2017年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(文科)
-、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1 )【2017 年天津，文 1, 5 分】设集合 A 」1,2,6], B =.i 2,4} , C 」丄2,3,4 ?，贝U (AU B)C| C () (A ) ②(B ) ；1,2,4：>
( C ) ：1,2,3,<> (D ) ：1,2,3,4,6 ? 【答案】B
【解析】AUB 二1,2,4,6 ?, (A JB )2 ={1,2,4,6}门{1,2,3,4} ={1,2,4}，故选 B .
(2) 【2017年天津，文2, 5分】设R ，则’2 -x _0 ”是“x_1乞1”的()
(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】2—x_0解得：x 岂2 ; x -1 <1解得：0乞x 乞2 , x^2=0岂x 岂2，故选B .
(3)
【2017年天津，文3, 5分】有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这
5支
彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的 2支彩笔中含有红色彩笔的概率为() (A )
4
( B ) 3 (C ) 2 ( D ) 1
5 5 5 5
【答案】C
【解析】 从这
5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：C f ，而事件 取出的2支彩笔中含有红色 (6)【2017年天津，文6,5分】已知奇函数f(x)在R 上是增函数，若a--f(log 2〕)，b = f (log ?4.1)，尸f(20.8
), 5
则a,b,c 的大小关系为()
(A ) a ：：b ：：c (B ) b ：：a ：：c (C ) c ：：b ： a (D ) c ■ a :: b
【答案】C
彩笔”包含基本事件个数：C 4 ; P =上=2
，故选C .
10 5
(4)【2017年天津，文4, 5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的
N 的值
为19,则输出的N 的值为()
(A) 0 ( B ) 1 ( C ) 2 ( D ) 3
【答案】C
【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为
N =19，第一次循环：
N
N =N -1 =18，不满足N 乞3 ;第二次循环： N 二一 =6，不满足N 空3 ;第三次循
3
环：N 二丛=2，满足N _3 ;此时跳出循环体，输出
N =3，故选C .
3
(5)【2017年天津，文 2 2
5
, 5分】已知双曲线 — 2 =1(a 0, b 0)的左焦点为F ,点A 在
a b
OAF 是边长为2的等边三角形(0为原点)，则双曲线的方程为 【答案】 【解析】 以
双曲线的渐近线上， ()
2 2
(A) — _y 1 ( B )
4
12
D 因为「QAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)所以OF =2 , 2 2
x
12 4
一「(C ) — ( D ) 2
2
y 4
x
1 3
直线OA 方程为y= .3x ，所以渐近线方程 y= b x 其中一条为y =
a
c =2
b ，解之得：a=1,b= .3,c=2，故选 D .
3
/输S /
1
【解析】因为f (X ) 在R 上是奇函数，所以有 f(_x)=_f(x)，即a = _f (log 2-) = f (log 2 5);又因为 5
是增函数，且 20.8
：：：21
=：log 24 ：：：log 24.1 ：：：log 25，所以 c :：: b :：: a ，故选 C .
(7)【2017 年天津，文 7, 5 分］设函数 f (x) =2sin(•• Jx R ，其中• • .
