专题3.5抛物线的标准方程及简单几何性质(八个重难点突破)(原卷版)-高二数学上学期重难点和易错突破

专题3.5
抛物线的标准方程及简单几何性质
知识点一抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
注意：
①“p ”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0；②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．
知识点二抛物线的标准方程及简单几何性质
标准方程
()
2
20y px p =>()
220y px p =->()
2
20x py p =>()
220x py p =->图象
性质
范围0x y ≥∈R
，0x y ≤∈R ，0
x y ∈≥R ，0
x y ∈≤R ，对称轴
x 轴
y 轴
顶点()
0,0O 焦点
,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭
0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
0,2p F ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭
准线2
p x =-
2
p x =
2
p y =-
2
p y =
离心率
1
e =知识点三通径与焦半径
1．通径
过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p ．2．焦半径
抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点00(),A x y ,则四种标准方程形式下的焦半径公式为
标准方程()
2
20y px p =>()
220y px p =->()
2
20x py p =>()
220x py p =->焦半径AF
0||2
p AF x =+
0||2
p AF x =
-0||2
p AF y =+
0||2
p AF y =
-
重难点1抛物线定义及应用
1．已知抛物线22(0)y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）
A ．2y x
=B ．22y x
=C ．24y x
=D ．28y x
=2．若抛物线22x py =（0p >）上一点(),3M m 到焦点的距离是5p ，则p =（）
A ．
3
4
B ．
32
C ．
43
D ．
23
3．已知抛物线C ：()2
20y px p =>的顶点为O ，经过点()0,2A x ，且F 为抛物线C 的焦点，若3AF OF =，
则p ＝（）
A ．1
2
B ．1
C D ．2
4．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的延长线交C 于点B ，若
||||6AF FB ==，则p =
．
5．已知抛物线22x py =上一点()0,2A x 到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍，则p =
．
6．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，直线4y =与抛物线交于点M ，且4MF =，则p =
．
重难点2抛物线的标准方程与焦点、准线
7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（）
A ．()
0,1B ．()
0,2C ．()
1,0D ．()
2,08．圆22420x x y y -+-=的圆心在抛物线22y px =上，则该抛物线的焦点坐标为（）
A ．1,08⎛⎫ ⎪
⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪
⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D ．()
1,09．在同一坐标系中，方程22221x y a b
+=与()2
00ax by a b +=>>的曲线大致是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．焦点坐标为()1,0-的抛物线的标准方程是（
）
A ．22y x
=-B ．22x y
=C ．24x y
=-D ．24y x
=-11．已知抛物线的焦点在y 轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（
）
A ．22x y =
B ．22x y =或22x y =-
C ．24x y
=D ．24x y =或24x y
=-
12．抛物线2
1:4C y x =-绕其顶点顺时针旋转90︒后得到抛物线2C ，则2C 的准线方程为
．
13．已知两抛物线的顶点在原点，而焦点分别为()12,0F ，()20,2F ，求经过它们的交点的直线方程.
重难点3根据抛物线的方程求参数
14．设第四象限的点(),P m n 为抛物线28y x =上一点，F 为焦点，若6PF =，则n =（
）
A ．-4
B ．-
C ．-
D ．-32
15．已知O 为坐标原点，P 是焦点为F 的抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，2PF =，π
3
PFO ∠=
，则p =（
）
A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
16．已知点(),2A m 为抛物线()2
:20C y px p =>上一点，过点A 作C 准线的垂线，垂足为B ．若AOB （O
为坐标原点）的面积为2，则p =）
A ．1
2
B ．1
C ．2
D ．4
17．已知抛物线22(0)x py p =>上一点0(,3)A x ，F 为焦点，直线AF 交抛物线的准线于点B ，满足2AB AF =
，则0x =（
）
A ．3
±B ．
±C ．±D ．±
18．已知抛物线C ：22y px =()
2p >上一点(,P m 到其焦点F 的距离为3，则p =（）
A ．3
B ．
7
2
C ．4
D ．5
19．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，曲线()0k
y k x
=
>与C 交于点M ，MF x ⊥轴，则k =.
