1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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基础自测 1.下列命题中,所有真命题的序号是________. .下列命题中,所有真命题的序号是 ①② . 不是无理数. ①5>2 且 7>4;②3>4 或 4>3;③ 2不是无理数. ; ; 不是无理数
都真, 也真. 解析 ①5>2 和 7>4 都真,∴5>2 且 7>4 也真. ②3>4 假,4>3 真,∴3>4 或 4>3 真. 是无理数, 不是无理数假. ③ 2是无理数,∴ 2不是无理数假. 是无理数 不是无理数假
真 真 真 假 假 真 假 假
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2.全称量词与存在量词 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”、“一切”、 常见的全称量词有: 任意一个” 一切” 常见的全称量词有 每一个” 任给” 所有的” “每一个”、“任给”、“所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”、“至少有一 常见的存在量词有: 存在一个” 常见的存在量词有 个”、 有些”、 有一个”、 某个”、 有的”等. “有些” “有一个” “某个” “有的” (3)全称量词用符号“ ∀ 全称量词用符号“ 全称量词用符号 号“ ∃ 表示. ”表示. (4)全称命题与特称命题 全称命题与特称命题 命题叫全称命题. ① 含有全称量词 命题叫全称命题. 的命题叫特称命题. ② 含有存在量词 的命题叫特称命题. ”表示;存在量词用符 表示;
根据含有逻辑联结词的命题的真假, 题型三 根据含有逻辑联结词的命题的真假, 求参数的 取值范围 例3 已知命题 p: : 方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负 + = 实数根; 实数根;命题 q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实数 : - + = 根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 ”为真命题, ”为假命题, m 的取值范围. 的取值范围. 思维启迪
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与 简单的逻辑联结词、 存在量词 基础知识
要点梳理 1.简单的逻辑联结词 . (1)命题中的“ 或 ”、 且 ”、“ 非 ”叫做逻 命题中的“ 命题中的 “ 辑联结词. 辑联结词.
自主学习
(2)用来判断复合命题的真假的真值表: p q 綈 p 綈 q p∨q p∧q 綈(p∨q) 假 假 真 真 假 真 假 真 綈(p∧q) 假 綈 p∨ 綈q 綈 p∧ 綈q 假 假 假
题型二 含有一个量词的命题的否定 写出下列命题的否定,并判断其真假. 例 2 写出下列命题的否定,并判断其真假. 1 2 (1)p:∀x∈R,x -x+ ≥0; : ∈ , +4 ; (2)q:所有的正方形都是矩形; :所有的正方形都是矩形; (3)r:∃x0∈R,x2+2x0+2≤0; : , 0 ≤ ;
写出下列命题的否定,并判断真假. 变式训练 2 写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:∀x∈R,x 不是 3x-5=0 的根; : ∈ , - = 的根; (2)q:有些合数是偶数; :有些合数是偶数; , (3)r:∃x0∈R,|x0-1|>0. :
解 (1)綈 p:∃x0∈R,x0 是 3x-5=0 的根,真命题. 綈 : , - = 的根,真命题. (2)綈 q:每一个合数都不是偶数,假命题. 綈 :每一个合数都不是偶数,假命题. (3)綈 r:∀x∈R,|x-1|≤0,假命题. 綈 : ∈ , - ≤ ,假命题.
( B )
1 解析 对于选项 A,令 n=2,即可验证不正确;对于选 , = 即可验证不正确; =-1 项 C、选项 D,可令 n=- 加以验证其不正确,故选 、 , =- 加以验证其不正确, B.
题型分类
深度剖析
题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断 写出由下列各组命题构成的“ ∨ ” 例 1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、 ∧ ” “綈 p”形式的复合命题,并判断真假. ”形式的复合命题,并判断真假. (1)p:1 是质数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根; : 是质数; : - = 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q: (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对 角线互相垂直; 角线互相垂直; (3)p:5≤5;q:27 不是质数. : ≤ ; : 不是质数.