.；「.，若 f
且f(x)的最小正周期大于 2二，则()
(A )欣：=?, ( B ) =?,「= (C )欣：J ,：护一匕(D )欣：J ,「=匸
3 12 3 12 3 2
4 3 24
【答案］A
【解析］函数f(x)=2sin(「X 「:
),x ・R , f (5)=2, f (丄)=0 ,振幅为2，所以如图所示： 8 8
若函数图象如图表1所示，聖=匕_兰，解得T - ■，不满足最小正周期大于 2二，
4 8 8
所以函数图象如图表 2所示，【二竺一乞，解得T =3二,.=2，又因为口丁)=2， 4一 8一8 3
8 7-
所以-5
，所以
，故选A . 3 8
2
12
工x 2,x ：1
(8)【2017年天津，文8, 5分］已知函数f(x)二 2 ，设a ・R ，若关于x 的不等
|x +—m L x
x
式f (x)兰-+a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是()
2
(A ) ［ -2,2］ (B ) ［2.3,2］ ( C ) ［—2,2 .3］ ( D ) ［2 .3,—2 .3］ 【答案］A
【解析］函数
f(x)的图象如下图(左)，若关于x 的不等式f(x)王;+a 在R 上恒成
立，则不妨设g(x) = x +a , “f(x)+a 在R 上恒成立”表示y = f (x)图 2 2 象与y =g(x )图象应如下图(右)所示找到两个临界位置：①f (x)与g(x)相
2 1
切时，x 1 , f '(x)
，解得 x 0 =2 , y 。

=3，代入 g(2) =3，解得
x 2
2
，a =2,a
“(舍)‘②
g(x)
过点
(。

,2)，代入 g(0)=2，a =2，解得―2“2 (舍)，故a
的取值范围在-2与2之间，故选A .
二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.
(9) 【2017年天津，文9, 5分］已知a R , i 为虚数单位，若 尹 为实数，则a 的值为. 【答案］-2 【解析］解法一：
y a
」)(2
7 =2a
"—
(a 2)i
为实数，所以 a ^0, a —2 .
2+i (2+i)(2—i)
5
解法二： 丄日为实数：=a -i 与2 i 成比例，比例为 -1，所以a = -2 .
2+i
(10) 【2017年天津，文10, 5分］已知a R ，设函数f(x)=ax-l nx 的图象在点(1,f(1))处的切线为I ，则I 在 y 轴上的截
距为.
【答案］1
1
【解析］函数
f (x)的导函数f '(x)二a -丄，所以f (1) = a, f '(1) = a -1，切点(1,a)，斜率为a -1，所以代入切线点 x 斜式：y-a =(a-1)(x -1), l 在y 轴上的截距为：x=0,y=1，所以答案为1.
(11)【2017年天津，文11, 5分］已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为
18,则
f (x)在R 上
(f
* ,
【解析】球的表面积公式 S=6a 2=18，所以棱长
a-3，计算得：2R = .3a=3, R = ° , V=?「:R 3
2 3
(12)【2017年天津，文12】设抛物线y 2 =4x 的焦点为F ，准线为I ，已知点C 在I 上，以C 为圆心 的圆与y 轴的正半轴相
切于点 A ，若.FAC =120，则圆的方程为.
【答案】(x 1)2
(y - 3)2
=1
【解析】抛物线
y^4x 的焦点为F(1,0)，准线为l:x =-1，所以可设C( -1,b) , OA = b ，乙FAC =120 , 所以.AFH =60 ,在直
角三角形 OAF 中，OF =1，所以OA =*3,所以圆的圆心(-1,. 3), 半径等于1,所以圆
4
4
5分】若a,b ・R , ab 0，则a 4b 1的最小值为.
(16)【2017年天津，文16, 13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知 每次播放甲、
【答案】
2
这个球的体积为. 9 二
C:(x 1)2
(y - .3)2
=1 .
(13)【2017年天津，文
13, ab 【答案】4
4
4
2 2
【解析】a 4b \
4aj_ ab ab
1
解之得：a=2 = ,b
(14)【2017年天津，文14, ('二 R)，且 AD AE 【答案】1
11
【解析】 AB AC =3 2 cos60° =3, AD
AB -AC ，则 3 3
_倒=4 ( ab 0),当且仅当 a 4 =4b 4
” ab 3
才. '4a 2
b 2
=1 ”同时成立时，等号成立,
5 分】在.:ABC 中，.A =60 , AB =3 , AC =2，若
=2DC ,餐=•吨 _加
--4，则，的值为.
1小2 1 2 2， 1 2 一 AD AE =( —AB AC)( AC -AB) 3 4 9 3 =-4 =
3 3 3 3 三、解答题：本大题共 6题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(15)【2017年天津，文15, 13分】在
ac =75(a 2 —b 2 —c 2). (1 )求cosA 的值； (2 )求 sin(2B - A)的值.
