家辉培优陈怡老师教研文章——《以”高斯函数”为背景的问题中蕴含的数学思想分析》

以”高斯函数”为背景的问题中蕴含的数学思想分析
作者：家辉培优数学老师——陈怡
[]x 表示不超过x 的最大整数,比如[2.4]2,[ 1.3]2=-=-,把函数[]y x =称为高斯函数,
又称为取整函数. 在高中数学的各知识点中,频繁出现以高斯函数为背景的问题,高斯函数也是高考和竞赛的热门素材,它形式新颖，解答巧妙，能考察学生的数学素养和潜能.本篇文章通过列举一些高斯函数与高中数学各个知识点相结合的问题,在分析并解决这些问题过程中，最后总结背后蕴含数学思想. 一、不等式思想与高斯函数
取整符号[]x 本身就蕴含不等式[][]11x x x x -<≤<+，因此在处理一些高斯函数方程问题的时候，可以构造出不等式，通过解不等式的解集确定方程可能的范围.然后逐一带入验证得到方程的解.
例1、设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则集合2
{|930[]200}x R x x ∈-+=中所有元素的和为 .
解析：由2
930[]200()x x -+=*，得2
30[]9200x x =+>，则[]1,x ≥ 从而 1.x ≥
因为[],x x ≤ 所以2
2
[].x x ≤ 所以，2
9[]30[]200,x x -+≤ 即2
(3[]5) 5.x -≤
所以[]1[]2x x ==或.若[]1x =，代入得13x =；若[]2,x =带入得23
x =.
例2、若a 为正数，[]a 表示不超过a 的整数部分，{}[],a a a =-如果[]{}a a a 、、顺次组成等比数列，则a = .
解析：由题意得，2
[]{}a a a =⋅即2
[]([])a a a a =-整理得：2
2
[][]()a a a a =+*，因为
[]1a a >-，得到22(1)(1)a a a a >-+- 即2310,a a -+<解得3(0,
2
a ∈.所以，
[]1 2.a =或 当[]1,a =代入()*得：a =
符合要求；当[]2a =，代入()*得1a =+
不符合题意.因此，a =
点评：解带有高斯函数的方程，一般先要确定[]x 的范围，然后再一一代入原方程求解.如何求解[]x 的范围，例题1给出两种不同的方法.首先是2
30[]9200x x =+>，通过这个不
等式可以得到[]x 的范围;再有[],x x ≤然后得到2
9[]30[]200,x x -+≤这是一种基于[]x 本身的范围，通过放缩得到的一个不等式.例题2通过[]1a a >-先确定了a 范围，再得到[]a 的范围.总结方法，通过问题外部的不等式结构和本身的不等式得到关于x 或者[]x 的范围,得到[]x 的范围，再代入计算.这里主要体现了体现了不等式的思想. 2 、分组思想与高斯函数
要计算
101
1
[]3k k =∑的值，需要分3,31,32n k n k n k ==+=+讨论，当n 取这三个值[]3n
k =,因此把n 取这三个数分为一组进行分组计算33
033132[][
][]333k k k k =++++∑=33
31683k k ==∑.有些分组问题需要一定的技巧，比如当,,x y Z x y Z +∈∉,[][][] 1.x y x y +=+-这个性质在计算取整问题中(例4)显得特别有用.
例3、符号[]x 表示不超过x 的最大整数，n 是正整数，则
2014
1
([][][])236n n n n
=++=∑ . 解析：设()[][][]236n n n f n =++，任意k N ∈，666(6)[
][][]6,236k k k
f k k =++=
616161
(61)[][][]6,236k k k f k k ++++=++=同理可得：(62)61,
f k k +=+(63)62,f k k +=+(64)63,f k k +=+(65)63,f k k +=+
所以，20141
([][][])236n n n n
=++=
∑2014
([][][])236n n n n
=++=∑335
((6)(61)(62)k f k f k f k =++++∑
(63)(64)(65))(2015)f k f k f k f ++++++-=335
(369)(63355)
k k f =+-⨯+∑=2027091
点评：这里对n 以6的余数分了6类，这样的分类能使得[],[],[]236
n
n n 都能求出来，这里的6是2,3,6的最小公倍数.在计算的过程中，注意到0k =时(0)0f =，再以六为循环进行计算.这里体现了分类讨论以及分组求和的思想.
