第2讲整式及其运算

学法指导
二种思维方法 法则公式既可正向应用，也可逆向运用.逆用和灵活 变式应用既可简化计算，又能进行较复杂的代数式的 大小比较.当直接计算有较大困难时，考虑逆向运用， 可起到化难为易的功效.
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三种数学思想 （1）观察、比较、归纳、猜想的数学思想 观察才能获取大量信息，成为智慧的源泉，比较才能发现 信息的异同；通过归纳使共同点浮出水面，总结归纳的结 果获得猜想、有所发现，这就是归纳的思想，也是数学发 现的重要方法.
A．2a2＋4a2＝6a4
B．(a＋1)2＝a2＋1
C．(a2)3＝a5
D．x7÷x5＝x2
解析 A．2a2＋4a2＝6a2，所以 A 选项不正确； B．(a＋1)2＝a2＋2a＋1，所以 B 选项不正确； C．(a2)3＝a6，所以 C 选项不正确； D．x7÷x5＝x2，所以 D 选项正确．
归类探究 考点3 幂的运算
B. 2a a 2
D. a2 3 a5
4.（2013·义乌）计算 3a a3 a4 4a4
三年中考
5.（2011·金华）“x与y的差”用代数式可以表示为 x－y .
6.（2011·杭州）当x＝－7时，代数式（2x＋5）（x ＋ 1）－（x－3）（x＋1）的值为 －6 .
（ B）
A. a
B. a 2
C. a3
D. a 4
点评 (1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，
要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用 法则；
(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数 和符号的处理．
归类探究 考点3 幂的运算
知对能应迁训移练 3（(12）0(1220·12临·沂临)沂下) 列下计列算计正算确正的确是的是 ( ( D) )
要点梳理
8．整式除法： 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除， 作为商的因子，对于只在被除式里含有的字母，连同 它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将 这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的 商相加．
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一座“桥梁” 用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁，是后续学 习的基础．用字母表示数能够简明地表示出事物的规 律及本质特征．只有借助用字母表示数，才能把一些 数量规律及数量更简洁、准确地表示出来．用字母表 示数，应该：(1)注意字母的任意性；(2)注意字母的 确定性；(3)注意字母的限制性．
1 2
2b