中，内角A,B,C 所对的边分别为 解：(1) asinA =4bsinB 可化为 a 2
=4b 2
,
解得:
3 1
1 a,b,c • 已知 as in A = 4s in B ，
2 2 2 h —
a =2
b ，余弦定理：cosA
2bc
-ac
5 5
2/5bc
75
2/5
4
sinB
, cosB
, sin2B =2sinBcosB=-,
5
5
5
cos2B =2cos 2
B-1
, si n(2B-A)=s in 2B cosA 「cos2 Bs in A =— ( 5
)—3
=
10 5
5 5 5
5
5
25
(2) 根据 cosA 5
，解得 sin A
5
5
，所以
H
连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)
甲70560
乙60525
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数.
(1 )用x,y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
7x 6y 乞60
x y _6 x _2y x,y N
(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z =60x - 25y •考虑z =60x • 25y ，将它变形为 y=_^x -—，这是斜率
为一12，随z 变化的一族平行直线.
—为直线在y 轴上的截距，
5 25 5
25
当 兰 取得最大值时，z 的值最大.又因为x,y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z=60x ・25y 经 25
所以 a n =3n-1 , b n =2n
.
(2) a 2n b n =(6n -2) 2n ，不妨设数列
^a 2n b^?的前 n 项和为 T n , T n 82^ a 4b 2 • aed 屮「a 2n/b n4 - a 2n b n
,
T n =4 21
10 22
16 23
川
(6 n —8)
2n
」(6 n —2) 2n
①
2T n = 4 22
1 0
23
山(6n-14)
2n
」(6n-8)
2n
(6n-2)
2
n
1
②
①-②得：hn
=4 21
6 22 6
2^ 11 6 2n -(6 n -2) 2n 1
，整理得：T n ^16 (3 n-4) 2n '2
.
(19)【2017 年天津，文 19, 14 分】设 a,b R , a _1，已知函数 f (x) =x 3
-6x 2
-3a(a-4)x • b , g(x)=e x
f(x). (1 )求f (x)的单调区间；
(2)已知函数y=g(x)和函数y=e x
的图象在公共点(x °,y °)处有相同的切线.
(i) 求证：f (x)在x=x °处的导数等于0 ； (ii)
若关于x 的不等式g(x) _e x
在区间［人-1,人1］上恒成立，求b 的取值范围.
解：(1) f'(x) =(x 3
)'-6(x 2
)'-3a(a-4)x', f'(x) =3x 2
-12x-3a(a-4),
解：(1)分别用x,y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数
z
「7x + 6y =60
过可行域上的点 M 时，截距 —最大，即z 最大•解方程组 ，得点M 的坐标为6,3 .
25 0—2y=0 丿
所以，电视台每周播出甲连续剧 6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
(17)【2017年天津，文17, 13分】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD _平面PDC , AD //
BC , PD 丄 PB , AD=1 , BC=3 , CD =4 , PD =2 • 1) 求异面直线 AP 与BC 所成的角的余弦值； 2) 求证：PD _平面PBC ;
(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.
解：(1)因为AD // BC ,所以.PAD 等于异面直线
AP 与BC 所成的角，：AD _平面PDC ,
AD 5
_ AP _ 5 • (2)因为 AD —平面 PDC ,所以 AD _ PD ,又因为 AD // BC ,所以 PD _ BC , PD _ PB , 且PB 门BC
=B ，所以PD _平面PBC .
(3 )取 BC 上三分点，3BE=BC , AD//BE , AD 二BE=1 , PD _ 平面 PBC ，所以.DEP
等于直线 AB 与平面 PBC 所成角 WDPE=90 , AB = 2 5 , DE = 2.5 , PE=4 ,
PD 2
5
sin /DEP = DE 2 弱 5
(18)【2017年天津，文18, 13分】已知CaJ 为等差数列，前n 项和为S n (n ・N *) ,
［是首项为
列，且公比大于 0, b +4 =12, b 3 =a 4 -2色,S 1 =1血.