例4、设89
n
n a =，则1232014[][][][]S a a a a =++++=
.（符号[]x 表示不超过x
的最大正整数）
解析: 对任意的212k k a a -、均不是整数，且2122121288899
k k
k k k a a ---+=+=. 所以对任意的正整数,k 21
212[][]8
1k k k a a --+=-.所以
1007100710071007
21
2121
1
8(164)8(641)
[][]8
116463
k k k k k S a a --==--=+=-==-∑∑-1007.
点评：本题的突破点在于以下事实：Z x y +∈，且,x y Z ∉，则[]1x y x y +=+-.发现了这个性质之后，用分组求和的方法即可.接下来，我们解决一个稍复杂的变式问题：
求23
2016
2222[][][][]7777
S =+++
+.
解析：假设27
k k a =，对任意的k a 不是整数，且满足32
323132k k k k a a a ---++=.
所以 32
32
32313[][][]2
12
2.k k k k k a a a ----++=--或 又因为322277
k k
k +-= ，所以
322{}{}77
k k
+=，因此3{}{}k k a a += ，得32313123{}{}{}{}{}{}k k k a a a a a a --++=++=1， 所以32
32313[][][]2
1k k k k a a a ---++=- ，所以
672672
672
32
323131
1
282
[][][](2
1)6727
k k k k k k S a a a ---==⋅-=++=-=-∑∑.
3、对应思想与高斯函数
在解析几何中，方程对应了坐标平面内的一条曲线.取整符号[]1x =对应了数轴上的点
[0,1)，高斯函数与解析几何相结合的问题中，往往体现了这种对应思想.
例5、[]x 表示不超过x 的最大整数，则在平面直接坐标系xOy 中，满足[][]2013x y ⋅=的所有点(,)x y 组成的图形面积为 .
解析：满足[],[]x a y b ==对应的(,)x y 所组成的图形就是不等式 1.1a x a b y b ≤<+≤<+ 围成的区域，其面积是1.
因为2013367112013111833361==⨯=⨯=⨯=⨯，所以满足[][]2013x y ⋅=的点
(,)x y 组成的图形面积为4416⨯=.
点评：本题整数对([],[])x y 要联系到直角坐标系中的对应的区域，2013要想到所有的因式分解可能性.
同样的思路请读者完成以下问题：设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则在平面上，由满足2
2
[][]50x y +=的点所形成的图形面积是 .
4、换元思想与高斯函数
换元法是高中数学的重要思想，通过换元，把问题转化，使问题简化，怎样换元，如何换元,为什么这样换元，是一个非常值得探讨的问题.
例6、对正整数,n 设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实根，记[(1)]n n a n x =+（符号
[]x 表示不超过x 的最大整数）.则
23420111
()1005
a a a a ++++= .
解析：设(1)t n x =+，则原方程转化为
3
3
20()(1)1
n t t n n n +-=*++，设方程()*的解为n t ，容易验证(1)n n t n x =+，因此[][]n n a t =.
设函数3
32()(1)1
n f t t t n n n =+-++，则()f n =
23(1)(1)n n n n -+++，(1)2f n +=.当2n ≥时，()0,(1)0f n f n <+>，所以(,1)n t n n ∈+，所以[](2)n a n n =≥. 所以
23420111
()1005
a a a a ++++=
12010(22011)10052
⨯+=2013. 点评：本例利用换元思想，把原来要求整的表达式看成一个变量，这样只需要求换元后方程的解.利用零点定理寻找函数的解，只需要寻找两个正整数,1n n +，两个端点函数值异号，就得到该变量的取整后的值.本题很好地把换元思想，零点定理和高斯函数融合地结合. 例7、若[]x 表示不超过x 的最大整数，则关于x 的函数()|[]|f x x x a =-+存在最大值
(),M a 则正实数a 的取值范围是 .
