sin230°- 2sin45°+sin260°
1 2
2
2
2
2 2
3
2
1 1 3
4
4
0.
如图， △ABC和△DEF都是直角三角形， 其中 ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则 AC DF 成立吗？为什么？
AB DE
α
α
∵ ∠A=∠D= α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E.
课堂小结
1.锐角的余弦的概念. 2.熟记：30°,45°,60°这些特殊角的正弦余弦值 . 3.理解：0°~90°间正弦值、余弦值的变化规律：
（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1；
（2）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度的增 加反而减小.
亲爱的读者：
1、天盛生下年活兴不亡重相，来信匹，眼夫一泪有日，责难眼。再泪晨并20。不.7.及代14时表7.宜软14自弱.2勉。02，2002岁.07:.月2184不270.待1:24人8.2:。3002。J0u22l00-2:.2708.212040:72:2.8184:3.200J2u0l-20:2208:208:28:30Jul-2020:28
420、:2千敏87淘而.1万好4.浪学20虽，20辛不20苦耻:2，下87吹问.1尽。4.黄。20沙72.10始42.0到2:02金2802。707.:12.1484.:23.2002720.102470..:2120482.220002:2008:22807:2.1842:3.020:0228002:208:2:380:3020:28:30
∴
BC
AB .
EF DE
即 BC DE AB EF .
∴
BC EF . AB DE
九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦第3课时余弦导学课件新版湘教版
4.1 正弦和余弦
目标四 用计算器求锐角的余弦值
例5 教材补充例题 用计算器求下列锐角的余弦值(精确到0.0001)： (1)70°；(2)55°；(3)74°28′.
解：(1)cos70°≈0.3420. (2)cos55°≈0.5736. (3)cos74°28′≈0.2678.
4.1 正弦和余弦
角α 的邻边 斜边 角α的余弦，记作cosα，即cosα＝__________ ．
2．若α是锐角，则0＜cosα＜1.
4.1 正弦和余弦
知识点二 互余两角的正、余弦之间的关系
90°－α ． 1．若α是锐角，则sinα＝cos(__________) ，cosα＝sin(__________) 90°－α 2．若α，β为锐角，且sinα＝cosβ，则α＋β＝__________ ． 90°
4.1 正弦和余弦
目标二 用特殊角的余弦值进行计算
例 2 教材例 4 针对训练 计算： 2cos45° － 3cos30° · cos60° .
2 3 1 3 1 解：原式＝ 2× － 3× × ＝1－ ＝ . 2 2 2 4 44. Nhomakorabea 正弦和余弦
3 例 3 教 材 补 充 例 题 在 △ABC 中 ， 已 知 |cosA － | ＋ 2 1 C cosB－ ＝0，试求 cos 的值． 2 2
4.1 正弦和余弦
【归纳总结】 利用计算器计算锐角的余弦值或已知锐角的余 弦值求它的对应锐角 1．用计算器求任意锐角的余弦值有两种方法： (1) 直 接 按 顺 序 按 键 ： cos → 度 → DMS → 分 → DMS → 秒 → DMS → ＝ ； (2)先将含有“度、分、秒”的角度转换为以“度”为单位，再按 键 cos → 度 → ＝ .
2019年湘教版九年级上册数学解读课件：第4章 锐角三角函数(共21张PPT)
知识点 互余两角之间的正弦、余弦关系
工人师傅要焊接一个如图所示的直角三角形支架,根据需要,较大 锐角∠A的正弦值约为0.895,对边设计为8 m,那么立柱(斜边上的高)在 斜边上的焊接点离B点的距离BD可以在Rt△BCD中,利用cos B≈0.895,BC=8求出,即BD=BC·cos B≈8×0.895=7.16(m).
第4章 锐角三角函数
4.2 正 切
知识点 锐角的正切
在下图中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?当梯子与地面所成的角
梯子的垂直高度
为锐角A时,tan A= 水平宽度
,tan A的值越大,梯子越陡,因此可用梯
子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度.
第4章 锐角三角函数
4.3 解直角三角形
知识点 直角三角形边、角之间的关系
(2)计算边的口诀: 有斜求对乘正弦, 有斜求邻乘余弦, 无斜求对乘正切, 无斜求邻除正切.
第4章 锐角三角函数
4.4 解直角三角形的应用
知识点 仰角、俯角问题
知识点 坡度、坡角问题
如图所示,一堤坝的坡角∠ABC=60°,坡面长度AB=24米.为 了使堤坝更加牢固,需要改变堤坝的坡面,要使得坡面的坡角 ∠ADB=45°,求应将堤坝底端向外拓宽(BD)多少米时,切入点就是 构造直角三角形.
学科素养课件
新课标湘教版·数学 九年级上
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
知识点 正弦
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在 山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为 30°,为使出水口的高度为35 m,显然可利用正弦求出需要准备多长的水管.
知识点 解直角三角形的类型与方法
九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦第1课时正弦导学课件新版湘教版
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
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4.1 正弦和余弦
解：有错误．求一个角的正弦值的前提是将这个角放到直角三角形中．正确的 解题过程如下：
过点 A 作 AH⊥BC 于点 H. ∵S△ABC＝27 cm2， ∴12×9×AH＝27，∴AH＝6 cm.
∵AB＝10 cm，∴BH＝ AB2－AH2＝ 102－62＝8(cm)，
∴HC＝9－8＝1(cm)，∴AC＝ 12＋62＝ 37(cm)，
2020/1/1
图 4－1－2
精品课件
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4.1 正弦和余弦
解：依题意有∠BAC＝30°，∠BCA＝90°. ∵sinA＝BACB，∴sin30°＝BACB＝12， 而 BC＝4 米，∴AB＝8 米， ∴这棵树在折断前的高度为 AB＋BC＝12 米． 答：这棵树在折断前的高度为 12 米．
2020/1/1
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精品课件
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4.1 正弦和余弦
反思