2aa

b

S1 和S2 ；
a ba
b

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式.
a ba b a2 b2
归类探究 考点5 乘法公式
【点评】 (1)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几 种变形： ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； ②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； ④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab. 注意公式的变式及整体代入的思想． (2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任 何时候都要遵循先化简，再求值的原则；
第2讲 整式及其运算
要点梳理
1．单项式：由_数__与__字__母___或_字__母__与__字__母_相__乘相组乘成组成的的代代数数式 式叫叫做做单单项项式式，，所所有有字字母母指指数数的的和和叫叫做做___单__项__式__的__次__数_，__数，字数因字 因数数叫叫做做____单__项__式__的__．系__数___．__．__．
【例 3】 (2012·东营) 若 3x＝4，9y＝7，则 3x－2y 的值
为 4
A. 7
7 B. 4
C．－3
( A)
2 D. 7
解析 ∵3x＝4，9y＝7，
∴3x－2y＝3x÷32y＝3x÷(32)y＝3x÷9y＝4÷7＝47.
归类探究 考点3 幂的运算
（2）（2012·南京）计算 a2 3 a2 2 的结果是
（2）（2013·重庆）计算 2x3 y 2的结果是（ A ）
A. 4x6 y2
C. 4x5 y2
B. 8x6 y2 D. 8x5 y2
归类探究 考点4 整式的混合运算及求值
【【例例 44】】 ((22001122··山山西西)) 先先化化简简，，再再求求值值：：((22xx＋＋33))((22xx－－33)) －－44xx((xx－－11))＋＋((xx－－22))22，，其其中中 xx＝＝－－ 33.. 解解 原原式式＝＝44xx22－－99－－44xx22＋＋44xx＋＋xx22－－44xx＋＋44＝＝xx22－－55.. 当当 xx＝＝－－ 33时时，，原原式式＝＝((－－ 33))22－－55＝＝33－－55＝＝－－22..
解 化简得： 1 a2 a2 3a 1 3a
归类探究 考点2 同类项的概念及合并同类项
【【例例2解】2解析】析若－若－－4－4x4xa4xyaxay＋ya＋y＋x＋x2xy2x2yby＝2byb＝＝b－＝－－3－3x3x23xy2x2y，y2，y，可，则可知则知a－＋a－＋4bx4＝baxy＝a_，y__，_x_2__xy_2_3by，__b_，___．_．
要点梳理
6．整式乘法： 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的 因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一 个因式． 单项式乘多项式：m(a＋b)＝_m__a_＋__m__b__． 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝___a_c_＋__a_d_＋__b__c_＋__b_d___． 7．乘法公式： (1)平方差公式： ____(_a_＋__b_)(_a_－__b_)_＝__a_2－__b_2______________________________ (2)完全平方公式： ____(_a_±_b_)2_＝__a_2_±__2_a_b_＋__b_2______________________________
归类探究 考点1 整式的加减运算
【例1】（1）（2012·广州）下列计算正确的是（ C ）
A.6a-5a=1
B.a+2a2 =3a3
C.-(a-b)=-a+b
D.2(a+b)=2a+b
（2）已知x－2y＝－2，则3－x＋2y的值是（ ）
A.D 0
B. 1
C. 3
D. 5
归类探究 考点1 整式的加减运算
C. x2 x3 x6
D. x6 x3 x3
（2）化简 1 （－4x＋8）－3（4－5x），可得下列哪 4
一个结果（ D ）
A. －16x－10 C. 56x－40
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B. －16x－4 D. 14x－10
归类探究 考点1 整式的加减运算
（3）（2013·温州）化简： （1＋a）（1－a）＋a（a－3）.
（3）计算：3（2xy－y）－2xy＝ 4xy－3y .
【点评】整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号 的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结 果.
归类探究 考点1 整式的加减运算
对应训练 1.（1）（2013·舟山）下列运算正确的是
（D ）
A. x2 x3 x5
B. 2x2 x2 1
要点梳理
5．幂运算法则： (1)同底数幂相乘： ____a_m·__a_n_＝__a_m＋_n_(_m_，__n_都__是__整__数__，__a_≠__0_)_________________ (2)幂的乘方： ____(_a_m)_n_＝__a_mn_(_m_，__n_都__是__整__数__，__a_≠__0_)___________________ (3)积的乘方： ____(_a_b_)_n＝__a_n_·__b_n(_n__是__整__数__，__a_≠__0_，__b_≠__0_)______________ (4)同底数幂相除： ____a_m÷__a_n_＝__a_m－_n_(_m_，__n_都__是__整__数__，__a_≠__0_)_________________
－－3x32xy2y是是同同类类项项，，则则a＝a＝2，2，b＝b＝1，1，所所以以a＋a＋b＝b＝3.3.
【点评】
(1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与 系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的 单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．
归类探究 考点2 同类项的概念及合并同类项
C. x6 x3 x2
B. 2x 3y 5xy
D. x3 2 x6
2.（2012·金华）计算3a·（2b）的结果是（ ）
C A. 3ab
B. 6a
C. 6ab
D. 5ab
三年中考
3.（2013·宁波）下列计算正确的是（ C ）
A. a2 a2 a4
C. ab2 a2b2
归类探究 考点5 乘法公式
对应训练 5.（1）整式A与 m2 2mn n2的和是 m n2，
【点评】
注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应 用乘法公式进行简便计算．另外去括号时，要注意符号 的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值 计算．
归类探究 考点4 整式的混合运算及求值
知对能应迁训移练 5 4.((22001122··杭杭州州)) 化化简简：：22[[((mm－－11))mm＋＋mm((mm＋＋11))]][[((mm －－11))mm－－mm((mm＋＋11))]]．．若若 mm 是是任任意意整整数数，，请请观观察察化化简简后后的的结结果果，， 你你发发现现原原式式表表示示一一个个什什么么数数？？ 解解 22[[((mm－－11))mm＋＋mm((mm＋＋11))]][[((mm－－11))mm－－mm((mm＋＋11))]] ＝＝22((mm22－－mm＋＋mm22＋＋mm))((mm22－－mm－－mm22－－mm))＝＝－－88mm33.. 原原式式＝＝((－－22mm))33，，表表示示 33 个个－－22mm 相相乘乘；；或或者者说说是是一一个个立立方方数数，， 88 的的倍倍数数等等．．
2．多多项项式式：：由由几几个个_单____项____式____相____加_____组组成成的的代代数数式式叫叫做做多多项项式式，， 多项式里次数最高的项的次数叫做这个_多__项__式__的__次__数___，其中 不含字母的项叫做__常__数__项_____．_____．
3．整式：__单__项__式__和__多__项_统_式__称_为统称整为式整．式． 4．．同同类项类：项多：项式多中项所含式_字中__母_所__相含同_并__且__相__同__相字__母_同_的__并指__数_且_ _也__相__同__的__项__，__叫_也做相同同类的项项．，叫做同类项．
对应训练 2.（1）（2012·毕节）已知 1 xn2m y4 2
与 - x3 y2n 是同类项，则 mn 2010 的值为（ C ）
A.2010
B.－2010
C.1
D.－1
（2）（2013·丽水）化简－2a＋3a的结果是（ ）
B
A.－a
B.a
C.5a
D.－5a
归类探究 考点3 幂的运算
归类探究 考点5 乘法公式
【例 5】（2013·义乌）如图①，从边长为a的正方形纸
片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，
把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形.
（1）设图①中阴影部分面积为 S1 ，图②中阴影部分面
积为 S2
解 S1
，请直接用含a，b的代数式表示
a2 b2
S2

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（2）整体思想 在进行整式运算或求代数式值时，若将注意力和着眼点放在问 题的整体结构上，把一些紧密联系的代数式作为一个整体来处 理．借助“整体思想”，可以拓宽解题思路，收到事半功倍之 效．整体思想最典型的是应用于乘法公式中，公式中的字母 a 和 b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，如(x－2y＋ z) (x＋2y－z)＝[x－(2y－z)][x＋(2y—z)]＝x2－(2y－z)2 ＝x2－4y2＋4yz－z2.
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（3）数形结合思想 在列代数式时，常常能遇到另外一种类型的题：给你提 供一定的图形，通过对图形的观察探索，搜集图形透露 的信息，并根据相关的知识去列出相应的代数式，也能 用图形验证整式的乘法和乘法公式.
三年中考
1.（2011·义乌）下列计算正确的是（ D ）
A. x2 x4 x6