2.正确区别:命题的否定与否命题 .正确区别: “否命题”是对原命题“若 p, q”的条件和结论 否命题”是对原命题“ , ” 则 分别加以否定而得的命题,它既否定其条件, 分别加以否定而得的命题,它既否定其条件,又否 定其结论; 命题的否定” 定其结论;“命题的否定”即“非 p”,只是否定 ” 命题 p 的结论. 的结论. 命题的否定与原命题的真假总是对立的, 即两者中 命题的否定与原命题的真假总是对立的, 有且只有一个为真, 而原命题与否命题的真假无必 有且只有一个为真, 然联系. 然联系.
(2)p 为假命题,q 为假命题. 为假命题, 为假命题. p∨q:平行四边形的对角线相等或互相垂直,假命题. ∨ :平行四边形的对角线相等或互相垂直 假命题. 相垂直, p∧q:平行四边形的对角线相等且互相垂直,假命题. ∧ :平行四边形的对角线相等且互相垂直,假命题. 綈 p:有些平行四边形的对角线不相等,真命题. :有些平行四边形的对角线不相等,真命题. (3)p 为真命题,q 为真命题, 为真命题, 为真命题, 不是质数,真命题. ∴p∨q:5≤5 或 27 不是质数,真命题. ∨ : ≤ p∧q:5≤5 且 27 不是质数,真命题. ∧ : ≤ 不是质数,真命题. 綈 p:5>5,假命题. : ,假命题.
3 (4)s:至少有一个实数 x0,使 x0+1=0. : =
否定量词,否定结论,写出命题的否定; 思维启迪 否定量词,否定结论,写出命题的否定;判 断命题的真假. 断命题的真假.
4 (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. 个正方形不是矩形, 綈 :至少存在一个正方形不是矩形 假命题. (3)綈 r:∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题. 綈 : ∈ , + ,真命题. (4)綈 s:∀x∈R,x3+1≠0,假命题. 綈 : ∈ , ≠ ,假命题.
探究提高 “p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形式命题真 假的判断步骤: 假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式; (1)确定命题的构成形式; 确定命题的构成形式 的真假; (2)判断其中命题 (2)判断其中命题 p、q 的真假; (3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形式命题的真 (3)确定“ 确定 假.
解
(1)綈 綈
1 2 p:∃x0∈R,x0-x0+ <0,假命题. : , ,假命题.
探究提高
全称命题与特称命题的否定与命题的否定
有一定的区别,否定全称命题和特称命题时, 有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改 写量词,全称量词改写为存在量词, 写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全 称量词;二是要否定结论.而一般命题的否定只需直接 称量词;二是要否定结论. 否定结论即可. 否定结论即可.
3.命题 p:有的三角形是等边三角形.命题綈 p: . :有的三角形是等边三角形. :
所有的三角形都不是等边三角形 ______________________________.
4.若 p:∀x∈R,sin x≤1,则 . : ∈ , ≤ , A.綈 p:∃x∈R,sin x>1 . : ∈ , B.綈 p:∀x∈R,sin x>1 . : ∈ , C.綈 p:∃x∈R,sin x≥1 . : ∈ , ≥ D.綈 p:∀x∈R,sin x≥1 . : ∈ , ≥
3.命题的否定 . (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是 全称命题的否定是特称命题; 全称命题的否定是特称命题 全称命题. 全称ห้องสมุดไป่ตู้题. (2)“p 或 q”的否定为:“非 p 且非 q”; “ ”的否定为: ” “p 且 q”的否定为:“非 p 或非 q”. ”的否定为: ”
[难点正本 疑点清源 难点正本 疑点清源] 1.逻辑联结词“或”的含义有三种 .逻辑联结词“ 逻辑联结词中的“ 的含义, 逻辑联结词中的 “ 或 ” 的含义 , 与并集概念中的 的含义相同. “或”的含义相同.如“x∈A 或 x∈B”,是指: ∈ ∈ ” 是指: x∈A 且 x∉B;x∉A 且 x∈B;x∈A 且 x∈B 三种情 ∈ ∉ ; ∉ ∈ ; ∈ ∈ 况.再如“p 真或 q 真”是指:p 真且 q 假;p 假且 是指: 再如“ q 真;p 真且 q 真三种情况.因此,在遇到逻辑联结 真三种情况.因此, 要注意分析三种情况. 词“或”时,要注意分析三种情况.