解析：设,x a N α+=+，其中N 为整数，[0,1)α∈. 则 ()||||f x N a N a αα=+--=-，[0,1)α∈，则原问题只需求
()||,[0,1)g a ααα=-∈能取到最大值时整数a 的取值范围. 通过作出函数图象，
容易得到，当12a <
，函数()g α 的最大值为(1)g ，但1取不到，因此不存在最大值；当1
,2
a ≥函数()g α最小值为(0),g 且0在定义域内.所以1
.2
a ≥
点评：本题对取整表达式的进行换元，并不是常见的换元方法，而是结合了取整函数的特点的换元x a +换成一个整数加小数部分N α+，把得到了非常简单的表达式，使得原来表达式里既有取整符号又有绝对值符号的复杂的函数转化为一个常见的函数问题.本题体现了换元思想和取整符号合理结合. 5、单调思想与高斯函数
,x y > 则[][]x y ≥.特别地，1,x y -≥ 则[][];x y >10x y >->，则[][]x y =或[][]1x y =+.这个性质表明取整函数是一个非减函数；还可以通过两个数的差的大小，估算
两个数取整之后的差异.
例8、设[]x 表示不超过x 的最大整数，2009
[],k 1,2,,100k a k
==，则这100个整数中
不同的整数的个数为 .
解析：以下事实：1,x y -≥ 则[][];x y > 若01x y <-<，则[][]x y =或[][]1x y =+.
2009200920091(1)k k k k -=++,当[1,44]k ∈，20091;(1)k k >+ 当[45,99]k ∈，2009
1.(1)
k k <+ 所以，
12444544a a a a >>>>=;[45,100]k ∈,1k k a a +=或11k k a a +=-，且10020a =，由此得：4546100,,
,a a a 中一共有44-20+1=25个数；1244,,
,a a a 各不相同且4445a a >，
所以一共有25+44=69个不同的整数.
点评：本题通过比较相邻两个数的差的大小来判断取整之后的大小.从45项起，前后两项满
足1k k a a +=或11k k a a +=-，且451004
,20,a a == 得到45项到100项的不同个数为25个，
显示了本题的精髓和巧妙之处，不禁让人醍醐灌顶！ 6、进制思想与高斯函数 例9、对正整数x ，记23[][
][][
],222
2
k
x x x x m =++++其中k 为满足2k
x ≥的最小整数，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，x 与m 的差，即x m -称为正整数x 的“亏损数”.（如，
100x =时，234567100100100100100100100[][][][][][][]972222222
m =++++++=，3,x m -=
因此，数100的“亏损数”为3.）则亏损数为9的最小正整数x 为 .
解析：设正整数x 的2进制表示为
112
2102110[]222n n n n n n n x a a a a a a a a a a ----==⋅+⋅++⋅+， 0,01n k a a ≠=（或）
则
120112222
n n n n a x
a a a ---=⋅+⋅+++，得，1111112[]22[]2
n n n n n n x
a a a a a a ----=⋅+⋅+⋯+=
则012210212
212[][0]n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----=-=1122[]n n x a a a --⋅⋅
=2[]2
x
x -
同理得到：12[]2[]2[][]2[]2222
x x x x a =-=-，2231[]2[],[]2[]2222n n n x x x x
a a +=-=-,
所以012212[][][]2[][][][]2222222
n n n n x x x x x x x
a a a a x x +++++=-----=----
因为122n n x +≤<，则k 取n 或1n +，当,k n =23[][][][]2222
n x x x x
m =++++，
当1,k n =+ 231[][][][][]22222n n x x x x x m +=+++++=23[][][][]2222
n x x x x
++++，
因此012n a a a a x m +++
+=-，因此若x 亏损数是9，则代表x 的二进制表达式中的非
零个数为9.因此，x 的最小值为87
2[111111111]2221511.=++
++=
点评：本题解题独特，构思巧妙，体现了进制与取整的内在联系.在不同的知识点之间可以相互联系，互相渗透，这也许是数学的奇妙之处吧！。