(1 )求b ［和in /的通项公式； (2)求数列：a 2n b n 詁勺前n 项和(n ・N *).
解：(1)已知:a n ，为等差数列，「b n ［是首项为2的等比数列，且公比大于 0，所以a^ =a 1 (n-1)d , b nF q n
」=2q n
」,2q
2q 2 =12，解之得：q =2,q 一3 (舍)，8 = 一厂 3d
，解之得：
11佝 +5d)=11 汇16
所以—PDA =90 , PA = 5 , cos E PAD
2的等比数
a<i = 1,d =
3
f '(x) =3x2-12x -3a(a -4) =3(x -a)(x a -4)，因为a 弐1，所以a ：：4 -a ,
所以，f(x)的单调增区间(_；a),(4 _a, ;), f(x)的单调减区间［a,4_a ］. (2) (i ) g(x)二e x
f(x)与 y 二e x
在公共点(x o , y o )处有相同的切线，首先，
g(x °) =e X
o ;其次,g'(x °)=e X
o ,
f(X o )=1，f(x o ) f'(x o )=1，所以 f'(x o )=O .
(ii ) g(x)乞e x
等价于f(x)_1 , f'(xj
=0 , f (x o ) =1，所以x o =a 极大值点，若关于x 的不等式g(x)乞e x
在区间［x o -1,x o 1］上恒成立，等价于
f(x)乞1在区间［X o -1,x o - 1］上恒成立，等价于 f max (X )乞1 ,
［x o -1,x o 1］，当 x o =a , f (x)在［a -1,a ］递增，在［a,a ・1］递减，f (a)为最大值，f(a)=1 , -2a 3
6a 2
bid , b^2a 3-6a 2
1，令 h(x) =2x 3
_6x 2
1, h'(x) =6x 2
_12x =6x(x — 2) , h(x)在 ［-1,0］递增，在［0,1］递减，所
以 ^<h(x)<1 ,
-7汕乞1.
2 2
x y 2
2 =1(a . b 0)的左焦点为
F(_c,0)，右顶点为A ，点E 的
a b
坐标为(0,c) , EFA 的面积为 匕.
2
(1)求椭圆的离心率;
2
'解之得:xsx 「字(舍)，所以P(c,予，因为兄蛙,
秒，所以Q (梵)，
=c ,而PM // QN ,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ,
由(i )直线FP 的斜率等于3，可得PM =^PF =3><空=返,Q^-xF^-x 3^—9^ ,
4 4 4 2 8 4
4 2 8
1 3
2
3 2
S MNPQ -S FPM —S FQN
(PM PF -QN QF) c ，所以一 c = 3c ，解之得 c = 2,
2 2 2
2 2
所以a =4,b =2・.3，所以— =1 . 16 12
(20)
【2o17(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ| = 3C ,
2 且直线PM 与直线QN 间的距离为，
(i) 求直线FP 的斜率； (ii) 求椭圆的方程.
“ 1 1 b 2
2 2
2
解：(1) S AEF AF OE (a c) c ，因为 b 2
=a 2
-c 2
，所以 c 二 a-c ,
(2) (i ) EFO =45，设 EQ
$ 0 ：：1 延长线段PQ 与椭圆交于点 P ，点M , N 在轴上，PM //QN , 四边形 PQNM
，所以 F Q =(1 — ‘)琵？A ,
1 ■ 3c
9 3 FA =3c ,因为F Q
，两边平方，解之得：
， (舍)
2
10
2
■
I
1
代入FQ =(1 — ‘)FF • • FA ，得F Q =(6c ,9c )，直线FP 的斜率等于、
5 10 x _9
10，
3
(ii )直线FP 的方程：y 一0 (x-c);为求点P 的坐标，联立方程解方程组:
4
c e =一
a
44 y =3x -3c
2 2
3x 4y 12c 即PQ。