解 (1)p 为假命题,q 为真命题. 为假命题, 为真命题.
p∨q:1 是质数或是方程 x2+2x-3=0 的根,真命题. ∨ : - = 的根,真命题. p∧q: 既是质数又是方程 x2+2x-3=0 的根, ∧ : 1 假命题. - = 的根, 假命题. 綈 p:1 不是质数,真命题. : 不是质数,真命题.
指出下列命题的真假: 变式训练 1 指出下列命题的真假: (1)命题“不等式|x+2|≤0 没有实数解”; 命题“不等式 + ≤ 没有实数解” 命题 (2)命题“-1 是偶数或奇数”; 命题“ 是偶数或奇数” 命题 (3)命题“ 2属于集合 Q,也属于集合 R”; 命题“ 属于集合 , 命题 ” (4)命题“A ⊆ A∪B”. 命题“ 命题 ∪ ”
对含有“ 点评 对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的判 断,先判断简单命题,再根据真值表判断复合命题. 先判断简单命题,再根据真值表判断复合命题.
2.(2010·安徽 命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0” . 安徽)命题 安徽 命题“ ∈ , + = ”
2 的否定是__________________________________. . 的否定是 对任何 x∈R,都有 x +2x+5≠0
( A )
是全称命题, 解析 由于命题 p 是全称命题, 对于含有一个量词的全 称命题 p:∀x∈M,p(x),它的否定綈 p:∃x0∈M, : ∈ , ,它的否定綈 : , 綈 p(x0),故应选 A. ,
5.有下列四个命题,其中真命题是 .有下列四个命题, A.∀n∈R,n2≥n . ∈ , B.∃n∈R,∀m∈R,m·n=m . ∈ , ∈ , = C.∀n∈R,∃m∈R,m2<n . ∈ , ∈ , D.∀n∈R,n2<n . ∈ ,
(3)此命题是“p 且 q”的形式, 此命题是“ 此命题是 ”的形式, 其中 p: 2属于集合 Q”, : “ 属于集合 ” q:“ 2属于集合 R”,因为 p 为假命题,q 为真命题, : 为假命题, 为真命题, 属于集合 ” 是假命题,故此命题是假命题. 所以 p 且 q 是假命题,故此命题是假命题. (4)此命题是“綈 p”的形式,其中 p:“A⊆A∪B”,因 此命题是“ ”的形式, : ⊆ ∪ ” 此命题是 为真命题,所以綈 为假命题,故此命题是假命题. 为 p 为真命题,所以綈 p 为假命题,故此命题是假命题.
探究提高 判断含有逻辑联结词的复合命题的真假, 判断含有逻辑联结词的复合命题的真假,可
利用真值表转化为一些简单命题的真假进行判断. 利用真值表转化为一些简单命题的真假进行判断.已知 只要有一个命题为假, 就为假; 命题 p、q,只要有一个命题为假,p∧q 就为假;只要 有一个为真, 就为真; 真假相反. 有一个为真,p∨q 就为真;綈 p 与 p 真假相反.
解
(1)此命题是“綈 p”的形式,其中 p:“不等式 此命题是“ 此命题是 ”的形式, :
|x+2|≤0 有实数解”,因为 x=- 是该不等式的一个 + ≤ 有实数解” =-2 =- 是真命题, 是假命题, 解,所以 p 是真命题,即綈 p 是假命题,所以此命题是 假命题. 假命题. (2)此命题是“p 或 q”的形式, 此命题是“ ”的形式, 其中 p: -1 是偶数”, : “ 是偶数” 此命题是 q:“-1 是奇数”,因为 p 为假命题,q 为真命题,所 : 是奇数” 为假命题, 为真命题, 是真命题,故此命题是真命题. 以 p 或 q 是真命题,故此命题是真命题.