概率论第四章作业附答案

由列维定理知, 所求的概率
70 60 300 P X i 70 1.29 0.9015 300 0.2
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
解 设事件 A 在每次试验中发生的概率为 p, 在这10000次试验中
发生了X 次, 则 E ( X ) np 10000 p, D( X ) 10000 p1 p,
因此所求事件的概率为
X P 10000 p 0.01 P X 10000 p 100 P X E ( X ) 100 2 D( X ) 1 2 3 1 1 p 1 p 1 p p p 0.75. 100 2 4 2


30 20 30 20 40 40
出现的次数， 设Y 表示在三次独立测量中事件 X 30
0.25 1.25 0.25 1 1.25 0.4931
). ∴所求的概率为： 则 Y ~ B(3 , 0.4931
8. X , Y 独立且服从相同分布 N
2
144
。
, ，则 2 X Y 3 ~
2
N ( 3,5 2 )
D(3 X Y ) 7.4
2
．
9. 设 X ~ N (10,0.6),Y ~ N (1,2) ，且 X 与 Y 相互独立，则 10.
2 2 。 4 设 X，Y 独立且服从相同分布 N ( , ), Z X Y 2 ，则 E ( Z )
7
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概率论与数理统计
正态分布与极限定理
4、 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从P(0.2)，求 这本书的印刷错误总数不多于70的概率. 解 设X i 表示每页中的印刷错误 的个数， i 1， 2， ， 300
E( X i ) D( X i ) 0.2
2
1 0.1111 9
6
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概率论与数理统计
正态分布与极限定理
3：为了确定事件 A 的概率, 进行了10000次重复独立试验. 利用 切比雪夫不等式估计:用事件 A 在10000次试验中发生的频率作为 事件 A 的概率近似值时, 误差小于0.01的概率.
3.5 1 3.5 1 ) ( ) 2 2
( 3) P (| X | 3.5) (
(1.25) (2.25) (1.25) 1 (2.25) 0.8822
(4) P (| X | 4.56) 1 P(| X | 4.56)
1 ( 4.56 1 4.56 1 ) ( ) 0.0402 2 2
2
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概率论与数理统计
正态分布与极限定理
二、 设X ~ N (1,2 2 )，求下列概率：
(1) P ( X 2.2); (2) P (1.6 X 5.8);(3) P (| X | 3.5); (4) P (| X | 4.56)
0.9332 0.9938 1 0.927
86 80 70 80 P 70 Y 86 4 4
(2)
9
80 80 1 P Y 80 1 P Y 80 1 4 2
3
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概率论与数理统计
正态分布与极限定理
三、 测量到某一目标的距离时发生的随机误差 X(米)具有
概率密度:
f ( x)
1 40 2
e
( x 20) 2 3200
求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率。
解 显然 X ~ N ( 20, 40). 在一次测量中误差的绝对值不超过 30米的概率为： P X 30
5、已知100台机床彼此独立地工作者，每台机床的实际工作时间 占全部工作时间的80%，求： (1) 任一时刻有70至86台机床在工作的概率；
(2) 任一时刻有80台以上机床在工作的概率； 解 (1) 已知n=100, p=0.8, np=80， np(1 p) 16 4
1.5 2.5 1.5 2.5 1
1
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概率论与数理统计
正态分布与极限定理
6. 已知 X ~ N (2,4) ， Y 服从标准正态分布， X 与 Y 相互独立， 则 P{ X Y 2}
1 2
。
16） 7. 如果 X ~ N(3， ，且 Y 3 X 4 ，则 D(Y )
概率论与数理统计作业12（§4.4～§4.5）
1. 随机变量 X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计
1 P X E X 2 2
2：利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三 倍标准差的概率. 解
P X E ( X ) 3
3
D( X )
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
概率论与数理统计作业11（§4.1～§4.3）
一、 填空题
1）设 X ~ N 3,4 ，则 E X 2）随机变量 X ~ N 20,2

2


2
25
．

2
，若 P X
1 a ，则 a 2
20
．
3） X , Y 服从相同分布 N , 2 ，则 EaX bY aX bY
(a 2 b 2 )( 2 ． 2)
2 4）设随机变量 X ~ N (2, ) ，且 P(2 X 4) 0.3 ，则 P( X 0)
0.2
．
5）已知连续随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) 为
1
1
， X 的方差为
1 2

e
x 2 2 x 1
，则 X 的数学期望
解
E ( Z ) E (2 X Y 3) 2 D( Z ) D(2 X Y 3) 4 D( X ) D(Y ) 8
f (z)
1 4
e

z 2 2
16
5
2017年3月23日11时23分
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概率论与数理统计
正态分布与极限定理
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2017年3月23日11时23分
P(Y 1) 1 (1 0.4931 ) 3 1 0.1302 0.8698
4
2017年3月23日11时23分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
四、 设X与Y独立， X ~ N (0,1)，Y ~ N (1,2 2 )，求Z 2 X Y 3的概率密度 .
2.2 1 ) (0.6) 0.7257 2 5.8 1 1.6 1 ( ) ( ) (2) P (1.6 X 5.8) 2 2
解
(1) P( X 2.2) (
(2.4) (1.3) (2.4) 1 (1.3) 0.8950