电磁场理论习题及答案7.

习题：1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。

当该导线以速度24x y m v e e s=+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求感应电动势。

解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。

有 ()in v B dl ε=⨯⋅⎰ 根据已知条件，得2233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==⨯=+⨯+- 210854(1236)x y z e x e x e x =-++- x dl e dx = 故感应电动势为0.520[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=-++-⋅=-⎰2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。

当其在恒定磁场0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。

解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即()in v b dl ε=⨯⋅⎰根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为 v e r ωΦ= r dl e dr = 故感应电动势为200001()()2l l Lin z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=⨯⋅=⨯⋅==⎰⎰⎰3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。

解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E 和磁感应强度B 的关系，将,,H B D E J E μεσ===代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ是空间坐标的函数。

考察麦克斯韦第一方程，有 11()BH B B μμμ∇⨯=∇⨯=∇⨯+∇⨯211B B μμμ=-∇⨯+∇⨯D EJ J t tε∂∂=+=+∂∂ 所以E BB J t μμμεμ∂∇⨯∇⨯=++∂ 而 ()D E E E εεερ∇⋅=∇⋅=⋅∇+∇⋅=，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E 和B 表示为E BB J t μμμεμ∂∇⨯∇⨯=++∂ B E t∂∇⨯=-∂ 0B ∇⋅= E E εερ∇⋅+∇⋅= 对于无耗媒质，0σ=，因此有0J =。

4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J tρ∂∇⋅=-∂。

解：对麦克斯韦第一方程DH J t∂∇⨯=+∂两边取散度，得()0DH J t∂∇⋅∇⨯=∇⋅+∇⋅=∂ 又因为D ρ∇⋅=，所以J tρ∂∇⋅=-∂5.设真空中电荷量为q 的点电荷以速度()v vc 向正z 方向匀速运动，在0t =时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度（不考虑滞后效应）。

解：选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位置为(0,0,)vt ，且产生的场强与角度φ无关，如习题所示。

设(,,)P r z φ为空间任一点，则点电荷在P 点产生的电场强度为 304qRE Rπε=其中R 为点电荷到P 点的位置矢量，即 ()r z R e r e z vt =+-那么，由0d D EJ t tε∂∂==∂∂，得 22552222223()[2()]4[()]4[()]d r zqrv z vt qv z vt r J e e r z vt r z vt ππ---=++-+-6.已知自由空间的磁场为0cos()/y H e H t kz A m ω=-式中的0H 、ω、k 为常数，试求位移电流密度和电场强度。

解： 随时间变化的磁场要产生电场，随时间变化的电场又要产生磁场，它们之间的相互联系和制约由麦克斯韦方程来表征。

自由密度空间的传导电流密度0J =，故由麦克斯韦第一方程得0[cos()]y d xxH J H e e H t kz zzω∂∂=∇⨯=-=--∂∂ 20sin()/x e kH t kz A m ω=-- 而d DJ t∂=∂，故 200sin()cos()/x xk H D Jdt e k H t kz dt e t kz C m ωωω==--=-⎰则cos()/xkH DE e t kz V m ωεωε==-7. 由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。

R解：对于静电场，不存在位移电流，由麦克斯韦方程，有 ρ=⋅∇=⨯∇,0即q dV d dV VVS==⋅=⋅∇⎰⎰⎰ρ根据上式，利用球坐标，则对于孤立的、位于原点的点电荷q 有q r E =⋅24πε，所以距离该点电荷r 处的电场强度为επ24r qe r= 静电场为无旋场，因此有ϕ-∇=E ，则 ρϕεϕεε=∇-=∇⋅∇-=⋅∇=⋅∇2所以有ερϕ-=∇2 即泊松方程。

8.由麦克斯韦方程组出发，导出毕奥-萨伐尔定律。

解： 由麦克斯韦方程组，有H J ∇⨯= 0B ∇⋅=因为矢量的旋度取散度为零，故可令B A =∇⨯在库仑规范下，0A ∇⋅=，因而2()()A A A ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇=B H J μμ∇⨯=∇⨯=即2A J μ∇=-由2ρϕε∇=-的解为 14d τρϕτπεε=⎰可得4JA d rτμτμ=⎰ 对于线电流4c I dl A r μπ=⎰于是2211()4()44c r r cc BI H A dl r e dl e I I dl r r μμπππ==∇⨯=∇⨯=⨯-⨯=⎰⎰⎰9.如图所示，同轴电缆的内导体半径1a mm =，外导体内半径4b mm =，内、外导体间为空气介质，且电场强度为 8100cos(100.5)/r E e t z V m r=- （1）求磁场强度H 的表达式 （2）求内导体表面的电流密度； （3）计算01Z m ≤≤中的位移电流。

