八年级(上)培优讲义：第8讲 一元一次不等式

第8讲:一元一次不等式
（认识不等式、不等式的性质、一元一次不等式） 一、 新知建构
1.选择适当的关系符号填空：
（1） （2）－π －3.14；（3）20120 2012(1)-； （4）|a | 0； （5）若a ，b ，c 分别表示三角形的三边，则a +b c .
2.A 种饮料比B 种饮料单价少1元，小明买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么用含x 的等式表示题中的数量关系为 .
3.不等式刻画的是 量之间的关系； 的数学式子，叫做不等式；
4. 设a >b ，用不等号填空：
（1）1a -_ _1b - （2）a b -_ _0 （3）3a _ _3b （4）5a -_ _5b - （5）
28a +__28
b
+ 5. 阅读教材中的本节内容后回答：
（1）①若a +2＜b ，则a ＜b －2这样变形对吗？依据是什么? ②若a ＞b ,则ac ＞bc 这种变形对吗？依据是什么? （2）不等式的基本性质和等式的基本性质有什么异同点？ 6. 阅读教材中的本节内容后回答：
本节内容中有一个不等式的解的概念“能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解”.
（1）不等式的解和方程的解有什么异同点？ 相同点： . 不同点： . （2）下列说法正确的是（ ）
A . x =4不是x +2>5的解
B . x +2>5的解是x =4
C . x =4不是x +2>5的唯一解
D . x =4不是x +2>5的一个解
7.一元一次不等式和一元一次方程有什么异同点？不等式的解和方程的解有什么区别？利用不等式基本性质3解一元一次不等式要注意什么问题？ 8.归纳一下解一元一次不等式容易出错的环节有哪些？
（1）去分母不能漏乘不含 的项； （2）移项要 ；
（3）用负数同乘以（或除以）两边时，不等号的方向必须 ； （4）在数轴上表示解时应注意 . 你认为哪一环节与解方程相比更易出错？你准备采取什么措施避免出错？ 9．请你类比归纳一下列一元一次不等式解应用题的一般步骤？
（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） .
10．请你总结下应用题中体现不等量关系的常词 . 二、 经典例题
例1.在数轴上有P 、Q 两点，其中点P 所对应的数是x ，点Q 所对应的数是1.已知P 、Q 两点的距离小于3，请你利用数轴： （1）写出x 所满足的不等式；
（2）数－3，0，4所对应的点到点Q 的距离小于 3吗？
例2.旅游淡季期间，某旅行社采用七折优惠的方法来吸引游客，打折后，杭州极地海洋公园的门票价格比杭州野生动物园的门票价格高，但低于它的
6
5
.在“五一”黄金周来临之际，该旅行社又恢复了原来的价格，你认为杭州极地海洋公园的门票原价仍比杭州野生动物园的门票原价高，但低于它的6
5
吗？请说明理由.如果是每个景点的票价都在七折的基础上增加20元呢？
例3. 当a 为何值时，关于x 的不等式04≥-a x 的负整数解不少于2个. 不超过
2个呢？
例4.解不等式42
1333
x x +≥--，把解表示在数轴上，并求出适合不等式的负整数解.
例5. 若２－3a ＞2－3
b
，比较a 与b 的大小，并说明理由.
例6. 某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方案.方案甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；方案乙：按购买金额打九折销售. 某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本)10(≥x x 本.问该校应选择哪种优惠方案更省钱？ 三、 基础演练
1. 观察下列式子：①－3<0；②4x +3y ≥0；③x =3；④x ≠5；⑤x 2+xy +y 2，其中是不等式的序号为___ _____． 2．用适当的不等号填空：
； ②a 2+1____1； ③－0.3_____－1
3
；④若a ≠b ，则2a 2b . 3.根据下列关系列不等式：
（1）x 的2倍与1的和不大于x （2）m 与1的相反数的和为非负数。

4. 据某市日报报道，2010年6月1日该市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则当天该市气温t （℃）的变化范围是( )
A ．33t >
B ．24t ≤
C ．2433t <<
D ．2433t ≤≤ 5. 在数轴上表示不等式2x ≥，正确的是（ ）
6. 在数轴上表示下列不等式：
7. 如图，若数轴上的两点A ，
B 表示的数分别为a ，b ，则下列结论正确的是（ ） A ．0a b -> B ．
1
02
b a ->
C ．20a b +>
D ．0a b +>
8．若a >b ，则下列不等式中不能成立的是（ ） A . a －3>b －3 B .－3a >－3b C .3a >3
b
D .－a <－b 9. 不等式ax >b ，两边同除以a 得b
x a
<
，那么a 的取值范围是（ ） A .0a ≤ B .0a > C .0a ≥ D .a <0 10. 下列各选项中的2个不等式，它们的解相同的是（ ） A .3x +1<0与3x >1 B .－2x >1与x <－12 C .3x <2x +2与5x <2 D .－1
2
x >2与x >－1 11. 下列说法中错误的是 ( )
A .不等式32≤+x 的整数解有无数个
B .不等式23<+x 的解是1-<x
C .不等式712≤+x 的正整数解有3个
D .0是不等式23＜－x 的解 12.解下列不等式，并把解表示在数轴上.