20．顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线上一点(),2P m -到焦点F 的距离等于4，则m =
．
重难点4抛物线的对称性
21．
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:8,C y x P =为x 轴正半轴上一点，线段OP 的垂直平分线l 交C 于,A B 两点，若120OAP ∠=︒，则四边形OAPB 的周长为（
）
A ．
B ．64
C ．
D ．80
22．已知O 为坐标原点，垂直抛物线()2
:20C y px p =>的轴的直线与抛物线C 交于,A B 两点，0OA OB ⋅= ，
则AB 4=，则p =（
）A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
23．已知圆221x y +=与抛物线()2
20y px p =>交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，若四边
形ABCD 是矩形，则p 等于（
）
A B ．
5C ．
2
D 24．抛物线2
2(0)x py p =>与椭圆22
1
122
x y +=交于A ，B 两点，若AOB (其中O 为坐标原点)，
则p =（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
25．抛物线22(0)y px p =>上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是
．
26．已知点
00(,)P x y 关于x 轴的对称点在曲线:C y =上，且过点P 的直线2y x =-与曲线C 相交于点Q ，则PQ =
.
重难点5抛物线的焦半径公式
27．已知ABC 的顶点在抛物线22y x =上，若抛物线的焦点F 恰好是ABC 的重心，则||||||FA FB FC ++的值为（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
28．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（）.A ．
27π
8B ．
64π27
C ．
9π4
D ．
25π16
29．O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．8
30．已知抛物线2:20C y px
p =>（）的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则
AB MN
的最小值为（）
A ．1
B C ．2D ．
2
31．
（多选）设抛物线28y x =的顶点为O ，焦点为F .点M 是抛物线上异于O 的一动点，直线OM 交抛物线的准线于点N ，下列结论正确的是（）
A ．若4MF =
，则OM =B ．若4MF =，则O 为线段MN 的中点
C ．若8MF =，则OM =
D ．若8MF =，则3OM ON
=32．
（多选）已知抛物线2:4E y x =的焦点为,F A 为E 上一点，则下列命题或结论正确的是（）
A ．若AF 与x 轴垂直，则2
AF =
B ．若点A 的横坐标为2，则3AF =
C ．以AF 为直径的圆与y 轴相切
D ．AF 的最小值为2
33．如图，M 是抛物线210y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角π3
xFM ∠=，则MF =
.
重难点6抛物线的轨迹问题
34．已知动点(),M x y 的坐标满足方程3412x y =+-，则动点M 的轨迹是（
）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．以上都不对
35．动点(),M x y 满足方程3412x y =++，则点M 的轨迹是（
）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
36．已知点(
)1,0A ，直线:1l x =-，两个动圆均过A 且与l 相切，若圆心分别为1C ､2C ，则1C 的轨迹方程为
；若动点M 满足22122C M C C C A =+
，则M 的轨迹方程为
.
37．若动点(),M x y 到点()4,0F 的距离比它到直线30x +=的距离大1，则M 的轨迹方程是
．
38．已知直线l 平行于y 轴，且l 与x 轴的交点为(4,0)，点A 在直线l 上，动点P 的纵坐标与A 的纵坐标相
同，且OA OP ⊥
，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
39．一圆经过点()0,3F ，且和直线30y +=相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形.
重难点7抛物线的距离最值问题
40．抛物线C 的顶点为原点，焦点为(2,0)F ，则点(5,0)B 到抛物线C 上动点M 的距离最小值为（）
A ．
B ．
C ．5
D ．
41．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点P 在C 上，若点()6,3Q ，则PQF △周长的最小值为（）．
A ．13
B ．12
C ．10
D ．8
42．设P 是抛物线28y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，
点()3,1B ，则PB PF +的最小值为.
43．已知点M 为拋物线22y x =上的动点，点N 为圆22(4)5x y +-=上的动点，则点M 到y 轴的距离与点M 到点N 的距离之和最小值为
.
44．已知()3,2A ，若点P 是抛物线28y x =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y -+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为
.
45．设动点P 在抛物线2
14
y x =上，点P 在 x 轴上的射影为点 M ，点A 的坐标是()2,0，则PA PM +的最小值是
．
46．已知点()0,4M ，点P 在抛物线2
8x y =上运动，点Q 在圆2
2
(2)1x y +-=上运动，则2
||PM PQ
的最小
值.
重难点8抛物线的实际应用
47．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该抛物线的焦点到准线的距离为（
）
A ．
27cm 4B ．9cm
2
C ．
27cm 8
D ．
23cm 6
48．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度30m AB =，拱高5m OP =，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱11A B 的长度为
m .（精确到0.01m ）
49．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE
长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()2
20x py p =->，则（
）
A ．200p =
B ．Γ的准线方程为100
y =
C ．Γ的焦点坐标为()
0,50-D ．弹道CE 上的点到直线AC 50．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为0.5m.
(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m ，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.
51．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm ，灯的深度为40cm.
(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm ，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.
52．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B 离地面5m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为4m ，且水流落在地面上以O 为圆心，以9m 为半径的圆上，求管柱OA 的高度.
53．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，
OP ，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一城镇P位于点O的北偏东30°处，10km
条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．。