解： （1）将E 表示为复数形式，有0.5100(,)j zrE r z e e r-= 由复数形式的麦克斯韦方程，得0.50110.398/j zr E H E e e e A M j j z rφφωμωμ-∂=-∇⨯=-=∂ 磁场H 的瞬时表达式为80.398(,,)cos(100.5)/rH r z t e t A m r=- （2）内导体表面的电流密度 s r ar r aJ n He H===⨯=⨯=82397.9cos(100.5)/z e t A m -(3) 位移电流密度28208.85410sin(100.5)/d r E J e t A m t rε-=∂⨯=--∂所以01Z m ≤≤中的位移电流12d d d r Si J d S J e rdz π=⋅=⋅=⎰⎰80.55sin(100.25)t A --10.试由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程和电流连续性方程，导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。

解：本题的结果表明麦克斯韦方程组的相容性，而导出此结果的关键在于灵活应用矢量分析的基本关系式。

对方程tD∂∂+=⨯∇两边取散度，得 )()()(tt ⋅∇∂∂+⋅∇=∂∂+⋅∇=⨯∇⋅∇ 而电流连续性方程0=∂∂+⋅∇tJ ρ矢量恒等式0)(=⨯∇⋅∇ 故得0)(=∂∂-⋅∇∂∂tD t ρ 即0)(=-⋅∇∂∂ρD t可见，)(ρ-⋅∇D 是一个与时间无关的常量。

若取0=t 时，该常量为零，则0>t 的任何时刻， 0=-⋅∇ρD 皆满足需要。

故得ρ=⋅∇同样，对方程tE ∂∂=⨯∇两边取散度，得 0)()(=⋅∇∂∂-=∂∂⋅-∇=⨯∇⋅∇tt 故得0=⋅∇11.如图所示，两种理想介质，介电常数分别为1ε和2ε，分界面上没有自由电荷。

在分界面上，静电场电力线在介质2,1中与分界面法线的夹角分别为1α和2α。

求1α和2α之间的关系。

解：利用和的关系以及理想介质分界面的边界条件求解。

设1D 和2D 分别为介质2,1中电通量密度。

1E ，2E 分别为介质2,1中电场强度。

在各向同性介质中，D 和具有相同的方向。

由边界条件n n D D 21=和t t E E 21=，得nt n t D ED E 2211= 而根据图可知111cos αD D n = 111sin αE E t = 222cos αD D n = 222sin αE E t =则得2102012121tan tan r r r r εεεεεεεεαα===12.写出在空气和∞=μ的理想磁介质之间分界面上的边界条件。

解：空气和理想导体分界面的边界条件为sJ =⨯=⨯0根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式ms s J J →-→→,,即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件smJ =⨯=⨯0式中，sm J 为表面磁流密度。

13.在由理想导电壁)(∞=r 限定的区域a x ≤≤0内存在一个由以下各式表示的电磁场：)cos()cos()sin()sin()()sin()sin()(000t kz axH H t kz a xa k H H t kz a xa H E z x y ωπωππωππμω-=-=-=这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？ 解：应用理想导体的边界条件可以得出在0=x 处，0=y E ，0=x H )cos(0t kz H H z ω-= 在a x =处，0=y E ，0=x H )cos(0t kz H H z ω--=上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量y E 和磁场的法向分量x H 。

另外，在0=x 的表面上，电流密度为00|)(|==+⨯=⨯=x z z x x x x s H e H e e J)cos(|00t kz H e H e e y x z z x ω--=⨯== 在a x =的表面上，电流密度则为a x z z x x x a x s H e H e e J ==+⨯-=⨯=|)(|)cos(|0t kz H e H e e y a x z z x ω--=⨯-== 14.设电场强度和磁场强度分别为)cos()cos(00m e t H t E ψωψω+=+=证明其坡印廷矢量的平均值为)cos(2100m e av H E S ψψ-⨯=证明：坡印廷矢量的瞬时值为)cos()cos(00m e t H t E ψωψω+⨯+=⨯=)]cos()[cos(2100m e m e t t t t H E ψωψωψωψω--+++++⨯=)]cos()2[cos(2100m e m e t H E ψψψψω-+++⨯=故平均坡印廷矢量为⎰⎰-+++⨯==T m e m e T av dt t H E T dt T S 0000)]cos()2[cos(2111ψψψψω )cos(2100m e H E ψψ-⨯=15.一个真空中存在的电磁场为0sin x E e jE kz = 00cos H e E kz ε= 其中2//k c πλω==是波长。