（1）32
1
>x － （2）0.537 3.5y y +≥-
13. 不等式
53
2
63-<-x x 的解集是（ ） A ．x ＞9 B ．x ＜9 C ．x ＞32 D ．x ＜3
2
14．当代数式
22-y 的值大于代数式33
-y
的值时，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
A .6-<y
B . 6-≤y
C . 6->y
D . 6-≥y 15. 解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）2(34)5(1)x x -<+ （2）2151
135
x x -+-≤
四、 直击中考
1. （2014临沂）不等式组﹣2≤x +1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
2．（2014内江）已知实数x 、y 满足2x ﹣3y =4，并且x ≥﹣1，y ＜2，现有k =x ﹣y ，则k 的取值范围是 ．
3．（2014广州）解不等式：，并在数轴上表示解集.
4．（2014白银）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为
=ad ﹣
bc ．如=2×5﹣3×4=﹣2．如果有
＞0，求x 的解集．
五、 能力提升
1. 满足不等式832
x -
≤<-的整数为 .
2.某公交公司年初用120万元购进一批新车，在投入运输后，估计每年的总收入为72万元，需要支出的各种费用为40万元.若设这批新车x 年后开始盈利（盈利即指总收入减去购车费及所有支出费用之差为正值），则用不等式表示题中的数量关系为 .
3.目前世界公认的一种评定肥胖程度的分级方法为“体质指数法”（BMI ）， (BMI )=体重（千克）/身高（米）²，当一个人的“体质指数”（BMI ）为18～24 （包括18m ，24m ）时 属正常 ，设某人的BMI 为x
（1）用不等式表示BMI 为正常的指数范围，并把它表示在数轴上；
（2）当一个人BMI 为下列值时，他的体质属于正常吗？用不等式和数轴给出解释.
① x 1=16 ；② x 2=17.5； ③ x 3=22 ；④ x 4=28 .
（3）请判断一下你父亲（或母亲）的BMI 是否正常，并提出合理化建议. 4.若a b <，则下列不等式成立的是（ ） A . 2
a a
b < B .
1a
b
< C . 22ac bc < D . 2a a b <+ 5. 若x ＞y ，请比较(a －3)x 与(a －3)y 的大小，并说明理由.
6.定义算法：a b
c d ad bc =-，则满足4
322x <-的x 的取值范围是 .
7. 关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ≥2
B ．m ≤2
C ．m ＞2
D ．m ＜2
8．关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的值为 . 9．已知4x =是方程341x a x -=+的解，那么关于 x 的不等式1(2)53
a
x -<的解是 .
10．三个连续正奇数之和小于16，则这三个正奇数是多少？请列不等式说明，并把它们写
出来.
11．已知关于x 的方程
31
34
x m x m ++-=的解是非负数，则m 的取值范围为 .
12．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）20.30.210.40.3
x x
-≤- （2）)3(2)1)(1(+≥--+x x x x
13. 小明同学在学习不等式时，遇到以下两题，被难住了，你能帮他解决吗？ （1）不等式a (x －1)＞x +1－2a 的解集是x ＜－1,请确定a 的值．
（2）如果不等式4x －3a ＞－1与不等式2(x －1)+3＞5的解集相同，请确定a 的值．
六、 挑战竞赛
1. 已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+1
21
23m y x m y x 的解满足x ＞y ，求m 的取值范围．
2.定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a △b =ab ﹣a ﹣b +1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x 的值大于5而小于9，求x 的取值范围．
3．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？。